2004~2005学年第二学期初等数论科目考试试题A卷 使用班级(老师填写) 三|四|五六|七八|九总分 阅卷人 、填空题(每空2分,共20分) 窗}:1.120:的十进制表达式中结尾有一一 司};2.8cd(-283,9)= 盏:3.有理数,0<a<b,(a,b)=1能写成纯循环小数的充要条件是 彐}案 需:4.对于实数x=-z,则x的小数部分{-} 器!5:设r(n)表示正整数n的约数的个数,则使r(n)=12成立的最小正整数n= 圈!6.已知197为素数,且196!≡a(mod197),其中300≤a≤500, 如 :则a的值为 7.勒让得符号/286 563 8.已知a对模m的指数为δ,则a2对模m的指数为 9.6是模11的一个原根,则ind(-1) 即 10.不定方程ax+by=c有整数解的充要条件是 第1页(共页)
班 第 1 页 （共 页） 级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 李伟勋 审题： 审批： -------------------------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （ 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ） 2004～2005 学年第二学期 初等数论 科目考试试题 A 卷 使用班级（老师填写）： 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 得 分 阅卷人 一、填空题（每空 2 分，共 20 分） 1．120！的十进制表达式中结尾有 个零 2． 3 3 gcd( 28 , 91 ) − = ． 3．有理数 a b ， 0 a b ， ( , ) 1 a b = 能写成纯循环小数的充要条件是 4．对于实数 x =− , 则 x 的小数部分 { } − = ． 5．设 ( ) n 表示正整数 n 的约数的个数，则使 ( ) 12 n = 成立的最小正整数 n = 6．已知 197 为素数，且 196! (mod 197 ) a ，其中 300 500 a ， 则 a 的值为 7．勒让得符号 286 563 = 8．已知 a 对模 m 的指数为 ，则 a 对模 m 的指数为 9．6 是模 11 的一个原根，则 6 ind ( 1) − = 10．不定方程 ax by c + = 有整数解的充要条件是
、单选题(请将各题正确答案填入下面表格内,每题2分共20分) 12 13 14 17 19 答案 1l.若f(n)为积性函数,则下式正确的是( f(1)=1 C.f(12)=f(n1)f(n2)D.f(m)=f(n1)f(n2) 12.设以(n)为MGbs函数,n=PP3…P则和式∑(d)|的值为( A.0或1 B C.(-1) 13.下述整数集合中,( )的全体元素可以成为模为10的一个简化剩余系 (7x+5x=士1±3}B.{17xx=土1±3} C.{7x+5|x=±1±5}D.{27x|x=土±5} 14.下列同余式一定有整数解的是() A.26=15(mod34) B.17x=8(mod34) 10x≡26(mod34) D.8x≡9(mod34) 15.下列数是模13的平方剩余的是( A.6 16.若同余式x2≡a(mod2)a≥3,(2,a)=1有解,则解数为( 17.以下模没有原根的是( 2 18.关于模m指标的性质,以下错误的是( g B. ind ab= ind a+ ind b( mod m) C. ind l=o(m) D. ind a"=nind, a( mod o (m)) 9.下列各数中不构成勾股数的是( A.5,12,13 B.7,24,25C.3,4,5D.8,16,17 20.以下方程有本原解的是( Bx C. x2 z4D.x2+4y2=z2 第2页(共页)
第 2 页 （共 页） 二、单选题（请将各题正确答案填入下面表格内, 每题 2 分,共 20 分） 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 11．若 f n( ) 为积性函数，则下式正确的是（ ） A． f (1) 1= B． f n n ( ) = C． 1 2 1 2 f n n f n f n ( ) ( ) ( ) = D． 1 2 f n f n f n ( ) ( ) ( ) = 12．设 ( ) n 为 Mobius 函数， 1 2 1 2 k k n p p p = 则和式 | | ( ) | d n d 的值为（ ） A．0 或 1 B． －1 C． ( 1)k − D． 2 k 13．下述整数集合中，( )的全体元素可以成为模为 10 的一个简化剩余系。 A． 7 5| 1, 3 x x + = B． 17 | 1, 3 x x = C． 7 5| 1, 5 x x + = D． 27 | 1, 5 x x = 14．