《复变函数》复习思考题 计算题 设 求及 2 2.函数O=将z平面上的曲线(x-1)2+y2=1变成O平面上的什么曲线 (=x+,O=li)? 3下列关系表示的点z的轨迹的图形是什么?它是不是区域? 上-|=|-(1≠2 s|-4 l; z+1 (4)02且-3>1 (6)mz>1<2 I SI 4.将复数 化为指数形式化为三角形式 (cos 3o-isin 3p) 5.判断函数/(二)=x2+py2的可微性和解析性。 6.设O=v确定在从原点z=0起沿正实轴割破了的z平面上,并且o(O)=-,试求 o(-)之值 7.试求下面各式之值: (1)e;(2)cos(1-) 8.设=V2确定在从原点z=0起沿负实轴割破了的二平面上,并且o(-2)=-V2,(这
- 1 - 《复变函数》复习思考题 一 计算题 1． 设 2 1 3i z − = ，求 z及Argz 。 2. 函 数 z 1 = 将 z 平 面 上 的 曲 线 ( 1) 1 2 2 x − + y = 变 成 平 面 上 的 什 么 曲 线 (z = x + iy, = u + iv) ？ 3.下列关系表示的点 z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域？ (1) , ( ); 1 2 1 2 z − z = z − z z z (2) z z − 4; (3) 1; 1 1 + − z z (4) 2 e 3; 4 0 arg(z −1) 且 R z (5) z 2且z −3 1; (6) Imz 1且z 2; 4. 将复数 3 2 (cos3 sin 3 ) (cos5 sin 5 ) i i − + 化为指数形式化为三角形式。 5．判断函数 ( ) 2 2 f z = x + iy 的可微性和解析性。 6．设 3 = z 确定在从原点 z = 0 起沿正实轴割破了的 z 平面上，并且 (i) = −i ，试求 (− i) 之值 7．试求下面各式之值： （1） i e 3+ ；（2） cos(1−i)。 8．设 3 = z 确定在从原点 z = 0 起沿负实轴割破了的 z 平面上，并且 ( ) 3 − 2 = − 2 ，（这
边界上岸点对应的函数值),试求o(行)之值。 9.计算 ()2"(=+2)dt (2) cos-dz 0.0求积分=2+8=+1之值其中积分路径是连接0到2m的摆线 x=ae-sin0)y=a(l-cose) 1.计算积分「 (1)C|+1=(2)C = 12.设C表圆周x2+y2=3,/() 32+75+b4求f(+) 13.确定下列幂函数的收敛半径 (1) (2)ym (3) n=0 14.将下列函数展成z的幂级数,并指出展式成立的范围 a2+b(ab为复数,且b≠0); (2)e;(3) (4)sm (5) 15.指出下列函数在零点z=0的级。 (1)2(e)-1:(2)6snz3+z3(=6-6) 16.在原点解析,而在==-(n=1,2…)处取下列各组值的函数是否存在: (1)0,1,0,1,0,1, (2)0.10.10.1 (3)11111 224466
- 2 - 是边界上岸点对应的函数值），试求 (i) 之值。 9．计算: (1) (z ) dz i 2 2 2 2 − + − + ； (2) + i dz 2 z 0 2 cos 10．求积分 ( ) + + 2 0 2 2z 8z 1 dz 之值,其中积分路径是连接 0 到 2 的摆线: x =( −sin ), y =(1− cos ). 11．计算积分: dz z z c −1 4 sin 2 (1) C: 2 1 z +1 = (2) C: 2 1 z −1 = (3) C: z = 2 12．设 C 表圆周 3 2 2 x + y = , ( ) d z f z c − + + = 3 7 1 2 ,求 f (1+ i). 13．确定下列幂函数的收敛半径： （1） n＝0 n n z ； （2） n=0 2 n n nz ； （3） n n n n z =1 。 14．将下列函数展成 z 的幂级数，并指出展式成立的范围： （1） az + b 1 （a,b 为复数，且 b 0 ）； （2） e dz z z 0 2 ； （3） z dz z z 0 sin ； （4） z 2 sin ； （5） 2 (1 ) 1 − z 。 15．指出下列函数在零点 z = 0 的级。 （1） ( ) 1 2 2 − z z e ； (2) 6sin ( 6) 3 3 6 z + z z − . 16．在原点解析，而在 ( 1,2, ) 1 = n = n z 处取下列各组值的函数是否存在： （1）0，1，0，1，0，1，… （2） , 6 1 ,0, 4 1 ,0, 2 1 0, … （3） 6, 1 , 6 1 , 4 1 , 4 1 , 2 1 , 2 1 …
