第七章无穷级数 10常数项级数概念及性质 1、定义P264∑an=a1+a2+…+an+ an称为一般项或通项Sn=u1+u2+…+un称为前n项部分和 例1、=0.3 1+2+3+…+n+ 2、定义Sn=∑ 如Sn}收敛,则∑an收敛 3、几个重要极限 等比级数(几何)∑a",当向1收敛,P<1发散: 当P=1,∑一又称调和级数 4、级数性质P266 性质5是级数收敛的必要条件 即∑an收敛→iman=0
第七章 无穷级数 1 0 常数项级数概念及性质 1、定义 P264 = + ++ + = 1 2 n n 1 n a a a a n a 称为一般项或通项 Sn = u1 + u2 ++ un 称为前 n 项部分和 例 1、 = = + 2 ++ n + 10 3 10 3 10 3 0.3 3 1 1+ 2+3++ n + 1−1+1−1++ (−1)n−1 + 2、定义 = = n K 1 Sn uK n Sn 1 Sn a = + − 如 Sn 收敛，则 n=1 n a 收敛 3、几个重要极限 等比级数（几何） n=0 n aq ，当 q 1 收敛， q 1 发散； P 级数 P 1 n 1 n 1 P = 收敛， P 1 发散； 当 P =1， n=1 n 1 又称调和级数。 4、级数性质 P266 性质 5 是级数收敛的必要条件 即 n=1 n a 收敛 lim a n 0 n → = →
例1、∑ 发散 lim a.= li n=12n+ n→∞2n+12 例2、∑ 发散,∵1in30 n→n 例3 发散,但lin 0 20正项级数判别法 u.≥0 正项级数部分和数列Sn}单调递增 正项级数收敛←部分和数列有上界 1、比较判别法 设Vn≥un,如∑vn收敛,则∑un收敛 如∑un发散,则∑Vn发散 例、判别下列级数敛散性 sin (1)21 n=1√4n2+n 解(1)由于1 n 发散,∴原级数发散
例 1、 n=1 2n +1 n -1 发散，∵ 0 2 1 2n 1 n 1 lim a lim n n n = + − = → → 例 2、 n=1 − n n n 3 3 发散，∵ 1 0 n 3 3 lim n n n = − → − 例 3、 n=1n 1 发散，但 0 n 1 lim n = → 2 0 正项级数判别法 u un 0 n 1 n = 正项级数部分和数列 Sn 单调递增 ∴ 正项级数 收敛 部分和数列有上界 1、比较判别法 设 Vn un ，如 n=1 Vn 收敛，则 n=1 un 收敛 如 n=1 un 发散，则 n=1 Vn 发散 例、判别下列级数敛散性 （1） n=1 + 2 4n n 1 （2） = n 1 2 2 n 3 n sin 解（1）由于 n 1 5 1 4n n 1 4n n 1 2 2 2 = + + ∵ n=1 n 1 发散，∴原级数发散
(2)由于 sn3≤-2,而Σ收敛,∴原级数收敛 比较判别法的极限形式 如lim A则有 0<A<+∞时∑Σun,ΣV,同时收敛,同时发散 A=0如ΣVn收敛,则∑un收敛 如∑un收敛,则∑Vn收敛 判别下列级数敛散性 例、∑ln n n lim 1 1又∑一发散,∴原级数发散 例、(1)∑ 2)∑(1 (3)∑ 解:(1)由lim
（2）由于 2 2 2 n 1 n 3 n sin ，而 n=1 2 n 1 收敛，∴原级数收敛 比较判别法的极限形式 如 A V u lim n n n = → 则有 0 A + 时 n=1 un ， n=1 Vn ，同时收敛，同时发散 A=0 如 n=1 Vn 收敛，则 n=1 un 收敛 A=+∞ 如 n=1 un 收敛，则 n=1 Vn 收敛 判别下列级数敛散性 例、 = + n 1 n n 1 ln 1 n 1 n n 1 ln lim n = + → 又 n=1n 1 发散，∴原级数发散 例、（1） n=1 + + 2 n 1 n 1 （2） = − n 1 ) n 1 (1 cos （3） n=2 n lnn 解：（1）由 1 n n n n lim n 1 n n n 1 lim n 2 2 n = + + = + + → →
cOS (2) lim n=lim n→0 ∴原级数收敛 nn (3) >(n≥3)∵∑-发散 ∞Inn 发散 n=1 n 例、P271 例7778 比判别法 设正项级数∑un的一般项满足 1。山 则当p1时发散,p=1不定 3、根值法 设∑un为正项级数,如 limy/un=p 则当ρ1时发散,p=1不定 正项级数判别其敛散性的步骤: ≠0发散 首先考察lim=0需进一步判别 ①如un中含n或n的乘积通常选用比值法
