经济数学基础 第12章假设检验 第二单元T检验与ⅹ检验 学习目标 通过本课的学习,熟练掌握单正态总体方差未知时均值的检验方法(T检验 法),掌握单正态总体方差的检验方法(x检验 二、内容讲解 (T检验法)我们数理统计面对的是随机现象,面对的研究对象总体并不完全了 解,如期望未知,解决的方法有三个: 点估计:用样本的均值作为总体的均值的估计值,从另一个角度提出解决未知 参数的问题;区间估计:未知参数落在区间内的概率是a,另一种问题就是要回答 数学期望是不是等于的问题,这就是假设检验的问题. 单正态总体未知方差σ2时均值的检验T检验法) 问题:已知总体X~N(σ),其中σ2未知,现要通过抽样检测判断以=? 假设从=,选取样本统计量 n-1 t(n-1) 在假设成立的条件下 ta(n-1)t(n-1) 根据显著性水平α,确定接受域[ ≤ta(n-1) 其中2满足关系 查1分布表,由自由度n-1和2查出 a I,(n ,满足 422
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——422—— 第二单元 T 检验与 x 2检验 一、学习目标 通过本课的学习，熟练掌握单正态总体方差未知时均值的检验方法( T 检验 法)，掌握单正态总体方差的检验方法 ( 2 检验法). 二、内容讲解 (T 检验法)我们数理统计面对的是随机现象，面对的研究对象总体并不完全了 解，如期望未知，解决的方法有三个： 点估计：用样本的均值作为总体的均值的估计值，从另一个角度提出解决未知 参数的问题；区间估计：未知参数落在区间内的概率是 ，另一种问题就是要回答 数学期望是不是等于 0 的问题，这就是假设检验的问题. 单正态总体未知方差 2 时均值的检验(T 检验法) 问题:已知总体 ~ ( , ) 2 X N ,其中 2 未知，现要通过抽样检测判断 = 0 ? 假设 = 0 ，选取样本统计量 s n x T / − 0 = ， = − − = n i i x x n s 1 2 2 ( ) 1 1 在假设成立的条件下， ~ ( 1) / 0 − − t n s n x 根据显著性水平 ,确定接受域[－ ( 1) 2 t n − ， ( 1) 2 t n − ]. 其中 ( 1) 2 t n − 满足关系 − = − − ( 1)) 1 / ( 2 0 t n s n x P 查 t 分布表，由自由度 n −1 和 2 查出 ( 1) 2 t n − ，满足
经济数学基础 第12章假设检验 s/)|≤t2(n-1) I, (n-1) I, (n-1) 即: 此时接受H=A,否则拒绝假设 (x2检验)单正态总体方差的检验(x2检验 问题:已知总体X~N(σ),其中未知,现要通过抽样检测判断O=可? 假设2=o6 (n-1)s 2.选取样本的统计量00 x2(n-1) 因为在假设 3.根据显著性水平α,确定拒绝域[气,]和拒绝域(0,4)和(2,+∞)其中 (n-1) ) PO ,42分别满足下列条件 具体由n-1和2查x分布表而得到 4.计算样本值 视其属于什么区域而判断接受假设,还是拒绝假设. 问题思考:x2检验的接受域是[ ]吗 答案:不是,应为[ 423
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——423—— − s n x P / ( 0 ( 1) 2 t n − 〕＝1－ 即：－ ( 1) 2 t n − ≤ s n x / − 0 ≤ ( 1) 2 t n − 此时接受 = 0 ，否则拒绝假设. (x2 检验)单正态总体方差的检验(x2检验) 问题:已知总体 ~ ( , ) 2 X N ,其中 未知，现要通过抽样检测判断 2 0 2 = ? 1.假设 2 0 2 = ， 2.选取样本的统计量 2 0 2 ( 1) n − s 因为在假设 2 0 2 = 时， ~ ( 1) ( 1) 2 2 0 2 − − n n s 3.根据显著性水平 ,确定拒绝域[ 1，2 ]和拒绝域(0，1 )和( 2 ，＋ )其中 1，2 分别满足下列条件 2 ) ( 1) ( 2 1 0 2 = n − s P ， 2 ) ( 1) ( 2 2 0 2 = n − s P 具体由 n −1 和 2 查 2 分布表而得到. 4．计算样本值 2 0 2 ( 1) n − s ，视其属于什么区域而判断接受假设，还是拒绝假设. 问题思考： 2 检验的接受域是[－ 2 2 ， 2 2 ]吗？ 答案：不是，应为[ 2 2 1 − ， 2 2 ]
