§2向量的线性关系 概念 为了进一步研究线性方程组的有解性和工程技术实际问题以及理论的需要,我们在本节 研究向量的概念及其线性关系。 在向量代数一章里,我们已经知道,空间向量(向径)OM={x,y,z}(其中M( y,z)与有序三数组一一对应。将此推广到一般n元有序数组得到n维向量的概念。 定义1n个数a1,a2…an组成的有序数组a=(a1,a2…,an)称为n维向量, a1(=1,2,…,m)称为a的第i个分量(坐标) 注1.记号①手写:a,B,y分量用a,b。c…,{}→() ②印刷:黑体的a,B,y 维、二维、三维向量的几何意义分别是直线向量,平面向量和空间向量。四 维及其以上的向量已无几何意义。 3.线性方程a1x1+a2x2+…+anxn=b(a1,a2,…,an,b) 4.行向量,列向量。 运算 设a=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn) 1.相等:a=B分→a1=b(i=12,…,n 零向量:分量都是0,记作(或0),即O=(0,0,…0) 3.负向量:向量(-a1-a2…-an)称为a=(a1,a2…,an)的负向量,记为-a。 4.和与差向量(加与减): 向量(1+b,a2+b2…an+b)称为向量a与B的租,记作a+B 向量(-b1a2-b2…,an-bn)称为向量a与B的差,记作a-B 即a±B={a1±b,a2土b2…,an±bn) 5.数乘向量:ka=(ka,ka2,…,kan)。 向量的加法、减法与数乘统称为向量的线性运算。线性运算满足的运算律与三维向量 相同
§2 向量的线性关系 一． 概念 为了进一步研究线性方程组的有解性和工程技术实际问题以及理论的需要，我们在本节 研究向量的概念及其线性关系。 在向量代数一章里，我们已经知道，空间向量（向径） OM ={x，y，z}（其中 M（x， y，z））与有序三数组一一对应。将此推广到一般 n 元有序数组得到 n 维向量的概念。 定义 1 n 个数 a a an , , , 1 2 组成的有序数组 ( , , , ) = a1 a2 an 称为 n 维向量， a (i 1,2, ,n) i = 称为 的第 i 个分量（坐标）。 注1. 记号 ①手写： , , 分量用 a ,b, c ,……， → ( )。 ②印刷：黑体的 , , 。 2. 一维、二维、三维向量的几何意义分别是直线向量，平面向量和空间向量。四 维及其以上的向量已无几何意义。 3. 线性方程 ( , , , , ) a1 x1 + a2 x2 ++ an xn = b a1 a2 an b 4. 行向量，列向量。 二． 运算 设 ( , , , ) = a1 a2 an ， ( , , , ) = b1 b2 bn 1. 相等： a b (i 1,2,. ,n) = i = i = 2. 零向量： 分量都是 0，记作 （或 0），即 = (0,0, ,0) 3. 负向量： 向量 ( , , , ) − a1 −a2 −an 称为 = ( , , , ) a1 a2 an 的负向量，记为− 。 4. 和与差向量（加与减）： 向量 ( ) a +b a + b an + bn , , , 1 1 2 2 称为向量 与 的和，记作 + 。 向量 ( ) a −b a − b an − bn , , , 1 1 2 2 称为向量 与 的差，记作 − 。 即 ( ) = a b a b an bn , , , 1 1 2 2 。 5．数乘向量： k ( , , , ) 1 2 n = ka ka ka 。 向量的加法、减法与数乘统称为向量的线性运算。线性运算满足的运算律与三维向量 相同
例1:设a=(-3,3,6,0),B=(9,6,-3,18),求y满足a+3y=B 解:因为3y=B-a=(9,6,-3,18)-(-3,36,0)=(12,3,-918) 所以 y=(12,3,-918)=(4,-3,6)。 向量间的线性关系 1.概念 定义2.设a12a2,…,Cm,B是m+1个n维向量,若存在m个数k1,k2,……,km使 B=k,a,+ k2a 则称B是a1,a2,…,an的线性组合或B可由ax1,a2,…,an线性表示 例2.设a1=(1,1),a2=(0,1),a3=(0,0,1),B=(1,34)问B能否由a1a2,a2 线性表示? :由定义2知,B能由a12a2,C3线性表示分存在k1,k2,k3使 B=ka,+k,a,+k,a 成立,用分量表示(1),即 k1+k,=3 即k1=1,k2=2,k3 k1+k2+k3=4 所以,B=a1+2a2+a3,B能由∝1,a2,a3线性表示。 定义3.对于m个n维向量a12a2,…,an(m≥1),若存在m个不全为0的数 k1,k2,…km,使得 k,a,+k,a ck.a=e (3) 则称a1,a2,…,am线性相关,否则称∝1,∝2,…am线性无关。(即(3)式只有当 k1=k2=…=kn=0时才成立) 注1.包含零向量b的向量组必线性相关 单独一个已线性相关 an)与B=(b1,b2,…bn)线性相关
