一阶导数应用 1、函数的极值 ①P82,定义:如在x。邻域内,恒有f(x)≤f(x。),(f(x)≥f(x。) 则称f(x)为函数f(x)的一个极大(小)值。 可能极值点,f(x)不存在的点与f(x)=0的点。(驻点) 驻点←极值点 ②判别方法 P8,i、导数变号。,f()≠=0,1x)>0极小值 f(x0)0, f(x0)=0,则f(x)在x0点处A A、取得极大值 B、取得最小值 在ⅹ0某邻域内单增D、在ⅹ。某邻域内单减 例么、已知函数f(x)对一切x满足x(x)+3()=1-e 如f(x0)=0,(x。≠0),则A A、f(x0)是f(x)的极小值 B、f(x0)是f(x)的极大值 (x0、f(xn)是曲线的拐点 D、f(x。)不是f(x)的极值,(。、f(x。)也不是曲线 f(x)的拐点 例3、设函数(x)在x=0的某邻域内可导,且f(0)=0, lim x→0sinx2 则f(O)是f(x)的极大值
一阶导数应用 1、函数的极值 ①P82，定义：如在 0 x 邻域内，恒有 ( ) ( ) x0 f x f ， ( ( ) ( )) x0 f x f ， 则称 ( ) x0 f 为函数 f(x) 的一个极大（小）值。 可能极值点， f (x) / 不存在的点与 f (x) 0 / = 的点。（驻点） 驻点 ←极值点 ②判别方法 P82，ⅰ、导数变号。 ⅱ、 f (x) 0 // ， f(x ) 0 f(x ) 0 0 0 例1、 设 y = f(x) 满足关系式 y 2y 4y 0 // / − + = ，且 f(x) 0, f (x0 ) 0 / = ，则 f(x) 在 0 x 点处 A A、取得极大值 B、取得最小值 C、在 0 x 某邻域内单增 D、在 0 x 某邻域内单减 例2、 已知函数 f(x) 对一切 x 满足 ( ) ( ) x 2 // / xf x 3x f x 1 e − + = − 如 f (x0 ) 0 / = ，(x 0) 0 ，则 A A、 ( ) x0 f 是 f(x) 的极小值 B、 ( ) x0 f 是 f(x) 的极大值 C、( ( )) 0 x0 x 、f 是曲线的拐点 D、 ( ) x0 f 不是 f(x) 的极值， ( ( )) 0 x0 x 、f 也不是曲线 y = f(x) 的拐点 例3、 设函数 f(x) 在 x = 0 的某邻域内可导，且 f (0) 0 / = ， 2 1 sin x f (x) lim / x 0 = − → ，则 f(0) 是 f(x) 的极 大 值。 极小值 极大值
2、函数的最大值与最小值 (1)求出[a,b]内可能的极值点,不需判别极大还是极小,求出它们 的函数值,再与端点的函数值进行比较,其中最大的(小)为最大 (小)值。 (2)在(a,b)内可能极值点唯一,如是极小值则为最小值 如是极大值则为最大值 (3)如f”>0(0 故(,)为所求点
2、函数的最大值与最小值 (1) 求出 a，b 内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们 的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大 （小）值。 (2)在 (a，b) 内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值 如是极大值则为最大值 (3)如 f 0( 0),f(a) f(b) 分别为最小, 最大值 (4)实际问题据题意可不判别。 例1、 在抛物线 2 y = 4 − x 上的第一象限部分求一点 P，过 P 点作 切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。 解：设切点为 P(x，y) ，切线方程为 Y (4 x ) 2x(X x) 2 − − = − − 即 1 x 4 Y 2x x 4 X 2 2 = + + + ∴ 三角形面积： ), 0 x 2 x 16 (x 8x 4 1 2x (x 4) 2 1 S(x) 3 2 2 = + + + = ) x 16 (3x 8 - 4 1 S (x) 2 / 2 = + ，令 3 2 S (x) 0 x / = = （唯一） ) 0 3 2 S ( // ∴ 3 8 , y 3 2 x = = 故 ) 3 8 3 2 ( ， 为所求点
3、曲线的凹凸、拐点及渐近线 在I上f(x)可导 如f“(x)>0(<0)则曲线y=f(x)是凹(凸)的 在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。 可能的拐点f(x)=0和f(x)不存在的点 例1、设(=(-1D,试讨论()的性态 f(x) (x-1)(x+2) f(x)=0x=1,x=-2,f"(x)=0,x=1 2(-2,0|0(0,1)|1「(1,+∞) y 0 断 y单调增 极大值 单减 单增|拐点单增 上凸 r(2)=-27/上凸 上凸(,0)下凸 渐近线如imf(x)=a则称y=a为水平渐近线 如lmf(x)=∞则称x=x0为垂直渐近线 2X 例2、求y= 渐近线(斜渐近线不讨论) 解: lim 2x-= 0 ∴y=0为水平渐近线 ∞(X 2x-1 ∴lim ∴ⅹ=1垂直渐近线 x→(X-1) 例4、曲线y 的渐近线有4条 (X-1)(x+2