（2） 2 1 n 1 2n 1 lim n 1 n 1 1 cos lim 2 2 n 2 n = = − → → ∵ n=1 2 n 1 收敛 ∴原级数收敛 （3）∵ (n 3) n 1 n lnn ∵ n=1 n 1 发散， ∴ n=1 n lnn 发散 例、P271 例 7.7 7.8 2、比判别法 设正项级数 n=1 un 的一般项满足 = + → n n 1 n u u lim 则当 1 时，级数收敛， 1 时发散， =1 不定 3、根值法 设 n=1 un 为正项级数，如 = → n n n lim u 则当 1 时，级数收敛， 1 时发散， =1 不定 正项级数判别其敛散性的步骤： 首先考察 = → 0 0 lim un n ①如 n u 中含 n! 或 n 的乘积通常选用比值法； 发散 需进一步判别
②如u是以n为指数幂的因子,通常用根值法,也可用比值法 ③如un含形如n(a可以不是整数)因子,通常用比较法 ④利用级数性质判别其敛散性; ⑤据定义判别级数敛散性,考察imSn是否存在,实际上考察Sn 是否有上界 例、判别下列级数的敛散性 (1)22n (2)∑ n=2n+1 n=1+a (4)∑6″ n (5) n=17n-5 +(-y (6)∑ x>0为常数 n=1(1+x川 nTt oo Inn ncos (7)∑ (8) (n+1) 解:(1)lim -=lim(n 1) 2 li (n+1) =Im n <1收敛 (2)方法一:imyn=lmn 收敛 2n+12
②如 n u 是以 n 为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法； ③如 n u 含形如 n （α可以不是整数）因子，通常用比较法； ④利用级数性质判别其敛散性； ⑤据定义判别级数敛散性，考察 n n lim S → 是否存在，实际上考察 Sn 是否有上界。 例、判别下列级数的敛散性 （1） n=1 n n n 2 n! （2） = n 1 + n 2n 1 n （3）设 = + n 1 n 1 a 1 a 0 （4） n=1 − n n n 7 5 6 （5） ( ) = + − n 1 n n 4 1 n （6） ( )( ) ( ) = n 1 + + + 2 n n x 0 1 x 1 x 1 x x 为常数 （7） n=1 n 2 n lnn （8） = n 1 n 2 4 3 n ncos 解：（1） ( ) ( ) n n n 1 n 1 n n n 1 n n 2 n! n 1 2 n 1 ! lim u u lim + + → + → + + = ( ) n n n n 1 2n lim + = → n n n 1 1 2 lim + = 1 e 2 = 收敛 （2）方法一： 2 1 2n 1 n lim u lim n n n n = + = → → 收敛
方法二 n 2n+1 2n 收敛∴原级数收敛 lim -n+l=lim +X川+x 1-70 un n-p(1+x1+x2)-1+xn+ limX 01 1 为公比-<1的等比级数 a a 收敛 (4)∵1im7 =lim 6 收敛 原级数收敛
方法二： n n n 2 1 2n n 2n 1 n = + ∵ = n 1 n 2 1 收敛 ∴ 原级数收敛 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) n 2 n 2 n 1 n 1 n n n 1 n x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x lim u u lim + + + + + + = + + → + → n 1 n 1 x x lim + → + = = = 0 x 1 x 1 2 1 x 0 x 1 ∴级数收敛 ( ) lnn 2 n 2 n 1 ln n 1 lim u u lim n n 1 n n n 1 n + + = → + + → ( ) 0 2 1 n n 1 2lnn ln n 1 lim n = + + = → 收敛 （3）当 0 2 1 2 1 a 1 lim u lim n n n = = = → → 发散 1 0 1 a 1 0 a 1 limu lim n n n n 0 = + = → → 发散 = + n 1 n n n a 1 a 1 1 a 1 a 1 为公比 1 a 1 的等比级数 ∴ 收敛 （4）∵ 1 7 5 7 lim 7 6 7 5 6 lim n n n n n n n n n n = − − = → → ∵ = n 1 n 7 6 收敛， ∴ 原级数收敛