(4) 12345 456 将下列各函数在指定圆环内展为罗朗级数 1) 0<<11< <+0。 (2) 1<|<2 18.将下列各函数在指定点的去心邻域内展成罗朗级数,并指出其收敛范围。 (2)x2e 0及z (3)eh=,z=1及z=∞ 19.(1) 在z=±1,∞ (二-1)(=+1) 1在=nz(m=0±1 (3) (4)e-1在z=1 20求下列函数f()在其孤立奇点(包括无穷远点)处的残数(m是自然数) (1)=sin (2) 21.计算下列各积分: dz (1) (2) dz ==l=sin z 2m小=21+
- 3 - （4） , 6 5 , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 … 17．将下列各函数在指定圆环内展为罗朗级数。 （1） + − + z z z z z ,0 1;1 ( 1) 1 2 。 （2） ,1 2. ( 2)( 1) 2 5 2 2 − + − + z z z z z 18．将下列各函数在指定点的去心邻域内展成罗朗级数，并指出其收敛范围。 （1） , . ( 1) 1 2 2 z i z = + （2） , 0 . 1 2 z e z z = 及z = （3） , 1 . 1 1 e −z z = 及z = 19．（1） 2 (z −1)(z +1) z 在 z = 1,. (2) ( 0, 1,...). sin 1 z = n n = z 在 （3） 0, . 1 4 2 = − z z e z 在 （4） −1 = 1, 1 e z z 在 . 20 求下列函数 f (z) 在其孤立奇点（包括无穷远点）处的残数（ m 是自然数）。 （1） . 1 sin z z m （2） m m z z 1+ 2 。 21．计算下列各积分： （1） =1 z zsin z dz ； （2） =2 + 2 2 1 1 z zi dz z e i ；
C:x2+y2=2(x+y) (-1)2(x2+1) a≠b,n为自然数) H(-a)"(=-b) 22求积分之值 (a>1) 23.求实积分: (x2+1)(x2+4 24.方程z-82+10=0在圆1<1与在圆环1<<3内各有几个根? 证明题 r) 若z≠0, 1.命f(=)={x 试证:f(-)在原点不连续 0, 2.试证:任何有界的复数列必有一个收敛的子数列。 3.试证下列函数在z平面上任何点都不解析: (1)|:(2)x+y:(3)Rez:(4) 4.试证:arg(-x<argz≤x)负实轴上(包括原点)不连续,除此而外在二平面上处 5.设f()= 试证:Re| 0,(2<1) 6.由积分 1+2 cos 之值证明 d6=0 z+2 5+4 cos0 其中C取单位圆周=1 7.设f()在二平面上解析且(=)恒大于一正的常数试证f()必为常数 8.设∑Cn2”的收敛半径为R(0<R<+∞),并且在收敛圆周上一点绝对收敛。试证明这 个级数对于所有的点z:|2≤R为绝对收敛且一致收敛
- 4 - （3） c z − z + dz ( 1) ( 1) 2 2 ， : 2( ) 2 2 C x + y = x + y ; (4) =1 ( − ) ( − ) z n n z a z b dz ( a b n为自然数 b a , 1, 1, ). 22 求积分之值： 2 0 a＋cos d (a 1) ; 23．求实积分： + 0 + + 2 2 2 ( 1)( 4) dx x x x 24．方程 z 8 10 0 4 − z + = 在圆 z 1 与在圆环 1< z 3 内各有几个根？ 二 证明题 1．命 = + ， 若 ＝ 。 ，若 ， 0 z 0 z 0 ( ) 2 2 x y xy f z 试证： f (z) 在原点不连续。 2．试证：任何有界的复数列必有一个收敛的子数列。 3．试证下列函数在 z 平面上任何点都不解析： （1） z ； （2） x + y ；（3）Re z ；（4） z 1 4．试证： arg z(− arg z ) 负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在 z 平面上处 处连续。 5．设 ( ) 2 1 z z f z − = ，试证：Re ( ) ( ) 0 f z f z z ，(z 1) 。 6．由积分 c z + dz 2 之值证明 0 5 4cos 1 2cos 0 = + + d ， 其中 C 取单位圆周 z = 1。 7．设 f (z) 在 z 平面上解析,且 f (z) 恒大于一正的常数,试证 f (z) 必为常数. 8．设 n=0 n n c z 的收敛半径为 R(0 R +) ,并且在收敛圆周上一点绝对收敛。试证明这 个级数对于所有的点 z : z R 为绝对收敛且一致收敛