例 1：设 = (−3,3,6,0) ， = (9,6,−3,18) ，求 满足 + 3 = 。 解：因为 3 = − = (9,6,−3,18) − (−3,3,6,0) = (12,3,−9,18) 所以 (12,3, 9,18) 3 1 = − = (4,1,−3,6) 。 三. 向量间的线性关系 1. 概念 定义 2. 设 m , , , 1 2 , 是 m+1 个 n 维向量，若存在 m 个数 , , 1 2 k k m ,k 使 m m = k11 + k2 2 ++ k 则称 是 m , , , 1 2 的线性组合或 可由 m , , , 1 2 线性表示。 例2. 设 (1,1,1) 1 = ， (0,1,1) 2 = ， (0,0,1) 3 = ， = (1,3,4) 问 能否由 1 2 3 , , 线性表示？ 解：由定义 2 知， 能由 1 2 3 , , 线性表示 存在 1 2 3 k , k , k 使 11 22 33 = k + k + k （1） 成立，用分量表示（1），即 + + = + = = 4 3 1 1 2 3 1 2 1 k k k k k k 即 k1 =1, k2 = 2, k3 =1。 所以， = 1 + 2 2 +3， 能由 1 2 3 , , 线性表示。 定义 3. 对于 m 个 n 维向量 m , , , 1 2 （m≥1），若存在 m 个不全为 0 的数 m k , k , ,k 1 2 ，使得 k11 + k2 2 ++ km m = （3） 则称 m , , , 1 2 线性相关，否则称 m , , , 1 2 线性无关。（即（3）式只有当 k1 = k2 == km = 0 时才成立）。 注1. 包含零向量 的向量组必线性相关； 2. 单独一个 线性相关； 3. ( , , , ) = 1 2 n 与 ( , , , ) = b1 b2 bn 线 性 相 关
→a=k(=12 ∥B 几个有关的定理 定理1m个n维向量a1=(a1,a12,…,a1n),a2=(a21,a2…,a2n)…, an=(am1,am2,;an)线性相关分→以k,k2…,kn为未知量的齐次线性方程组 k=0 k1+a2nk2+…+ ak=0 有非零解(4)向量式是k1a1+k2a2+…+knam=O的坐标表示式) 推论1:n个n维向量a=(a12a12…,an)(i=1,2,…,n) a 线性相关← 21a22 a2n=0 定理2m个n维向量a1,a2,…,an(m>2)线性相关其中必有一个向量是其余 m-1个向量的线性组合。 设a1,a2…am线性相关,则有不全为0的k,k2,…,km使 ka1+k2a2+…+knn=6不妨设k≠0,于是由上式得 k 即a1是a2,a3,…,am的线性组合 设a1是a12a2,…,a1-1,a11…an的线性组合 即a1=k1a1+k2a2+…+k1(1-1+k1+…+knam 于是ka1+…+k-a-1+(-1)a1+ka1+…+knCn=b 因为k1,k2,…,k-1-1,k1…km不完全为0,所以a1,a2,…;am线性相关。 定理3若n维向量a1,a2,…,线性相关,则a1,…an,ar+1,…,am也线性相关
k b a i i = (i = 1,2,. ,n) ∥ （n 3 时）。 2. 几个有关的定理 定 理 1 m 个 n 维向量 ( , , , ) 1 11 12 1n = a a a ， 2 = (a21 ,a22 , ,a2 n ), ， ( , , , ) m m1 m2 mn = a a a 线性相关 以 m k , k , ,k 1 2 为未知量的齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 12 1 22 2 2 11 1 21 2 1 n n mn m m m m m a k a k a k a k a k a k a k a k a k （4） 有非零解（（4）向量式是 k11 + k2 2 ++ km m = 的坐标表示式） 推论 1： n 个 n 维向量 ( , , , ) i i1 i 2 i n = a a a (i = 1,2,. ,n) 线性相关 n n nn n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 13 = 0 定理 2 m 个 n 维向量 m , , , 1 2 （m≥2）线性相关 其中必有一个向量是其余 m−1 个向量的线性组合。 证 设 m , , , 1 2 线 性 相 关 ， 则 有 不 全 为 0 的 m k , k , ,k 1 2 使 k11 + k2 2 ++ km m = 不妨设 k1 0 ，于是由上式得 1 2 1 k k = − 2 −− m m k k 1 即 1 是 m , , , 2 3 的线性组合。 设 i 是 i i m , , , , , , 1 2 −1 +1 的线性组合 即 i i i i i m m = k11 + k2 2 ++ k −1 −1 + k +1 +1 ++ k 于是 k11 ++ ki−1i−1 + (−1)i + ki+1i+1 ++ km m = 因为 i i m k , k , , k , 1, k , k 1 2 −1 − +1 不完全为 0，所以 m , , , 1 2 线性相关。 定理 3 若 n 维向量 r , , , 1 2 线性相关，则 r r m , , , , , 1 +1 也线性相关
