2004~2005学年第二学期初等数论科目考试试题B卷 使用班级(老师填写):数本02级1,2,3班 三|四|五六|七八|九总分 阅卷人 、填空题(每空2分,共20分) .30!的十进制表达式中结尾有 司!;2.gcd(28,91)= 盏:3.如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为 彐}案 4. Wilson定理: 器!5:设r(n)表示正整数n的约数的个数,则使r(n)=12成立的最小正整数n= 圈!6.已知197为素数,且196!≡a(mod197),其中300≤a≤500, 如 :则a的值为 7.勒让得符号 1013 8.设a≥1,g为模p的一个原根,则2p2的一个原根为 9.6是模11的一个原根,则idl= 即 10.不定方程ax+by+cx=d有整数解的充要条件是_ 第1页(共页)
班 第 1 页 (共 页) 级(学生填写): 姓名: 学号: 命题: 李伟勋 审题: 审批: -------------------------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- ( 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ) 2004~2005 学年第二学期 初等数论 科目考试试题 B 卷 使用班级(老师填写):数本 02 级 1,2,3 班 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 得 分 阅卷人 一、填空题(每空 2 分,共 20 分) 1.30!的十进制表达式中结尾有 个零 2. 3 3 gcd(28 , 91 ) = . 3.如果 a b, 是两个正整数,则不大于 a 而为 b 的倍数的正整数的个数为 . 4.Wilson 定理: 5.设 ( ) n 表示正整数 n 的约数的个数,则使 ( ) 12 n = 成立的最小正整数 n = 6.已知 197 为素数,且 196! (mod 197 ) a ,其中 300 500 a , 则 a 的值为 7.勒让得符号 503 1013 = 8.设 1, g 为模 p 的一个原根,则 2p 的一个原根为 9.6 是模 11 的一个原根,则 6 ind 1= 10.不定方程 ax by cz d + + = 有整数解的充要条件是
、单选题(请将各题正确答案填入下面表格内,每题2分共20分) 12 13 14 17 19 答案 1l.若f(n)为完全积性函数,则下式不正确的是( A.f(1)=1B.H(2m)=(n)C.f(n1n2)=f(n1)f(n2)f(m)=f(n1)f(n2) 12.设(m)为A6is函数,n=mp2…P,则和式∑(d)的值为( B b(modm)的充要条件是( A. mla-b B. a-bn C. m|a+b D. a+blm 14.下列同余式一定有整数解的是() A.26≡15(mod34) 17x≡8(mod34) C.10x≡26(mod34) 8x=9(mod34) 15.下列数是模13的平方非剩余的是( 16.如果a≡b(modm),c是任意整数,则() A.ac≡bc(modm)B.a=bC. ac s bc(modm)D.a≠b 17.以下模没有原根的是( B C.4 D.2 18.关于模m指标的性质,以下错误的是( A. ind g=1 B. ind ab= ind a+ind, b( mod m) C. ind (1)=o(m) D. ind a"=nind a( mod o (m)) 19.下列各数中不构成勾股数的是( B.7,24,2 C.3,4,5D.8,16,17 20.以下方程有本原解的是( A.x2+3y2=2B.x+y2=x4C.x2+y2=x4D.x2+4y2=x2 第2页(共页)
第 2 页 (共 页) 二、单选题(请将各题正确答案填入下面表格内, 每题 2 分,共 20 分) 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 11.若 f n( ) 为完全积性函数,则下式不正确的是( ) A. f (1) 1= B. (2 ) ( ) n n = C. 1 2 1 2 f n n f n f n ( ) ( ) ( ) = 1 2 f n f n f n ( ) ( ) ( ) = 12.设 ( ) n 为 Mobius 函数, 1 2 1 2 k k n p p p = ,则和式 | ( ) d n d 的值为( ) A.0 B. 1 C. ( 1)k − D. 2 k 13. a b m (mod ) 的充要条件是( ) A. m a b | − B. a b m − | C. m a b | + D.a b m + | 14.下列同余式一定有整数解的是( ) A. 26 15 ( mod 34 ) B. 17 8 ( mod 34 ) x C. 10 26 ( mod 34 ) x D. 8 9 ( mod 34 ) x 15.下列数是模 13 的平方非剩余的是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16.如果 a b(modm) , c 是任意整数,则( ) A. ac bc m (mod ) B. a b = C. ac bc m (mod ) D. a b 17.以下模没有原根的是( ) A.4 B. p C. 4p D. 2p 18.关于模 m 指标的性质,以下错误的是( ) A. 1 g ind g = B. ( mod ) g g g ind ab ind a ind b m + C. 1 ( 1) ( ) 2 g ind m − = D. ( mod ( ) ) n g g ind a nind a m 19.下列各数中不构成勾股数的是( ) A.5, 12,13 B.7,24,25 C.3,4,5 D.8,16,17 20.以下方程有本原解的是( ) A. 2 2 2 x y z + = 3 B. 4 4 4 x y z + = C. 2 2 4 x y z + = D. 2 2 2 x y z + = 4
三.计算题(每题5分,共30分) 21.求解不定方程6x-17y=18 兴:2.求解同余式组{x=5(mod9) 7(mod15) 图 彐 !铷3.求以3为平方剩余的质数的一般表达式 m+==: 第3页(共页)
第 3 页 (共 页) -------------------------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- ( 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ) 班 级(学生填写): 姓名: 学号: 三.计算题(每题 5 分,共 30 分) 21.求解不定方程 6 17 18 x y − = 2.求解同余式组 3 (mod 7) 5 (mod 9) 7 (mod 15) x x x 3.求以 3 为平方剩余的质数的一般表达式
4.判断同余式x2=25(mod72)是否有解?有多少个解?并说明理由 5.求模11的全部原根。 6.设P=17及其一个原根g=3,构造其指标表如下 0 2 4 6 8 12 15 11 13 9 试求同余式x2=13(mod17)的全部解。 第4页(共页)
第 4 页 (共 页) 4.判断同余式 2 x 25 (mod 72) 是否有解?有多少个解?并说明理由。 5.求模 11 的全部原根。 6.设 P =17 及其一个原根 g = 3 ,构造其指标表如下: 个位 十位 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 16 14 1 12 5 15 11 10 2 1 3 7 13 4 9 6 8 试求同余式 12 x 13 (mod 17) 的全部解
证明题(共30分) 证明:当n为奇数时,有32”+1.(6分) 2.若a为任一单数,则a≡1(mod2"+2)(n≥1) (8分) 燕阳盎长铷 3.设p为奇素数,求证:12.32…(p-2)2≡(-1) (modP)(8分) 试 m+==: 第5页(共页)
第 5 页 ( 共 页) -------------------------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ----------------------------------------------------------- ( 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ) 班 级(学生填写): 姓名: 学号: 四.证明题(共 30 分) 1.证明:当 n 为奇数时,有 3 2 1 n + .( 6 分) 2 . 若 a 为任一单数,则 2 2 1 (mod 2 ) ( 1) n n a n + . ( 8 分) 3 . 设 p 为奇素数, 求证: 1 2 2 2 2 1 3 ( 2) ( 1) (mod ) p p P + − − ( 8 分)
4.证明:M6bis函数(x)为积性函数 (8分) ----,=,=,=,-, 第6页(共页)
第 6 页 (共 页) 4.证明: Mobius 函数 ( ) x 为积性函数 (8 分)