2002~2003学年第一学期复变函数科目考试试题A卷 使用班级(教师填写) 三四五六七八九|总分 阅卷人 填空题(每小题1分,共10分 设点:=1-43,则其辐角主值正g( T<argz≤π)为 2.sinz在点z=1处的泰勒级数为 1-i 4.幂级数∑(-)m-1Q2n-12n-1的收敛半径R= 5.设v=v2,c∈G-≤ carg=<)为一单值分支,若m()=-1,则w(-) 7.函数f(2)=2(e2-1)在零点z0的级 8.方程二6-5x5+x2-2=0在单位圆内有 个根 9.函数∫()=22+2=在点z=-1+2处和旋转角为 第1页(共6页)
2002 ~2003 学年第 一 学期 复变函数 科目考试试题 A 卷 使用班级（教师填写）： 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 得 分 阅卷人 一、填空题(每小题 1 分，共 10 分) 1. 设点 z i 2 3 2 1 = − ,则其辐角主值 argz(-π<arg z )为_______. 2. sinz 在点 z=1 处的泰勒级数为 3. 2 1 i e − = 4. 幂级数 2 1 1 1 2 (2 1) ( ) − = − − − n n n n z n i 的收敛半径 R= 5. 设 w= 3 z ，(z∈G:-π<arg z<π)为一单值分支，若 w(i) = −i ,则 w(−i) = _______. 6. = − − + 2 2 2 ( 1) 2 1 z dz z z z c : = 7. 函数 ( ) ( 1) 2 2 = − z f z z e 在零点 z=0 的级 8. 方程 5 2 0 6 5 2 z − z + z − = 在单位圆内有_______个根. 9. 函数 f (z) z 2z 2 = + 在点 z = −1+ 2i 处和旋转角为 第 1 页（共 6 页） 班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 李伟勋 审题： 审批：
10.称变换w=-为 的对称变换 二、判断题(判断下列各题,正确的在题后括号内打“√”,错的打“×"。每小题1分, 共10分) 1.当且仅有唯一的数z,使得-=-成立 2.若f(x)在区域D内任一点a的邻域内可展成二-a的幂级数则f(=)在区域D 内必定处处解析 3. cOSz =cos 4.设f()在z平面上的区域D内解析,C为D内的任一打围线,则[fck=0 5.复数项级数∑一必定绝对收敛 6.设函数f()在区域D内解析不恒为常数,则对于0∈D,必有(=0)为f() 在D内的最小值 7.函数f(=)= 在点z=0的去心邻域内一定不能展成罗朗级数 8.方程c2-e2="=0(2>1)在单位圆|2<1内一定有n个根 9.复变函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性和伸缩率不变性 10.函数F(2)=2是函数f()=∑(m+1+1”由区域|+1|<1向外的解析开拓.(
10．称变换 z w 1 = 为 的对称变换. 二、判断题(判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。每小题 1 分， 共 10 分) 1. 当且仅有唯一的数 z , 使得 z z = − 1 成立. ( ) 2. 若 f (z) 在区域 D 内任一点 a 的邻域内可展成 z − a 的幂级数,则 f (z) 在区域 D 内必定处处解析. ( ) 3. cosz = cos z . ( ) 4. 设 f (z) 在 z 平面上的区域 D 内解析，C 为 D 内的任一打围线, 则 c f (z)dz =0. ( ) 5. 复数项级数 n=1 n n i 必定绝对收敛. ( ) 6. 设函数 f (z) 在区域 D 内解析不恒为常数, 则对于 z0 D , 必有 ( ) 0 f z 为 f (z) 在 D 内的最小值. ( ) 7. 函数 z f z 1 sin 1 ( ) = , 在点 z=0 的去心邻域内一定不能展成罗朗级数. ( ) 8. 方程 − = 0 z n e e z ( >1) 在单位圆 1 内一定有 n 个根. ( ) 9. 复变函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性和伸缩率不变性. ( ) 10. 函数 2 ( ) − F z = z 是函数 = = + + 0 ( ) ( 1)( 1) n n f z n z 由区域 z +1 1 向外的解析开拓. ( ) 第 2 页（共 6 页）
三、完成下列各题(每小题5分,共40分) 1.设f()=my3+mx2y+(x2+by2)为解析函数,试确定1,m,n的值 2.讨论函数f()=在Z平面的连续性、可微性及解析性。 :3计算积分(-m3,其中C为正向圆1:a0 4.计算积分」(2=2+82+1)d的值,其中C是0到2xa的摆线 x=a(e-sin 0), y=a(I-cos0)
（ 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ） OOOOOO 密 OOOOOO 封 OOOOOO 线 OOOOOO 三、完成下列各题(每小题 5 分，共 40 分) 1. 设 ( ) ( ) 3 2 3 2 f z = my + nx y +i x +lxy 为解析函数, 试确定 l , m , n 的值。 2. 讨论函数 z f z 1 ( ) = 在 Z 平面的连续性、可微性及解析性。 3. 计算积分 z e z d z C z (| | sin ) − ，其中 C 为正向圆周 | z |= a 0 4. 计算积分 z z dz C (2 8 1) 2 + + 的值，其中 C 是 0 到 2 a 的摆线: x = a( − sin ), y=a(1−cos)
第3页(共6页) 5.已知(x,y)=x2-y2+xy,求合于条件f()=-1+i的解析函数f()=v(x,y)+m(x,y)。 6.将函数f(x)=esmz关于z的幂级数展开式。 7.将函数f() 在点z=i的去心邻域内展成罗朗级数 8.求函数f() 在z1及=∞处的残数
第 3 页（共 6 页） 5．已知 u x y = x −y +xy 2 2 ( , ) ，求合于条件 f (i) = −1+ i 的解析函数 f (z) = u(x, y) +iv(x, y)。 6. 将函数 f z e z z ( ) = sin 关于 z 的幂级数展开式。 7. 将函数 2 2 ( 1) 1 ( ) + = z f z 在点 z = i 的去心邻域内展成罗朗级数. 8. 求函数 n n z z f z ( 1) ( ) 2 − = 在 z=1 及 z = 处的残数
4页(共6页) 四、(10分) 求积分值I-∫ (x2+1)(x2+4 五、(10分) 求函数f(x)=二的奇点,并判定其类别(包括无穷远点)
（ 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ） OOOOOO 密 OOOOOO 封 OOOOOO 线 OOOOOO 第 4 页（共 6 页） 四、(10 分) 求积分值 I= + 0 + + 2 2 2 ( 1)( 4) dx x x x 五、(10 分) 求函数 1 ( ) 1 1 − = − z z e e f z 的奇点，并判定其类别(包括无穷远点)
第5页(共6页) 六.(10分) 求出圆|=|0的保形变换w=f(=),使合于条件 ∫(=)=1,argf(=)= 七.(10分)证明: 函数/()=∑2-1)在单位圆=k1内解析,并且可解析开拓到 除点z=-1外的整个z平面
第 5 页（共 6 页） 六．（10 分） 求出圆 | z | 2 到半平面 Re w 0 的保形变换 w = f (z) ，使合于条件 2 ( ) 1, arg ( ) f z = f z = 七．（10 分）证明： 函数 = − − = 1 ) 2 2 1 ( ) ( n n z z f z 在单位圆 | z |1 内解析，并且可解析开拓到 除点 z = −1 外的整个 z 平面
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（ 答 题 不 能 超 出 密 封 装 订 线 ） OOOOOO 密 OOOOOO 封 OOOOOO 线 OOOOOO 第 6 页（共 6 页）