:因为a1,a2,…,a,线性相关,所以存在不全为0的k,k2…k,使 ka1+k2a2+…+k,a1=b,于是ka1+k2a2+…+ka+0an+…+0am=6 所以C 线性相关 证毕 推论:若向量组a1,a2,…,∝m线性无关,则它的任何一部分向量也线性无关 定理4若n维向量组a1,a2,…,am线性无关,则每一个向量上添加r个分量所得到的 n+r维向量组B1,B2,…,Bn也线性无关 设a1=( )(=1,2,…,m) B1=(a1,12 因为a1,a2…am线性无关,所以由定理1知 a,k,+a2rk2 齐次组 (5) k=0 k,+a,k k,+a,,k k=0 只有零解,因此添加r个方程的齐次组{a1nk1+a2nk2+…+ ak=0(6) k,+a2+, k =0 也只有零解,(因为(6)的解必为(5)的解,而(5)只有零解)故B13B2,…,Bn也线性无 注:定理4的逆不成立。如:B1=(12,0)与B2=(24,5)线性无关,但a1=(,2)与 a2=(24)都线性相关。 定理5若n维向量组a12a2…an线性无关,而向量组a1a2,…an,B线性相关, 则B一定能被a12a2,…am线性表示,并且表示式是唯一的 定理6若n维向量组B1,B2,…,Bmn,Bm+1每一个向量都能被n维向量a1,a2…,an 线性表示,则B1,B2,…,Bm,Bm+1必线性相关
证： 因为 r , , , 1 2 线性相关，所以存在不全为 0 的 r k ,k , ,k 1 2 ，使 k11 + k22 ++ krr = ，于是 k11 + k2 2 ++ kr r + 0 r+1 ++ 0 m = 所以 m , , , 1 2 线性相关。 证毕 推 论： 若向量组 m , , , 1 2 线性无关，则它的任何一部分向量也线性无关。 定理 4 若 n 维向量组 m , , , 1 2 线性无关，则每一个向量上添加 r 个分量所得到的 n+r 维向量组 m , , , 1 2 也线性无关。 证： 设 ( , , , ) i i1 i2 i n = (i = 1,2,. ,m) ( , , , , , , ) i = i1 i 2 in i,n+1 i,n+r 因为 m , , , 1 2 线性无关，所以由定理 1 知， 齐次组 + + + = + + + = 0 0 1 1 2 2 11 1 21 2 1 n n mn m m m a k a k a k a k a k a k （5） 只有零解，因此添加 r 个方程的齐次组 + + + = + + + = + + + = + + + = + + + + + + 0 0 0 0 1, 1 2, 2 , 2 , 1 1 1 2, 1 1, 1 1 2 2 11 1 21 2 1 n r n r m n r m n n m n m n n mn m m m a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k （6） 也只有零解，(因为（6）的解必为（5）的解，而（5）只有零解)故 m , , , 1 2 也线性无 关。 证毕 注： 定理 4 的逆不成立。如： (1,2,0) 1 = 与 (2,4,5) 2 = 线性无关，但 (1,2) 1 = 与 (2,4) 2 = 都线性相关。 定理 5 若 n 维向量组 m , , , 1 2 线性无关，而向量组 m , , , 1 2 , 线性相关， 则 一定能被 m , , , 1 2 线性表示，并且表示式是唯一的。 定理6 若n维向量组 1 2 1 , , , , m m+ 每一个向量都能被n维向量 m , ,......, 1 2 线性表示，则 1 2 1 , , , , m m+ 必线性相关
