广东石油化工学院（茂名学院）：《复变函数》课程PPT教学课件（讲稿）第六章 残数理论 §3 角原理与儒歇定理

复支汤数论 辅导课程十八 主讲教师:李伟勋

辅导课程十八

83 辐角原理与儒歇定理 1 对数残数与辐角原理 形如 I dz 2元i f(z) 的积分称为对数残数

• １ 对数残数与辐角原理 形如 的积分称为对数残数    dz f z f z i   2 1

YMMSTEANMRISTEIASHINMAYEANARYIMATEAWMRIN数MM 引理64(1)设a为f(=)的n 级零点,则必为函数 的 级极点,且 fz) Re sl 2= f(z)

• 引理6.4 （1）设 为 的 级零点，则 必为函数 的 一级极点，且 a f z n a   f z f  z     n f z f z s z a         Re

YMMSTEANMRISTEIASHINMAYEANARYIMATEAWMRIN数MM (2)设b为f(z)的m级极点, 则b必为函数(二)的一级极 点。且 f() Re 2=a

• （2）设 为 的 级极点， 则 必为函数 的一级极 点。且 b b f z m   f z f  z     m f z f z s z a           Re

YMMSTEANMRISTEIASHINMAYEANARYIMATEAWMRIN数MM 证:(1)若a为f(z)的n级零 点,则有 f(z=(z-argz) 其中g()解析,且g(a)≠0 于是

• 证：（1）若 为 的 级零 点，则有 其中 解析，且 于是 a f z n f z z a gz n   gz ga  0

YMMSTEANMRISTEIASHINMAYEANARYIMATEAWMRIN数MM fz=n(z-a)(z)+(z-a g(z) f(z) n (z) 因右端第二式解析,故a为f"(z) 的 级极点,且(1)式成立

因右端第二式解析，故 为 的 一级极点，且（1）式成立。 f z nz a gz z a g z n n       1       gz g z z a n f z f z      a   f z f  z

YMMSTEANMRISTEIASHINMAYEANARYIMATEAWMRIN数MM 定理69设是一条围线,∫瞒足: (1) 在的内部除可能有极点 外是解析的 (2) 在上解析且不为零。 则有f(z)C 1rf() 2ri dc f(z) 2h=M(,C)-P(f,C)

定理6.9 设 是一条围线， 满足： • （1） 在 的内部除可能有极点 外是解析的。 • （2） 在 上解析且不为零。 则有 C f z f z C f z C    dz N f C P f C f z f z i C , , 2 1     

YMMSTEANMRISTEIASHINMAYEANARYIMATEAWMRIN数MM 辐角原理在定理69的条件下,有 N(,C)-以(.)=argf() 2兀

• 辐角原理 在定理6.9的条件下，有       2 arg , , f z N f C P f C C  

YMMSTEANMRISTEIASHINMAYEANARYIMATEAWMRIN数MM 定理610(歇定理)设C是一条围 线,函数f(=)及叭()满足: (1)它们在内部均解析,且连续到C (2)在C上,|f()>= 则 N(+g,C)=N(,C)

• 定理6.10（儒歇定理） 设 是一条围 线，函数 及 满足： • （1） 它们在内部均解析，且连续到 • （2） 在 上， 则 z C C f z  z f z C N f ,C  N f ,C

YMMSTEANMRISTEIASHINMAYEANARYIMATEAWMRIN数MM 例613设n次多项式 an2+…a,2+…+a (a0≠0) 合条件 a,>an+∴+ ∴ 则p()在单位圆|≤1内有n-t个 零点

例6.13 设 次多项式 合条件 则 在单位圆 内有 个 零点。 n    0  0     0   p z a z a z an a n t t n   t t t n a  a   a  a   a 0  1 1  pz z  1 n  t