9.设级数∑/()在点集E上一致收敛于f(),且在E上g()0,且M=max(-(p>R) 试证:在圆 内f(二)无零点 +m 1l.设f()是一个整函数,且假定存在着一个正整数n,以及两个正数R与M,使当 ≥R时,f()≤M 试证:f(=)是一个至多n次的多项式或一常数。 12.设函数f()在点a解析,试证函数 (-)-/(a) ,2≠a 在点a也解析。 f(a 2=a 13.证明方程 二(λ>1) 在单位圆|1) 在C内部恰好有一个根。 15.设f()为非常数的整函数又设RM为任意正数试证满足>R且(=)>M的 必存在 16.若a为f()的单值孤立奇点,(2-a)f(x)k为正整数)在点a的去心邻域内有界
- 5 - 9．设级数 =1 ( ) n n f z 在点集 E 上一致收敛于 f (z) ，且在 E 上 g(z) M ， (M +) 则 级数 =1 ( ) ( ) n n g z f z 在 E 上一致收敛于 g(z) f (z) 。试证之。 10．设 = = 0 ( ) n n n f z a z ( 0) a0 的收敛半径 R 0 ，且 M max f (z) z = （ R ）. 试证：在圆 a M a z + 0 0 内 f (z) 无零点。 11．设 f (z) 是一个整函数，且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 与 M ，使当 z R 时， n f (z) M z 试证： f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。 12．设函数 f (z) 在点 a 解析，试证函数 = − − = f a z a z a z a f z f a g z ( ), , ( ) ( ) ( ) 在点 a 也解析。 13．证明方程 = ( 1) − e z z 在单位圆 z 1 内恰有一个根，且为实根。 14．若 f (z) 在围线 C 内部除有一个一级极点外解析且连续到 C ，在 C 上 f (z) =1. 证明 f (z) = a ( a 1) 在 C 内部恰好有一个根。 15．设 f (z) 为非常数的整函数,又设 R,M 为任意正数.试证:满足 z R 且 f (z) M 的 z 必存在. 16．若 a 为 f (z) 的单值孤立奇点， (z − a) k f (z)(k为正整数） 在点 a 的去心邻域内有界
试证:a是f(=)的不高于k级的极点或可去奇点 三综合运用题 1.已知+v=(x-yXx2+4xy+y2)-2(x+y,试确定解析函数f()=u+ 2.设在<R内解析的函数f()有泰勒展式 ∫(=)=ao+a12+a22+…+an2"+ 试证:当0≤<R时,(e2)d0=∑n 3.若a为f()的单值孤立奇点,(x-a)f()k为正整数)在点a的去心邻域内有界。 试证:a是f(二)的不高于k级的极点或可去奇点 4.考察函数 的奇点类型 sIn 5应用残数定理计算实积分 6.设()在C:|=1内部解析,且连续到C,在C上o(-)<1。试证:在C内部只有 个点zo,使q(=0)=二0。 7.设∫()不恒为零且以z=a为解析点或极点,而q(二)以二=a为本性奇点,试证二=a 是()±f()2()f()及=m的本性奇点
- 6 - 试证： a 是 f (z) 的不高于 k 级的极点或可去奇点。 三 综合运用题 1．已知 u + v = (x − y)(x + 4xy + y )− 2(x + y) 2 2 ,试确定解析函数 f (z) = u + iv 。 2．设在 z R 内解析的函数 f (z) 有泰勒展式 ( ) ... ... 2 = 0 + 1 + 2 + + + n n f z a a z a z a z ， 试证：当 0 r R 时， = = 0 2 2 2 2 0 ( ) 2 1 n n n x i f re d a r 3．若 a 为 f (z) 的单值孤立奇点， (z − a) k f (z)(k为正整数） 在点 a 的去心邻域内有界。 试证： a 是 f (z) 的不高于 k 级的极点或可去奇点。 4．考察函数 ) 1 sin 1 ( ) sin( z f z = 的奇点类型。 5 应用残数定理计算实积分 + 2 0 2 ( 0); sin a a x dx 6．设 (z)在C : z =1 内部解析，且连续到 C ，在 C 上 (z) 1 。试证：在 C 内部只有 一个点 z 0 ，使 0 0 (z ) = z 。 7．设 f (z) 不恒为零且以 z = a 为解析点或极点，而 (z) 以 z = a 为本性奇点，试证 z = a 是 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) f z z z f z z f z 及 的本性奇点