《经济数学基础》课程教学资源：第十章 随机变量与数字特征（10.3）连续型随机变量

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 第气单元连缜型随机变量 学习目标 通过本节课的学习,了解连续型随机变量的定义和密度函数的性质,会计算相 关的概率,并记住两个常见连续型随机变量一均匀分布和指数分布 二、内容讲解 1.定义3.2连续型随机变量定义 如打靶 打中靶板的每一点都是等可能的,于是打中区域A内,有P(1)=的面积 U的面积 若打中B点,则有P(B)=B的面积 U的面积 对于连续型随机变量X,总有P(X=x)=0 下面给出连续型随机变量的定义 设随机变量X,如果存在非负可积函数∫(x)(-∞<x<∞),使得对任意a<b,都有 P(a(Xb=∫(x),那么称X为连续型随机变量,函数八称为x的概率 密度函数,或概率密度.亦称X服从∫(x),记作X~f(x) 显然有fxux=1 对任意实数a,都有P(x=a)=P(al)-Jf(x)=0 2.常见连续型随机变量 299

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——299—— 第三单元 连续型随机变量 一、学习目标 通过本节课的学习，了解连续型随机变量的定义和密度函数的性质，会计算相 关的概率，并记住两个常见连续型随机变量－均匀分布和指数分布． 二、内容讲解 1.定义 3.2 连续型随机变量定义 如打靶 打中靶板的每一点都是等可能的，于是,打中区域 A 内，有 P(A)＝ 的面积 的面积 U A 若打中 B 点，则有 P(B)＝ 的面积 的面积 U B 对于连续型随机变量 X，总有 P（X＝x）=0 下面给出连续型随机变量的定义． 设随机变量 X，如果存在非负可积函数 f(x)(-<x<)，使得对任意 a<b，都有 P(a<Xb)=  b a f (x)dx，那么称 X 为连续型随机变量，函数 f(x)称为 X 的概率 密度函数，或概率密度．亦称 X 服从 f(x),记作 X～f(x)． 显然有 f (x)dx − +  = 1 对任意实数 a，都有 P(X=a)=P(a<Xa)=  b a f (x)dx =0 2.常见连续型随机变量 U A B

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 [a,b] f(x) 均匀分布设X为随机变量,若X的密度函数为 lo xe[a, b 则称X服从均匀分布 因为J。(x)tr= ,所以b x∈ f(x)=b-a 于是有 xfa, b 均匀分布密度函数f(x)的图形 举一个均匀分布例子 如公共汽车每10分钟来1辆,等车时间X(分钟),有X服从均匀分布 0≤t≤10 t10 等车在2分钟之内能乘上汽车的概率为P(0<K2)=010=0.2 常见连续型随机变量中,最为重要的分布是正态分布,在下一课专门讨论 问题:因为概率小于或等于1,所以密度函数必须满足0≤x)≤1.对吗? 300—

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——300—— 均匀分布设 X 为随机变量，若 X 的密度函数为      = 0 [ , ] [ , ] ( ) x a b c x a b f x 则称 X 服从均匀分布． 因为 ( )d = d = ( − ) =1   + − f x x c x c b a b a ，所以 b a c − = 1 于是有        = − 0 [ , ] [ , ] 1 ( ) x a b x a b f x b a 均匀分布密度函数 f(x)的图形 y b − a 1 举一个均匀分布例子． 如公共汽车每 10 分钟来 1 辆，等车时间 X（分钟）， 有 X 服从均匀分布 f(t)= 1 10 0 10 0 0 10          t t ,t 等车在 2 分钟之内能乘上汽车的概率为 P(0<X<2)= 1 0 10 2 dt  =0.2 常见连续型随机变量中，最为重要的分布是正态分布，在下一课专门讨论． 问题：因为概率小于或等于 1，所以密度函数必须满足 0f(x)1．对吗？ 0 a b x

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 不对.不要求密度函数0≤x)≤1.只要求(x)20,且可积, f(r)dx=l 0<x< f(x)= 0其它是密度函数,但(x)1(0x<2) 三、例题讲解 0≤x≤1 例1设随机变量X具有密度fx)= 其它 求:(1)常数A;(2)P(-4<K1);(3)P(4≤X2) 解;()由度函数的性质,厂(x)=1,即上4 所以 P(-4<X≤1)=.f(xd 2(1-x)dx=-2x (1-x)2 (1-x)2 (≤X≤)=2(1-x)d (3P 例2:向一目标发射炮弹,设弹着点到目标的距离X(m)的概率密度为 1250 X≤0 f(r) ,又知当弹着点与目标的距离在50m之内时,即可摧毁 目标.求发射1枚炮弹能摧毁目标的概率 301

