2002~2003学年第一学期复变函数科目考试试题A卷 使用班级(教师填写):函数本02—1,2,3,4班 五六七|八|九总分 阅卷 、填空题(每小题1分,共10分) 1.设点2?2则其辐角主值arg(-n<arg≤丌)为 2.snz在点z=0处的泰勒级数为 4.幂级数∑二的收敛半径R 5.设w=v,(z∈G:-r<argx<r)为一单值分支,若w(i)=-i则 v(-1 7=k1-5a 7.函数f()=6smz3+z2(=6-6)在零点z0的级 8.方程4-5z+1=0在圆环14k2内有 个根 第1页(共6页)
2002 ~2003 学年第 一 学期 复变函数 科目考试试题 A 卷 使用班级（教师填写）： 函数本 02—1，2，3，4 班 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 得 分 阅卷人 一、填空题(每小题 1 分，共 10 分) 1. 设点 z i 2 1 2 1 = − − , 则其辐角主值 argz(-π<arg z )为_______. 2. sin z 在点 z=0 处的泰勒级数为 3. 1+i 2 = 4. 幂级数 n=0 n n z 的收敛半径 R= 5. 设 w= z 3 ， ( z G : − arg z ) 为 一 单 值 分 支 , 若 w(i) = −i 则 w(−i) = ______. 6. : z =1 5 z dz z e c = 7. 函数 ( ) 6sin ( 6) 3 3 6 f z = z + z z − 在零点 z=0 的级 8. 方程 5 1 0 4 z − z + = 在圆环 1 | z | 2 内有_______个根. 第 1 页（共 6 页） 班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 李伟勋 审题： 审批：
9.函数w=f(x)=z2+2z在点z=1+2处的旋转角为 10.称变换=-为 变换 、判断题判断下列各题,正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”。 每小题1分,共10分) 1.若z为纯虚数,则z≠2 2.若f()在点a处可微,则f()必在点a处解析。 3. sn z=sin z 4.设f()在z平面上的区域D内解析,C为D内的任一闭曲线 则∫(=.( +51 5.复数项级数 必定绝对收敛。 n=1 n 6.有界的整函数必恒为一常数 7.函数f(=)=cos-,在点z=∞的去心邻域内一定不能展成罗朗级数.( 8.方程c-=(>1)在单位圆|(1=2由区域<向外的解析开拓( 第2页(共6页)
9. 函数 w f (z) z 2z 2 = = + 在点 z =1+2i 处的旋转角为 10．称变换 z w 1 = 为 变换. 二、判断题(判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。 每小题 1 分，共 10 分) 1. 若 z 为纯虚数 , 则 z z 。 ( ) 2. 若 f (z) 在点 a 处可微, 则 f (z) 必在点 a 处解析。 ( ) 3. sin z = sin z. ( ) 4. 设 f (z) 在 z 平面上的区域 D 内解析，C 为 D 内的任一闭曲线, 则 f z dz c ( ) =0. ( ) 5. 复数项级数 = + 1 ! (3 5 ) n n n i 必定绝对收敛.。 ( ) 6. 有界的整函数必恒为一常数。 （ ） 7. 函数 x f z 1 ( ) = cos , 在点 z = 的去心邻域内一定不能展成罗朗级数. ( ) 8. 方程 = ( 1) − e z z 在单位圆 1 内恰有 1 个实根. ( ) 9.函数 2 w = z 将圆 | z −1|= 1 的内部保形变换成心脏线的内部. ( ) 10. 函数 2 1 1 ( ) z F z + = 是函数 = = − 0 2 ( ) ( 1) n n n f z z 由区域 z 1 向外的解析开拓. ( ) 第 2 页（共 6 页）
三、完成下列各题(每小题5分,共40分) 1考察函数f()=+在=0处的极限 2.计论函数f()=e的解析性 3证明:函数f()=cosz在二平面上无界 4计算积分∫0=cs:2
（ 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ） OOOOOO 密 OOOOOO 封 OOOOOO 线 OOOOOO 三、完成下列各题(每小题 5 分，共 40 分) 1. 考察函数 z z z z f (z) = + 在 z = 0 处的极限。 2. 计论函数 2 ( ) z f z = e 的解析性。 3.证明：函数 f (z) = cosz 在 z 平面上无界. 4. 计算积分 i z z dz 0 2 cos
第3页(共6页) 5.已知v(x,y) 求合于条件f(2)=0的解析函数f()=l(x,y)+in(x,y) 6.将函数∫(-)=e“在z=0处展开,并指明其收敛范围 7.将函数∫()=2e在点=0及z=∞处的罗朗级数 8.求函数f(-)= 在z=0及z=∞处的残数
第 3 页（共 6 页） 5．已知 2 2 ( , ) x y y v x y + = ，求合于条件 f (2) = 0 的解析函数 f (z) = u(x, y) +iv(x, y) 6. 将函数 z e f (z) = e 在 z = 0 处展开, 并指明其收敛范围. 7. 将函数 z f z z e 1 2 ( ) = 在点 z = 0及z = 处的罗朗级数. 8. 求函数 4 2 1 ( ) z e f z z − = 在 z = 0 及 z = 处的残数
第4页(共6页) 四、(10分) COSx 求积分值l 五、(10分) 求函数f(二)= 的奇点,并判定其类别包括无穷远点)
（ 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ） OOOOOO 密 OOOOOO 封 OOOOOO 线 OOOOOO 第 4 页（共 6 页） 四、(10 分) 求积分值 I= + + + 0 9) 2 1)( 2 ( cos dx x x x 五、(10 分) 求函数 z e f z z 1 1 1 ( ) − − = 的奇点，并判定其类别(包括无穷远点)
第5页(共6页) 六。(10分) 将单位圆周割去0到1的半径后剩下的区域保形变换到上半平面。 七.(10分)证明: 已知函数f(二)=1+2+(2-)2+(2=)+…,证明:函数 f2(-) 是函数f1(=)的解析开拓
第 5 页（共 6 页） 六．（10 分） 将单位圆周割去 0 到 1 的半径后剩下的区域保形变换到上半平面。 七．（10 分）证明： 已知函数 f 1 (z) =1+ 2z + (2z) 2 + (2z) 3 + ，证明：函数 + − + − + − = 3 2 2 2 1 (1 ) (1 ) 1 ( ) z z z z z f z 是函数 ( ) 1 f z 的解析开拓
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（ 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ） OOOOOO 密 OOOOOO 封 OOOOOO 线 OOOOOO 第 6 页（共 6 页）
