复交函数论 辅导课程七 王饼教师;李伟励
辅导课程七
第三节柯西积分公式及其推论 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 1·柯西积分公式 利用柯西积分定理(复围线形式)导 出一个用边界值表示解析函数内部值的 积分公式
第三节 柯西积分公式及其推论 1·柯西积分公式 利用柯西积分定理（复围线形式）导 出一个用边界值表示解析函数内部值的 积分公式
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理311设区域D的边界是围线(或 复围线)C,f(=)在D内解 析,在D=D+C上连续,则有 f(z 1rf() d(z∈D) 2rui Jc -z
• 定理3·11 设区域 的边界是围线（或 复围线） ， 在 内解 析，在 上连续，则有 C f (z) D D D = D +C ( ) ( ) 2 1 ( ) d z D z f i f z c − =
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 证任意固定z∈D,F()≈J(z) 作为5的函数在D内除点z外均解析 今作圆周y。,使其内部均含于D 应用定理310得 f() f(2)
• 证 任意固定 作为 的函数在 内除点 外均解析， 今作圆周 ，使其内部均含于 应用定理3·10得 z f z D F − = ( ) , ( ) D z D d z f d z f c − = − ( ) ( )
CMA EOAHRTNANEA SMATNMAIE
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 只须证明 m() ds =2r if(z) D-少0
• 只须证明 = → − 2 ( ) ( ) lim 0 d if z z f
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE f()d-2m/(z) /(5) dc ds -f( /∫f()-f(z)
| ( ) ( ) | ( ) | ( ) | 2 ( )| ( ) | d z f f z z d d f z z f d if z z f − − = − − − = − −
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 根据(7的连续性, 对任给的E>0 存在δ>0,只要|4-z=p<o, 就有 已 1f(4)-f(xz)ka(5∈y) 由定理32知前式不超过 6.2p=8 2Tp 于是证明了(33)。定理得证
• 根据 的连续性， 对任给的 存在 就有 由定理3·2知前式不超过 于是证明了（3·3）。定理得证。 f ( ) 0 0，只要| − z|= , ( ) 2 | ( ) ( ) | − e f f z 2 = 2
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 例3.8计算积分 d2,c:|2 (9-2);+)
• 例3·8 计算积分 , :| | 2 (9 )( ) 2 = − + d c i c
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 解:因 在闭圆5≤2上解析,由柯西积分公式 得 Jc(9 2 )(5+i) 9 2,d5=2mn2 9-(-) 9-
• 解：因 在闭圆 上解析 ，由柯西积分公式 得 2 9 ( ) − f = | | 2 5 | 9 2 9 ( ) 9 ( 9 )( ) 2 2 2 = − = − − − = − + = − i c c d i i d i