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雨中行走问题 个雨天,你有件急事需要从家中到学校去,学校 离家不远,仅一公里,况且事情紧急,你来不及花 时间去翻找雨具,决定碰一下运气,顶着雨去学校。 假设刚刚出发雨就大了,但你不打算再回去了, 路上,你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是 你应该在雨中尽可能地快走,以减少雨淋的时间 但如果考虑到降雨方向的变化,在全部距离上尽力 地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探 讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度
一 雨中行走问题 一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校 离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花 时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。 假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一 路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是 你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。 但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力 地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探 讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度
1建模准备 建模目标:在给定的降雨条件下,设计一个雨中行走的策略, 使得你被雨水淋湿的程度最小。 主要因素: 淋雨量,降雨的大小,降雨的方向(风),路程的远近,行 走的速度 2模型假设及符号说明 1)把人体视为长方体,身高h米,宽度米,厚度a米 淋雨总量用C升来记。 2)降雨大小用降雨强度Ⅰ厘米/时来描述,降雨强度指单位 时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。 3)风速保持不变。4)你一定常的速度V米/秒跑完全程D米
1 建模准备 建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略， 使得你被雨水淋湿的程度最小。 主要因素： 淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行 走的速度 2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位 时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。 3）风速保持不变。4）你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。 h 2 模型假设及符号说明 1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。 淋雨总量用 升来记。 w d C I v D
3模型建立与计算 1)不考虑雨的方向,此时,你的前后左右和上方都将淋雨。 淋雨的面积S=2wh+2h+d(米2) 雨中行走的时间t=-(秒) 降雨强度Ⅳ(厘米时)=001(米时)=(001/3600)/(m/s) C=t×(1/3600×001×S(米3)=10(D/v)×/3600×S(升) 模型中D,,S为参数,而v为变量。 结论,淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能 减少淋雨量
3 模型建立与计算 1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。 淋雨的面积 2 2 ( ) 米2 S = wh + dh + wd 雨中行走的时间 (秒) v D t = 降雨强度 I(厘米/时) = 0.01I(米/时) = (0.01/3600)I(m/s) C = t (I /3600)0.01 S(米3 ) =10(D/ v) I /3600 S（升） 模型中 D,I,S为参数，而v为变量。 结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能 减少淋雨量
若取参数D=1000米,Ⅰ=2厘米/小时, h=1.50米,=0.50米,d=0.20米即S=22米 你在雨中行走的最大速度v=6米每秒,则计算得 你在雨中行走了167秒,即2分47秒。 从而可以计算被淋的雨水的总量为2041(升)。 经仔细分析,可知你在雨中只跑了2分47秒,但被淋了 2升的雨水,大约有4酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明:用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际 原因:不考虑降雨的方向的假设,使问题过于简化
米 米 米 即 米 。 若取参数 米 厘米 小时 2 1.50 , 0.50 , 0.20 , 2.2 1000 , 2 / , = = = = = = h w d S D I 你在雨中行走了 秒，即 分 秒。 你在雨中行走的最大速度 米 每秒，则计算得 167 2 47 v = 6 / 从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。 原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化
2)考虑降雨方向。 若记雨滴下落速度为F(米/秒) 雨滴的密度为P,P≤1 雨滴下落 表示在一定的时刻的反方向 在单位体积的空间 内,由雨滴所占的 h 空间的比例数,也人前进 称为降雨强度系数。的方向 所以,I=mp 因为考虑了降雨的方向,淋湿的部位只有顶部和前面。 分两部分计算淋雨量
2）考虑降雨方向。 v h w d 人前进 的方向 若记雨滴下落速度为 r （米/秒） 雨滴的密度为 雨滴下落 的反方向 p, p 1 表示在一定的时刻 在单位体积的空间 内，由雨滴所占的 空间的比例数，也 称为降雨强度系数。 所以， I = rp 因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。 分两部分计算淋雨量
顶部的淋雨量 C=(D/v)wd(prsin 8) D/表示在雨中行走的时间,d表示顶部面积, rsi表示雨滴垂直下落的速度 前表面淋雨量 2=(D/vwhp(rcos0+v) ●总淋雨量(基本模型) C=C +=pwD (drsin 0+ h(rcos 0+v) 取参数r=4m/s,=3600×2cm/s,p=1.39×106
•顶部的淋雨量 ( / ) ( sin ) C1 = D v wd pr 表示雨滴垂直下落的速度。 表示在雨中行走的时间 表示顶部面积， sin / , r D v wd •前表面淋雨量 ( / ) [ ( cos )] 2 C = D v wh p r + v •总淋雨量（基本模型） ( sin ( cos )) 1 2 dr h r v v pwD C = C + C = + + 6 4 / , 3600 2 / , 1.39 10− 取参数r = m s I = cm s p =
6.95×10 (08nb+6cos6+1.5v) 可以看出:淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定,如何选择V使得C最小 情形1b=90° C=6.95×100.8 +1.5) 结果表明:淋雨量是速度的减函数,当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑,则计算得
(0.8sin 6cos 1.5 ) 6.95 10 4 v v C + + = − 可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定 ，如何选择 v 使得 C 最小。 情形1 = 90 1.5) 0.8 6.95 10 ( 4 = + − v C 结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
C=11.3×104m3=1.13升 情形26=60° C=6.95×10[15+(04√3+3)/v 结果表明:淋雨量是速度的减函数,当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑,则计算得 C=147×104m3=1.47升 情形390°<<180 此时,雨滴将从后面向你身上落下。 C=695×104[(0:sn+6c0s0)/v+15]
C =11.310−4 m 3 =1.13升 情形2 = 60 6.95 10 [1.5 (0.4 3 3)/ ] 4 C = + + v − 结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得 C =14.710−4 m 3 =1.47升 情形3 90 180 此时，雨滴将从后面向你身上落下。 6.95 10 [(0.8sin 6cos )/ 1.5] 4 = + + − C v
令日=a+90,则0<a<90 C=695×10[(0.8s(90+a)+6c0s(90+a)/v+1.5 C=695×10[(0.8cosa-6sna)/v+1.5 当a0°→90°时,C可能取负值,这是不可能的。 出现这个矛盾的原因:我们给出的基本模型是针对雨从 你的前面落到身上情形。 因此,对于这种情况要另行讨论。 ·当行走速度慢于雨滴的水平运动速度,即≤rSna 这时,雨滴将淋在背上,而淋在背上的雨水量是 pw Dh(rsin a-v)/v 淋雨总量为 C=pw Dldrcosa+ h(rsin a-v)]/v
6.95 10 [(0.8sin( 90 ) 6cos(90 ))/ 1.5] 4 = + + + + − C v 6.95 10 [(0.8cos 6sin )/ 1.5] 4 = − + − C v 当 0 →90 时，C可能取负值，这是不可能的。 出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从 你的前面落到身上情形。 因此，对于这种情况要另行讨论。 •当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即 v rsin 这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是 pwDh(rsin − v)/ v 淋雨总量为 C = pwD[dr cos + h(rsin − v)]/ v 令 = +90 ，则0 90