n为奇数 (5) ∴u.≤ n为偶数 n+1311 对 0,则称∑(-1)un=u1-u2+u3-u4+,为交错级数。 莱伯尼兹判别法 如交错级数∑(-1)un满足: ZUn+ (ii) lim u=0 则∑(-yun收敛,且和s≤1 例、判断下列级数的敛散性 1P274例7.13 2(-(m+1 解:0imun=lma+1-√)=imn 0
（5） ( ) = + − 为偶数 为奇数 n 5 n n 3 n 4 1 n n n n n ∴ n n 3 n u 对 n=1 n 3 n ∵ 1 3 1 n 3 3 n 1 lim u u lim n n 1 n n n 1 n = + = + → + → ∴ n=1 n 3 n 收敛，又由比较判别法知原级数收敛 （6） n 2 n 4 n 4 3 n n cos u = ，由此值法知 n=1 n 4 n 收敛 ∴ 原级数收敛 3°交错级数的敛散性的判别法 如 un 0 ，则称 (− ) = − + − + = − 1 2 3 4 n 1 n n 1 1 u u u u u 为交错级数。 莱伯尼兹判别法： 如交错级数 ( ) = − − n 1 n n 1 1 u 满足： ( i ) un un+1 ( ii ) lim un 0 n = → 则 ( ) = − − 8 n 1 n n 1 1 u 收敛，且和 u1 s 例、判断下列级数的敛散性。 1 P274 例 7.13 2 ( ) ( ) = − + − n 1 n 1 n 1 n 解：① ( ) 0 n 1 n 1 lim u lim n 1 n lim n n n n = + + = + − = → → → ② un = n +1 − n
n+1+ +2+√n+1 √n+2-√n+ 收敛 (-1) n-Inn 解:①∵ lim un=m~1 1 1 =lim 0 In n ②[+1)-ln(n+1)-[-n]=1-lm1+1|>0 > u.>u.+ n(n+1) ∴收敛 4°绝对收敛与条件收敛 定义P275∑un为任意项级数 如∑u收敛称∑un绝对收敛 如Σun发散Σun收敛称∑un条件收敛 定理,如∑u收敛→∑un必收敛 例、P276例7.177.18 例、判断级数的敛散性,如收敛,是绝对收敛还是条件收敛
n 2 n 1 1 n 1 n 1 + + + + + = = n + 2 − n +1 = un+1 ∴ 收敛 3 ( ) = − − − n 1 n 1 n ln n 1 1 解：① ∵ 0 n ln n 1 1 n 1 lim n ln n 1 lim u lim n n n n = − = − = → → → ② ( ) ( ) 0 n 1 n 1 ln n 1 n ln n 1 ln 1 + − + − − = − + ∴ n 1 ln(n 1) 1 n ln n 1 + − + − 即 un un +1 ∴ 收敛 4°绝对收敛与条件收敛 定义 P275 n=1 un 为任意项级数 如 n=1 un 收敛 称 n=1 u n 绝对收敛 如 n=1 un 发散 n=1 u n 收敛 称 n=1 u n 条件收敛 定理，如 n=1 un 收敛 → n=1 u n 必收敛 例、P276 例 7.17 7.18 例、判断级数的敛散性，如收敛，是绝对收敛还是条件收敛
(n-1)n 2)∑(-1) b>0 n+ 解:(1)lim nunn+2n0÷1im1+-|=<1 li ∴原级数收敛,且绝对收敛。 n+1 n b 解:(2)lim =liml b lim 6 n→n+1 0<b<1 原级数绝对收敛 原级数发散 ①lim-=0 1原级数为∑(-1)为交错级数 收敛 而Σa=∑发散 ∴b=1条件收敛 习题七,8
( 1 ) ( ) ( ) = − − n 1 n 10 2 n n 1 2 n 1 ( 2 ) ( ) = − n 1 n n n b 1 b 0 解：( 1 ) ( ) 1 2 1 n 1 lim 1 2 1 n 2 2 n 1 lim u u lim 1 0 n 1 0 n n 1 1 0 n n n 1 n = = + + = → + → + → ∴ 原级数收敛，且绝对收敛。 解：( 2 ) 6 n 1 n b lim b n n 1 b lim u u lim n n n 1 n n n 1 n = + = + = → + → + → 0 b 1 原级数绝对收敛 b 1 原级数发散 b = 1 原级数为 ( ) = − n 1 n n 1 1 为交错级数 收敛 而 = = = n 1 n 1 n n 1 u 发散 ∴ b =1 条件收敛 习题七， 8 ① 0 n 1 lim n = → ② un un+1
