复变函数 第四章解析函数的幂级数表示法 第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点
第四章 解析函数的幂级数表示法 第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点
0复变函数 第四章解析函数的幂级数表示法 级数的基本理论 1、复数项级数——归结于实数的级数理论 例∑=∑ (-1)(-)收敛但不绝对收敛 n-a2n2n+1(条件收敛) 2、复函数项级数 注意分辨几种收敛性:在E上(逐点)收敛、绝对收 敛、在E上一致收敛、在区域D内内闭一致收敛
第四章 解析函数的幂级数表示法 一、级数的基本理论 1、复数项级数——归结于实数的级数理论 ( ) ( ) 1 1 0 1 1 2 2 1 n n n n n n i i n n n = = = − − = + + 收敛但不绝对收敛 （条件收敛）； 例 2、复函数项级数 注意分辨几种收敛性：在E上（逐点）收敛、绝对收 敛、在E上一致收敛、在区域 D 内内闭一致收敛
在区域D内一致收敛的级数在D内一定内闭一致收敛, 反之未必。 ∑“在2<1上收敛、内闭一致收敛但不一致收敛 =0 3、幂级数——收敛范围很规范(圆)的最简单的解 析函数项级数 主要研究:幂级数何时能表示一个解析函数 (收敛圆内),其表达式是什么,以及一个解析函 如何在指定点展开成一个幂级数
0 n n z = 在 z 1 上收敛、内闭一致收敛但不一致收敛； 在区域D内一致收敛的级数在D内一定内闭一致收敛， 反之未必。 3、幂级数——收敛范围很规范（圆）的最简单的解 析函数项级数 主要研究：幂级数何时能表示一个解析函数 （收敛圆内），其表达式是什么，以及一个解析函数 如何在指定点展开成一个幂级数
0复变函数 、重点与难点 1、解析函数项级数的 Weierstrass定理(逐项求 导)—条件、结论、主要证明方法(利用积分 工具) 2、幂级数的收敛范围(区分收敛圆与收敛圆周) 例若1im≠,则级数 ∑c2=∑ ∑ 12C.2 +1 有相同的收敛半径
二、重点与难点 1、解析函数项级数的Weierstrass定理（逐项求 导）——条件、结论、主要证明方法（利用积分 工具） 2、幂级数的收敛范围（区分收敛圆与收敛圆周） 1 lim n n n c c + → 1 1 , , 1 n n n n n n c c z z nc z n + − + 例 若 ，则级数 有相同的收敛半径
复变函数 例求收敛半径>z”→r=1; ∑|2+(T)了(=-)y=r=1 f(z)= 在点1+i处的幂级数展式的 1+i+ 收敛半径R=2√2
例 求收敛半径 2 1 1; n n z r = = ( ) ( ) 1 1 2 1 3 n n n n i i z i r = + − − = 处的幂级数展式的 1 ( ) 1 f z i z = + + 在点 1+i 收敛半径 R = 2 2
复变函数 3、求函数在某一点的幂级数展开 主要掌握间接展开法 sinz=sin(+x 1) =cos lsin(z-1)+sin I Cos(z-1) 再写出sin(z-1),Cos(z-1)的关于 z-1的展式,|z-1<∞
3、求函数在某一点的幂级数展开 主要掌握间接展开法。 例 sin sin(1 1) cos1sin( 1) sin1cos( 1) z x z z = + − = − + − 再写出 sin( 1),cos( 1) z z − − 的关于 z −1 的展式， z − 1
复变函数 例求函数f(x)=-在z=-1的邻域内的泰勒展式 并指出其收敛范围。 解 2(z+1)-33 +1 ∑ 203(二+1),2+1<3
例 求函数 1 ( ) 2 f z z = − 在 z = −1 的邻域内的泰勒展式， 并指出其收敛范围。 解 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 2 1 3 3 1 1 3 1 1 , 1 3 3 n n n z z z z z + = = = − − + − + − − = + +
0注意求函数在某一点的幂级数展开,即求这 个函数在这一点的泰勒展开,这一点必须是这个函 数的解析点才行,否则就不是泰勒展开,而是罗朗 展开了 在写展开式时,必须同时指明等式成立的范围 即泰勒展式的收敛圆,可利用“幂级数的和函数在 其收敛圆周上至少有一个奇点”的结论最后来确定。 记住一些初等函数的泰勒展式: SIn z cos z 等 1-z1+z
注意 求函数在某一点的幂级数展开，即求这 个函数在这一点的泰勒展开，这一点必须是这个函 数的解析点才行，否则就不是泰勒展开，而是罗朗 展开了。 在写展开式时，必须同时指明等式成立的范围 即泰勒展式的收敛圆，可利用“幂级数的和函数在 其收敛圆周上至少有一个奇点”的结论最后来确定。 记住一些初等函数的泰勒展式： 1 1 , , ,sin ,cos 1 1 z e z z − + z z 等
解析函数的零点的级 主要通过“求导”和“表示z-a)"(z),y(z)≠0 的形式”的方法做。 注意与奇点中极点的级的判别的对比、整理 (函数的零点首先必须是函数的解析点) 5、零点的孤立性、唯一性定理和最大模原理 零点孤立是解析函数所特有的性质,在理论 证明上有很有用(尤其在第七章的定理证明中 以看到)
4、解析函数的零点的级 主要通过“求导”和“表示 为 ( ) ( ), ( ) 0 m z a z z − 的形式”的方法做。 注意与奇点中极点的级的判别的对比、整理。 （函数的零点首先必须是函数的解析点） 5、零点的孤立性、唯一性定理和最大模原理 零点孤立是解析函数所特有的性质，在理论 证明上有很有用（尤其在第七章的定理证明中可 以看到）
例〈最亦模原理)若区域D内不恒为常数的解析函数 f(z),在D内的点20,有f(=0)≠0则(=)不可能是 f(=)在D内的最小值。 证由于f(=)在D内解析且不恒为常数,若 f(=)在D内有零点,则零点必孤立,因此由 f(=2)≠0(=∈D)知K:|z-2<,使 f(z)≠0(z∈K)令()= 则()在 f(=)
例（最小模原理）若区域 D 内不恒为常数的解析函数 f z( ) ，在 D 内的点 0 z ，有 f z( 0 ) 0 则 f z( 0 ) 不可能是 f z( ) 在 D 内的最小值。 证 由于 f z( ) 在 D 内解析且不恒为常数，若 f z( ) 在 D 内有零点，则零点必孤立，因 此由 f z z D ( 0 0 ) 0 ( ) 知 0 − K z z : ，使 f z z K ( ) 0 ( ) 令 ( ) ( ) 1 z f z = ，则 (z) 在