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——301—— 不对.不要求密度函数 0f(x)1．只要求 f(x)0，且可积， ( )d =1  + − f x x ．如        = 其它 0 2 1 2 0 ( ) x f x 是密度函数，但 f(x)>1 (0<x< 2 1 )． 三、例题讲解 例 1 设随机变量 X 具有密度 f(x)=    −   0 其它 A(1 x) 0 x 1 求:(1)常数 A； (2) P(－4<X1)；(3) P( 4 1 X 2 1  )． 解：(1) 由密度函数的性质，  + − f (x)dx＝1，即  − 1 0 2 (1 )d = A A x x ＝1 所以 A=2 (2) ( 4 1) ( )dx 1  −4 P −  X  = f x =  − − = −  1 0 2 0 1 2 (1 ) 2(1 )d 2 x x x ＝1 (3 P    = − 2 1 4 1 ) 2(1 )d 2 1 4 1 ( X x x ＝ 16 5 4 1 2 1 2 (1 ) 2 2 = − −  x 例 2：向一目标发射炮弹，设弹着点到目标的距离 X（m）的概率密度为 f(x)=        0 0 e 0 1250 1 2500 - 2 x x x x ，又知当弹着点与目标的距离在 50m 之内时，即可摧毁 目标．求发射 1 枚炮弹能摧毁目标的概率

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 P(x=k)=k k=0,1,2,… P(X=12)=12!=0.0948 解:(1)所求为P(K≤50) d P(K≤50)=01250 2500 e20d( 2500 =1-e=0.632 思考题:向一目标发射炮弹,设弹着点到目标的距离X(m)的概率密度为 xe2500 0 1250 fx ≤0 又知当弹着点与目标的距离在50m之内时,即可摧毁目标.已知发射一枚炮弹 摧毁目标的概率为0.632(在例2中已经求得),那么至少要发射多少枚炮弹才能使 摧毁目标的概率不小于0.95? 解:发射1枚炮弹能摧毁目标的概率是0.632.用Y表示发射n枚炮弹中能摧 毁目标的炮弹枚数,有Y~B(n,0.632) 所求为P(=1)+P(Y=2)+…+P(F=n)=1-P(F=0)≥0.95. ×06320×(-0632) 0 1-0.368≥0.95 即0.368°≤0.05 302

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——302—— P（X＝k）=   k k ! e - = 10k k! e -10 ，k=0,1,2,… P（X＝12）= 10 12 12 ! e -10 =0.0948 解：(1)所求为 P(X50)． P(X50)=  50 0 2500 - e d 1250 2 x x x =  − −  50 0 2 2500 - ) 2500 e d( 2 2500 1250 1 2 x x =－ e 1 e 0.632 50 -1 0 2500 - 2 = − = x 思考题：向一目标发射炮弹，设弹着点到目标的距离 X（m）的概率密度为 f(x)=        0 0 e 0 1250 1 2500 - 2 x x x x 又知当弹着点与目标的距离在 50m 之内时，即可摧毁目标．已知发射一枚炮弹 摧毁目标的概率为 0.632(在例 2 中已经求得)，那么至少要发射多少枚炮弹才能使 摧毁目标的概率不小于 0.95？ 解：发射 1 枚炮弹能摧毁目标的概率是 0.632．用 Y 表示发射 n 枚炮弹中能摧 毁目标的炮弹枚数，有 Y～B（n,0.632） 所求为 P(Y=1)+P(Y=2)+…+P(Y=n)=1－P(Y=0)0.95． 即 1－ n n 0.632 (1 0.632) 0 0   −         =1－0.368n0.95 即 0.368n 0.05

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 当n=2时,0.3682=0.135424 当n=3时,0.368=0.049836≤0.05 可见,至少要发射3枚炮弹,能保证摧毁目标概率不小于0.95. 四、课堂练习 练习1指出下列随机变量中,哪些是离散型随机变量?哪些是连续型随机变 量? (1)在100个产品中有5个不合格品,从中任取10个产品,其中不合格产品的 数量 (2)北京地区一年的降雨量 (3)一台计算机出故障前的工作时间 (4)某天深夜0~1点钟通过某十字路口汽车的辆数 由离散型和连续型随机变量的定义,取值是可数个数(点)舶的随机变量是离散型 随机变量:取值联成一片的,或取值是某个区间的点的随机变量是连续型随机变 量.题设产品是以“个”为单位的,次品最多5个,用X表示任取10个产品中的 不合格产品的数量,x只能取012,3,45这六个值,故X是离散型随机变量 ke 练习2设连续型随机变量x的密度函数为r(x)=0 (1)确定系数k;(2)求概率P(1);(3)求概率P(1<K2). 这是连续型随机变量的概率求值问题.首先确定概率密度,再用定义式计算概 率值.计算广义积分,再求k 利用连续型随机变量的概率密度的性质, 因为J。f(x ke--dx=-ke-*=l 所以k=1 303