下列同余式一定有整数解的是（ ） A． 26 15 ( mod 34 ) B． 17 8 ( mod 34 ) x C． 10 26 ( mod 34 ) x D． 8 9 ( mod 34 ) x 15．下列数是模 13 的平方剩余的是（ ） A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 16．若同余式 2 x a a (mod 2 ), 3, (2, ) 1 = 有解，则解数为（ ） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 17．以下模没有原根的是（ ） A．2 B． p C． 2p D． 2 p 18．关于模 m 指标的性质，以下错误的是（ ） A． 1 g ind g = B． ( mod ) g g g ind ab ind a ind b m + C． 1 ( ) g ind m = D． ( mod ( ) ) n g g ind a nind a m 19．下列各数中不构成勾股数的是（ ） A．5， 12，13 B．7，24，25 C．3，4，5 D．8，16，17 20．以下方程有本原解的是（ ） A． 4 4 4 x y z + = B． 4 4 2 x y z + = C． 2 2 4 x y z + = D． 2 2 2 x y z + = 4
三.计算题(每题5分,共30分) 21.求解不定方程9x+21y=144 2(mod 7 :2.求解同余式组{x=5(mo9 11(mod 15) 图 彐 !铷3.求以3为平方非剩余的质数的一般表达式。 m+==: 第3页(共页)
第 3 页 （共 页） -------------------------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （ 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ） 班 级（学生填写）： 姓名： 学号： 三．计算题（每题 5 分，共 30 分） 21．求解不定方程 9 21 144 x y + = 2．求解同余式组 2 (mod 7) 5 (mod 9) 11 (mod 15) x x x 3．求以 3 为平方非剩余的质数的一般表达式
4.判断同余式x2=25(mod504)是否有解?有多少个解?并说明理由 5.求模13的全部原根。 6.设P=17及其一个原根g=3,构造其指标表如下 0 2 4 6 8 12 15 11 13 9 试求同余式x2=13(mod17)的全部解。 第4页(共页)
第 4 页 （共 页） 4．判断同余式 2 x 25 (mod 504) 是否有解？有多少个解？并说明理由。 5．求模 13 的全部原根。 6．设 P =17 及其一个原根 g = 3 ，构造其指标表如下： 个位 十位 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 16 14 1 12 5 15 11 10 2 1 3 7 13 4 9 6 8 试求同余式 4 x 13 (mod 17) 的全部解
四.证明题(共30分) 设a是大于1的正整数,证明1++…非整数.(6分) 2.设m>1,m∈Z,如果{a2a2;…,aom})是模m的简化剩余系,证明 a,(m) (8分) 燕阳盎长铷 3.设p为奇素数,求证:()2=(-1) (mod P) (8分) 试 m+==: 第5页(共页)
第 5 页 （共 页） -------------------------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- （ 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ） 班 级（学生填写）： 姓名： 学号： 四．证明题（共 30 分） 1．设 a 是大于 1 的正整数，证明 1 1 1 2 a + + 非整数．（6 分） 2．设 m 1， m Z+ ，如果 1 2 ( ) { , , , } m a a a 是模 m 的简化剩余系，证明： ( ) 1 ( ) 2 m i i a m m = = （8 分） 3．设 p 为奇素数, 求证: 1 2 2 1 (( )!) ( 1) (mod ) 2 p P P + − − （8 分）
4.设f(x)为一可乘函数,山(x)为Mbs函数,a=pp2…p是a的标准分解式,证明: ∑(df(d)=∏1(-f(p2) (8分) ----,=,=,=,-, 第6页(共页)
第 6 页 （共 页） 4．设 f x( ) 为一可乘函数， ( ) x 为 Mobius 函数， 1 2 1 2 k k a p p p = 是 a 的标准分解式，证明： | 1 ( ) ( ) (1 ( )) k i d a i d f d f p = = − （8 分）