第一节复积分的概念及其简单性质 MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 1.复变函数积分的定义 逐段光滑的简单闭曲线简称围线。对于 围线,规定逆时针方向为正方向顺时针 方向为反方向
第一节 复积分的概念及其简单性质 1.复变函数积分的定义 • 逐段光滑的简单闭曲线简称围线。对于 围线,规定逆时针方向为正方向顺时针 方向为反方向
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定义31设有向曲线:C z(t),(a≤t≤B) 以a=z(a)为起点,b=z(B)为终点, f(a)沿C有定义,顺着方向取分 点 a=z b 0:21 把曲线分成若干个弧段(图31)
• 定义3·1 设有向曲线 : 以 为起点, 为终点, 沿 有定义,顺着方向取分 点: • 把曲线分成若干个弧段(图3·1)。 z = z(t), ( t ) a = z() b = z( ) f (z) C a = z0 ,z1 ,...,zn−1 ,zn = b C
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 作和数 ∑f(k)△=k 其中 k k k-1 当分点无限增多,而这些弧段长度的最大 值趋于零时,如果和数的极限存在且等 于J,则称f(=)沿C可积, 称J为f(z)的积分,并以记号表示 =∫f(z)dz
• 作和数 其中 当分点无限增多,而这些弧段长度的最大 值趋于零时,如果和数的极限存在且等 于 ,则称 沿 可积, 称 为 的积分,并以记号表示 k n k Sn f k z = = 1 ( ) k = k − k−1 z z z J f (z) J f (z) C = c J f (z)dz
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 定理31若f(z)=(x,y)+iv(x,y) 沿曲线C连续,则f(z)沿(积, 且 f(zdz=ludx-vdy +il vdx+udy
• 定理 3 · 1 若 沿曲线 连续 , 则 沿 可积 , 且 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) C f (z) C = − + + c c c f ( z )dz udx vdy i vdx udy
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 例31命C表连接点及b的任 曲线,试证 dz=b-a (2) zdz (6 2 2
• 例 3·1 命 表连接点 及 的任 一曲线,试证 (1) (2) C a b = − c dz b a ( ) 2 1 2 2 = − c zdz b a
MM限 NHANEASMATMATE会M数 NHAN EAAMRTNALE 注 当C为闭曲线时, dz=0. zdz=0 C C
• 注 当 C 为闭曲线时, = 0 , = 0 c c dz zdz