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——303—— 当 n=2 时， 0.3682 =0.135 424 当 n=3 时， 0.3683 =0.049 8360.05 可见，至少要发射 3 枚炮弹，能保证摧毁目标概率不小于 0.95. 四、课堂练习 练习 1 指出下列随机变量中，哪些是离散型随机变量？哪些是连续型随机变 量？ (1)在 100 个产品中有 5 个不合格品，从中任取 10 个产品，其中不合格产品的 数量； (2)北京地区一年的降雨量； (3)一台计算机出故障前的工作时间； (4)某天深夜 0～1 点钟通过某十字路口汽车的辆数． 由离散型和连续型随机变量的定义，取值是可数个数(点)的随机变量是离散型 随机变量；取值联成一片的，或取值是某个区间的点的随机变量是连续型随机变 量．题设产品是以“个”为单位的，次品最多 5 个，用 X 表示任取 10 个产品中的 不合格产品的数量，X 只能取 0,1,2,3,4,5 这六个值，故 X 是离散型随机变量． 练习 2 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)=      − 0 0 e 0 x k x x (1) 确定系数 k；(2) 求概率 P(X>1)； (3) 求概率 P(1<X2)． 这是连续型随机变量的概率求值问题．首先确定概率密度，再用定义式计算概 率值．计算广义积分，再求 k. 利用连续型随机变量的概率密度的性质， 因为  + − f (x)dx = 1，即  + − − + = − = 0 e d e 0 1 -x x k x k 所以 k=1

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 然ey=e 0 五、课后作业 1.判断以下函数∫(x)在各自指定区间上(f(x)在指定区间之外取值为0)是不是 某随机变量的密度函数? 42 ,[0,3] (1)f(x) f(x)=(10x-x2),[0.5 f(x)=(3x-x2),[0.3 Ax0≤x≤1 2.设连续型随机变量X的密度函数为f(x) 其它 求:(1)常数A (2)P(0<K<0.5); (3)P(0.25<K≤2) 3.设连续型随机变量X的密度函数为/()k(mx<0) 试确定常数k. 4.设随机变量Z在[0,10服从均匀分布 (1)试写出Z的密度函数 2)试绘出密度函数的曲线 (3)试求概率P(Z3),P(Z6)和P(3<Z≤8) 5.某计算机的工作寿命X(单位:小时)服从参数为0.001的指数分布 (1)试写出X的密度函数 304

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——304—— 所以      = − 0 0 e 0 ( ) x x f x x 五、课后作业 1.判断以下函数 f(x)在各自指定区间上(f(x)在指定区间之外取值为 0)是不是 某随机变量的密度函数? (1)f(x)= , [0,3] ( 1) 2 3 4 2 x + (2) (10 ),[0,5] 250 3 ( ) 2 f x = x − x (3) (3 ), [0,3] 27 6 ( ) 2 f x = x − x 2. 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)=      0 Ax 0 x 1 求：(1)常数 A； (2)P(0<X<0.5)； (3) P(0.25<X2)． 3. 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f(x)= e (−   ) − k x x 试确定常数 k． 4. 设随机变量 Z 在[0，10]服从均匀分布． (1) 试写出 Z 的密度函数； (2) 试绘出密度函数的曲线； (3) 试求概率 P(Z<3)，P(Z6)和 P(3<Z8). 5. 某计算机的工作寿命 X(单位：小时)服从参数为 0.001 的指数分布． (1) 试写出 X 的密度函数；

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 (2)求此计算机使用时间不超过1000小时的概率 1.(1)不成立;(2)成立:(3)成立 2.(1)A=2;(2)0.25;(3)0.9375 4.(1)f(z)=0.1[0,10]:(2)图略;(3)0.3,0.4,0.5. (x)J001e00 5.(1)X~ x≤0 ;(2)0.6321 x0≤x<3;(2){x0≤x<2;(3){x<0Ux≥2:(4) 305

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——305—— (2) 求此计算机使用时间不超过 1000 小时的概率． 1. (1) 不成立；(2) 成立；(3) 成立． 2. (1) A=2；(2) 0.25；(3) 0.937 5． 3. 2 1 ． 4.(1) f(z)=0.1 [0,10]；(2) 图略；(3) 0.3，0.4，0.5． 5. (1) X～      = − 0 0 0.001e 0 ( ) 0.001 x x f x x ；(2) 0.6321． {x 0  x  3}; (2){x 0  x  2};(3) {x x  0 x  2};(4)  ．