经济数学基础 第12章假设检验 三、例题讲解 例1对一批新的存贮缸进行耐裂试验,抽测五个,得爆破压力为(单位:克/米2): 545,545,530,550,545。爆压是服从正态分布的,过去这种缸的平均爆压为549, 问这批新缸的平均爆压有否显著差别? 解:假设4=549,因未知口,故采用统计量s/√n 由a=0.05,和自由度n-1=4,2=0.025,查t分布表得 2=2.7764 由样本计算得:x=543,s2=57.5 x-549543-549 57.5/5 1.77∈[-2.7764,2.7764] 故接受假设H=549,即新缸平均爆压和旧缸无显著差别 例2已知总体X~N(),从中抽取一组样本测得数据5.0,4.8,5.1,5.2,5.0 问在显著水平a=0.1下能否认为4=50? 解假设=50由n-1=4及2=0.05,查t分布表得=2.1318 (50+48+5.1+52+5.0)=502 由样本计算得:x [(5.0-5.02)2+(4.8-5.02)2+…+(5.0-5.02)2] 424
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——424—— 三、例题讲解 例1 对一批新的存贮缸进行耐裂试验,抽测五个,得爆破压力为(单位：克/米2 )： 545，545，530，550，545。爆压是服从正态分布的,过去这种缸的平均爆压为 549, 问这批新缸的平均爆压有否显著差别? 解: 假设 ＝549，因未知 2 ,故采用统计量 s n x / − 549 由 ＝0.05,和自由度 n－1＝4, 2 ＝0.025，查 t 分布表得 2 t ＝2.7764 由样本计算得: x ＝543， 2 s ＝57.5 s n x T / − 549 = ＝ 57.5/ 5 543− 549 ≈ －1.77∈[-2.7764，2.7764] 故接受假设 ＝549，即新缸平均爆压和旧缸无显著差别. 例 2 已知总体 ~ ( , ) 2 X N ,从中抽取一组样本测得数据 5.0，4.8，5.1，5.2，5.0。 问在显著水平 ＝0.1 下能否认为 = 5.0 ？ 解假设 = 5.0 由 n −1= 4 及 2 ＝0.05，查 t 分布表得 2 t ＝2.1318 由样本计算得: x ＝ (5.0 4.8 5.1 5.2 5.0) 5.02 5 1 + + + + = 2 s ＝ 5 1 1 − [（5.0－5.02）2 +（4.8－5.02）2 +…＋（5.0－5.02）2 ]
经济数学基础 第12章假设检验 4[0.02+0.22+…+0.02]=0.022 x-5.05.02-5.0 s/n=√00225≈0.30∈-2.1318,2.1318] 所以接受假设,即可以认为4=50 例3某车间生产铜丝,折断力服从正态分布,其方差为0=64,今从一批产品中抽 10根作试验,结果为(个)578,572,570,568,572,570,572,596,584,570 问是否可相信这批铜丝折断力方差也是64?(取a=0.05) 解假设=64 由n-1=9,2=0.025,查x分布表得2=19.023 由n-1=9,1-2=0.975,查x分布表得=2.700 接受域为[2.700,19.023] ∑(x1-x)2=7573 计算得x=5752,s2=n-1H (n-1)s68161065∈[2.1019023 于是O 所以接受假设,即认为这批铜丝折断力的方差也是64 四、课堂练习 425
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——425—— ＝ 4 1 [0.022 +0.222 +…＋0.022 ]=0.022 s n x / − 5.0 ＝ 0.022 / 5 5.02 − 5.0 ≈ 0.30∈[－2.1318，2.1318] 所以接受假设，即可以认为 = 5.0 . 例 3 某车间生产铜丝,折断力服从正态分布,其方差为 2 0 ＝64,今从一批产品中抽 10 根作试验,结果为(个)578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。 问是否可相信这批铜丝折断力方差也是 64?(取 ＝0.05) 解 假设 2 ＝64 由 n −1= 9， 2 ＝0.025，查 2 分布表得 2＝19.023 由 n −1= 9，1－ 2 ＝0.975，查 2 分布表得 1＝2.700 接受域为[2.700，19.023] 计算得 x ＝575.2， 2 s ＝ ( ) 75.73 1 1 10 1 2 − = − i= i x x n 于是 2 0 2 ( 1) n − s 10.65 [2.700,19.023] 64 681.6 = 所以接受假设，即认为这批铜丝折断力的方差也是 64。 四、课堂练习