3、曲线的凹凸、拐点及渐近线 在 I 上 f(x) 可导 如 f (x) 0( 0) // 则曲线 y = f(x) 是凹（凸）的, 在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。 可能的拐点 f (x) 0 // = 和 f (x) // 不存在的点 例1、 设 ( ) ( ) 2 3 x x 1 f x − = ，试讨论 f(x) 的性态。 4 // 3 2 / x 6(x -1) , f (x) x (x -1) (x 2) f (x) = + = f (x) 0 x 1, x -2, f (x) 0, x 1 / // = = = = = x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,1) 1 (1,+ ∞) y ’ + 0 - 间 断 + 0 + y ’’ - - - - 0 + y 单调增 上凸 极大值 ( ) 4 27 f − 2 = − 单减 上凸 单增 上凸 拐点 (1,0) 单增 下凸 渐近线 如 lim f(x) a x = → 则称 y = a 为水平渐近线 如 = → lim f(x) x x0 则称 x = x0 为垂直渐近线 例 2、 求 2 (x 1) 2x 1 y − − = 渐近线（斜渐近线不讨论） 解： ∵ 0 (x 1) 2x 1 lim 2 x = − − → ∴ y = 0 为水平渐近线 ∵ = − − → 2 x 1 (x 1) 2x 1 lim ∴ x =1 垂直渐近线 例4、 曲线 (x 1)(x 2) x x y − + = 的渐近线有 4 条
4证明不等式 (1)利用中值定理(R,L); (2)利用函数单调性 (3)利用最值; (4)引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式 (5)利用函数凹凸性; (6)利用泰勒公式 例1、当00,证明,0f(x)>f(0)=0 >ln(1+x) 设f(X)=ln(1+x) 1+X 2+X >0 1+x(1+x)2(1+x) f(x)单增,当X>0f(x)>f(0)=0 ln(1+x)>
4 证明不等式 （1）利用中值定理（R，L）； （2）利用函数单调性； （3）利用最值； （4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式； （5）利用函数凹凸性； （6）利用泰勒公式。 例 1、 当 0 a b ，试证： a b a a b ln b b a − − 即 a 1 b a ln b ln a b 1 − − 证： 设 y = ln x ，在 [a,b] 连续， (a,b) 可导， 由拉格朗日中值定理 ∵ (b a) 1 ln b ln a − − = ，即 a b 1 b a ln b ln a = − − ∴ a 1 b a ln b ln a b 1 − − 例 2、设 x 0 ，证明 ln(1 x) x 1 x x + + 证： 设 f(x) = x − ln(1+ x) 1 x x 1 x 1 f (x) 1 / + = + = − f(x) 单增，当 x 0 f(x) f(0) = 0 ∴ x ln(1+ x) 设 1 x x f(x) ln(1 x) + = + − 0 (1 x) 2 x (1 x) 1 1 x 1 f (x) 2 2 / + + = + + + = f(x) 单增，当 x 0 f(x) f(0) = 0 ∴ 1 x x ln(1 x) + +
例3、当ⅹ>0证明x2+1>hx A f(x)=x2+1-Inx (x>0) f(x)= 2x2-1 驻点唯 f"(x) >0 ∴f()极小 ∴f()为最小值 即x>0f(x)> =-+-ln2>0 例4、P91,习题 当0≤X≤1p>1 证明2≤x"+(1-x)≤1 证:设f(x)=x+(1-x)0≤x≤1 令f(x)=0,x 驻点唯 (0)=f() 当p>1,1> 最大值为1,最小值为2
例 3、当 x 0 证明 x 1 ln x 2 + 证： 令 f(x) x 1 ln x (x 0) 2 = + − x 2x 1 f (x) 2 / − = f (x) 0 / = 2 1 x = 驻点唯一， ∵ 0 x 1 f (x) x 2 // = + ∴ ) 2 1 f( 极小 ∴ ) 2 1 f( 为最小值 即 ln 2 0 2 1 2 3 2 1 x 0 f(x) f = + 例4、 P91 ， 习题 22 当 0 x 1 p 1 证明 2 x (1 x) 1 1 p p p + − − 证: 设 ( ) ( ) p p f x = x + 1− x 0 x 1 ( ) ( ) / p 1 p 1 f x px p 1 x − − = − − 令 f (x) 0 / = , 2 1 x = 驻点唯一 f(0) = f(1) = 1 , 1 p p 1 2 2 1 2 1 f − − = = 当 p 1 , p 1 2 1 1 − → f(x) 在 0,1 上 最大值为 1 ,最小值为 1 p 2 − ∴ 2 x (1 ) 1 2 1 p p p + − −
例5、设α>阝>e,证明β>aP 证明:即证 In a Inβ Inx 1-Inx 设f( 0xB In a Inβ 即β 例6、设f(x)在Dc]上可导,且f(x)单调减,f(0)=0 证明:fa+b)≤f(a)+f(b),0≤a≤b≤a+b 证:令F(x)=f(x+a)-f(x)-f(a) F(x=f(x+a)f(x) f(x)单调减 a20,x+a≥x,f(x+a)≤f(x) FGa)≤0,即F(x)单调减 p,b],F(b)≤FO)=0 f(a+b)sf(a)+f(b)
例5、 设 e ，证明 证明：即 证 ln ln 设 ( ) x ln x f x = x e ， ( ) 0 x 1 ln x f x 2 / − = x e 时 ∴ f(x) 单减 当 ln ln 即 例6、 设 f(x) 在 0, c 上可导，且 f (x) / 单调减， f(0) = 0 证明： f(a + b) f(a) + f(b) ，0 a b a + b 证： 令 F(x) = f(x + a) − f(x) − f(a) F (x) f (x a) f (x) / / / = + − ∵ f (x) / 单调减 a 0 ， x + a x ，f (x a) f (x) / / + ∴ F (a) 0 / ，即 F(x) 单调减 fx 0, b ，F(b) F(0) = 0 即 f(a + b) f(a) + f(b)
