③复变国数论(0345 复变函数论 直播课程四 主讲教师:手扬荣
直播课程四
复变函数论(09350 52孤立奇点 1孤立奇点的分类 可去奇点、极点、本性奇点
5.2 孤立奇点 ◼ １孤立奇点的分类 可去奇点、极点、本性奇点
2复变函教论(03450 2、可去奇点的判断 定理53设为f()的孤立奇点,则下 述等价: (1)f(z)在a的主要部分为0; (2)imf(z)=b(≠=∞) z→a (3)f(x)在点m的某去心邻城内有界
2、可去奇点的判断 定理5.3 设a为 的孤立奇点，则下 述等价： （1） 在a的主要部分为0； （2） （３） f (z) 在点a的某去心邻域内有界。 f (z) ( ) = ( ) → f z b z a lim f (z)
2复变函教论(03450 ■极点 定理54若f()以点为孤立奇点 则下述等价 (1)a是m级极点,即主要部分为 ∴ c≠0
◼ 极点 ◼ 定理5.4 若 以点a为孤立奇点， 则下述等价 ◼ （1） a 是m级极点，即主要部分为 ( ) 0 1 − + + − − − − m m m c z a c z a c f (z)
2复变函教论(03450 (2)f(z)在点a的去心邻域内有 且x()解析且(l)≠0 (3)g/)m级零点
（２） 在点a的去心邻域内有 且 解析且 （３） 以a为m级零点。 f (z) ( ) ( ) ( ) m z a z f z − = (z) (a) 0 ( ) f (z) g z 1 =
复变函数论(09350 定理55f(x)的孤立奇点为极点的 充分必要条件是 imf()=∞ z→a
◼ 定理5.5 的孤立奇点a为极点的 充分必要条件是 f (z) ( ) = → f z z a lim
2复变函教论(03450 5、本性奇点 定理56f(x)的孤立奇点a为本性 奇点的充分必要条件是 m/()=1O b(有限数)
◼ 5、本性奇点 ◼ 定理5.6 的孤立奇点a为本性 奇点的充分必要条件是 f (z) ( ) ( ) → b 有限数 f z z a lim
复变函数论(09350 第六章残数理论 §1残数 定义61设∫(z)以a为孤立奇点,即在a 的去心邻域0<|z-a<R内解析, 则称积分 ∫(k(=a=0<p≤R) 2 为∫()在点a的残数( residue)
第六章 残数理论 ◼ §1 残数 定义6.1 设 以a为孤立奇点，即在a 的去心邻域 内解析， 则称积分 为 f (z) 在点a的残数（residue） 0 z − a R f (z)dz ( z a R) i − = 0 2 1 ： ， f (z)
2复变函教论(03450 Res(z f(zdx Z=a 2T res 二C-1 z=a
( ) Re −1 = s f z = c z a ( ) = = f z dz i f z z a 2 1 Res ( )
2复变函教论(03450 ■定理61(柯西残数定理) ∫f(k=2z2Resf() =1 k
◼ 定理6.1 （柯西残数定理） ( ) ( ) = = = n k c z a f z dz i s f z k 1 2 R e