定理7任意n+1个n维向量必线性相关。证略 四、向量组的秩 定义4设a12a2,…,Cm是一个向量组T中的m个向量,如果满足: ①a12a2,…,n线性无关 ②T中任一向量a可由a1,a2,…,∝m线性表示。 则称a1,a2,…an是向量组T的一个最大无关组。 定义5向量组T的最大无关组所含的向量个数,称为T的秩,记为R(T) 注:若R(T)小于T所含向量个数,则T线性相关(定理2) 定理8设矩阵A 的行向量组为T a1=(a1,a12,…a1n,a2=(a21,a2,…,a2n), R(A)=R(T)(证略) 利用定理8可将求向量组的秩转化为求矩阵的秩。 例3求下列向量组的秩,并求一个最大无关组 (1)a1=(1,100),a2=(10,1),a3=(2,-1,3,3) (2)B=(,0.10),B2=(2l-1-3),B3=(1.0-3,-1)B4=(0,2,-6,3) 1100 100 00 解:(1)令A=1011->0-1110-111 2-133 0-333 0000 R(A)=2,所以R(a1,a2,a3)=2,且a1,a2是一个最大无关组 a3-302+1a1=6即a3=3a2-a 1010 (2)令B=/1-1-3 00-4-1 00-4-1 02-63 02-63 0009 所以R(B)=4,R(B1,B2,B3,B4)=4,故B1,B2,B3,B4线性无关当然为最大无关组
定理 7 任意 n+1 个 n 维向量必线性相关。证略 四、向量组的秩 定义 4 设 m , , , 1 2 是一个向量组 中的 m 个向量，如果满足： ① m , , , 1 2 线性无关； ② 中任一向量 可由 m , , , 1 2 线性表示。 则称 m , , , 1 2 是向量组 的一个最大无关组。 定义 5 向量组 的最大无关组所含的向量个数，称为 的秩，记为 R() 。 注：若 R() 小于 T 所含向量个数，则 线性相关（定理 2）。 定 理 8 设矩阵 mn = m m mn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 的 行 向量组为 ： ( , , , ), 1 11 12 1n = a a a ( , , , ) , 2 21 22 2 n = a a a , ( , , , ) m m1 m2 mn = a a a 则 R(A) = R(T) （证略） 利用定理 8 可将求向量组的秩转化为求矩阵的秩。 例 3 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组 （1） (1,1,0,0) 1 = ， (1,0,1,1) 2 = ， (2, 1,3,3) 3 = − （2） (1,0,1,0) 1 = ， (2,1, 1, 3) 2 = − − ， (1,0, 3, 1) 3 = − − (0,2, 6,3) 4 = − 解：（1）令 = 2 −1 3 3 1 0 1 1 1 1 0 0 → − − 0 3 3 3 0 1 1 1 1 1 0 0 → − 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 R(A) = 2， 所以 R(1 , 2 ,3 ) = 2，且 1 2 , 是一个最大无关组。 3 − 3 2 +11 = 即 3 = 3 2 −1 （2）令 B − − − − − = 0 2 6 3 1 0 3 1 2 1 1 3 1 0 1 0 → − − − − − 0 2 6 3 0 0 4 1 0 1 3 3 1 0 1 0 → − − − − 0 0 0 9 0 0 4 1 0 1 3 3 1 0 1 0 所以 R() = 4， R(1 , 2 , 3 , 4 ) = 4，故 1 2 3 4 , , , 线性无关当然为最大无关组
例4:判断下列向量组是否线性相关? :a1=(10,10),a2=(0,01),a3=(0.0,1),a4=(1,100) 解:[法一]令 1010 1010 a 0101 0101 A 00 0011 0011 a4(1100 0000 所以R(A)=3,从而R(T)=3<4,故a1,a2,3,a4线性相关 l010 法二因为10 011 10 =-1+1=0 001 10 所以由定理1的推论知a1,a2ax3,a4线性相关。 作业:习题3-21:2;3:4(1)(3):5(1)(2)
例 4：判断下列向量组是否线性相关？ ： (1,0,1,0) 1 = ， (0,1,0,1) 2 = ， (0,0,1,1) 3 = ， (1,1,0,0) 4 = 解：[法一] 令 = 4 3 2 1 = 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 − − ⎯⎯− ⎯− → 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 4 1 2 r r r ⎯ ⎯+ → 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 4 3 r r 所以 R() = 3 ，从而 R(T) = 3 4 ，故 1 2 3 , , 4 , 线性相关。 [法二] 因为 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 = 0 1 1 1 0 1 0 1 0 = = −1+1= 0 所以由定理 1 的推论知 1 2 3 , , 4 , 线性相关。 作业：习题 3-2 1；2；3；4（1）（3）；5（1）（2）