经济数学基础 第12章假设检验 练习15个人彼此独立地测量同一块土地,分别测得其面积为(单位:平方千 米):1.27,1.24,1.21,1.28,1.23。设测量值服从正态分布,试根据这些数据 检验假设Ho:这块土地的实际面积为1.23平方千米,取a=00 设这块士地的测量面积为x,x~N2),本题是在显著水平a=05下,检 验假设,这是单个正态点体X~N(P口),方差σ2未知时关于均值的假设检验问 题,用T检验法 由于是对总体均值4的双边检验,因此零假设为ho:H=123,备择假设为H1:=≠1.23 练习2某种品牌的电池使用寿命长期以来服从方差为a2=5000小时2的正态 分布,今有一批这种型号的电池,从生产情况来看,使用寿命波动性较大,为判断 这种看法是否符合实际,从中随机抽取了26只电池,测出使用寿命的样本方差 S2=7000小时2,问根据这个数字能否断定这批电池使用寿命的波动性较以往有显 著变化?(取a=002 解:设电池的使用寿命为X,X~N(口),本题是在显著水平中;a=002下 检验假设:这是对总体方差σ2的双边检验问题这是单个正态总体ho:a2=500 备择假设为 H1:a2≠5000 五、课堂作业 1.按照规定,每100g的罐头番茄汁,维生素α(Vc)的含量不得少于2lmg,现从 某厂生产的一批罐头中抽取17个,已知c的含量(单位:mg)如下: 17,22,21,20,23,21,19,15,13,23,17,20,29,18,22,16,25 已知I的含量服从正态分布,试以0.025的检验水平检验该批罐头的V含量是否 426
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——426—— 练习 15 个人彼此独立地测量同一块土地，分别测得其面积为（单位：平方千 米）：1.27，1.24，1.21，1.28，1.23。设测量值服从正态分布，试根据这些数据 检验假设 H0 ：这块土地的实际面积为 1.23 平方千米，取 = 0.05 . 设这块土地的测量面积为 X ， X ～ ( , ) 2 N ，本题是在显著水平 = 0.05 下，检 验假设，这是单个正态总体 ~ ( , ) 2 X N ，方差 2 未知时关于均值 的假设检验问 题，用 T 检验法. 由于是对总体均值 的双边检验，因此零假设为 H0 : = 1.23 ，备择假设为 H1 : 1.23 . 练习 2 某种品牌的电池使用寿命长期以来服从方差为 5000 2 = 小时 2 的正态 分布，今有一批这种型号的电池，从生产情况来看，使用寿命波动性较大，为判断 这种看法是否符合实际，从中随机抽取了 26 只电池，测出使用寿命的样本方差 7000 2 s = 小时 2 ，问根据这个数字能否断定这批电池使用寿命的波动性较以往有显 著变化？（取 = 0.02 ） 解:设电池的使用寿命为 X ， X ～ ( , ) 2 N ，本题是在显著水平中； = 0.02 下， 检验假设；这是对总体方差 2 的双边检验问题.这是单个正态总体 : H0 5000 2 = ， 备择假设为 : H1 5000 2 . 五、课堂作业 1．按照规定，每 100g 的罐头番茄汁，维生素 C(Vc)的含量不得少于 21mg，现从 某厂生产的一批罐头中抽取 17 个，已知 Vc 的含量（单位：mg）如下： 17，22，21，20，23，21，19，15，13，23，17，20，29，18，22，16，25 已知 Vc 的含量服从正态分布，试以 0.025 的检验水平检验该批罐头的 Vc 含量是否
经济数学基础 第12章假设检验 合格 2.某糖厂用自动打包机打包,包糖的重量服从正态分布N(100,22)每天开工 后,需要检验一次打包机工作是否正常,即检测打包机是否存在系统误差.某日开工 后测得九包糖的重量分别为(单位:k 99.98.100.510198997101 问:该日打包机工作是否正常(检验σ=22是否成立)? 1.按照Q=005的检验水平检验该批罐头,Vve含量不合格;:2.该日打包机工作正常 427
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——427—— 合格. 2．某糖厂用自动打包机打包，包糖的重量服从正态分布 N（100，2 2）每天开工 后，需要检验一次打包机工作是否正常，即检测打包机是否存在系统误差. 某日开工 后测得九包糖的重量分别为（单位：k 99. 3 98. 7 100.5 101 . 98. 3 99.7 101. 2 100. 5 99. 5 问：该日打包机工作是否正常（检验 2 2 = 2 是否成立）？ 1．按照 = 0.05 的检验水平检验该批罐头，Vc 含量不合格；2．该日打包机工作正常