Ch7-46 §7.2点估计的评价标准 对于同一个未知参数不同的方法得到 的估计量可能不同于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? (1)无偏性 常用 标(2)有效性 (3)一致性
Ch7-46 §7.2 点估计的评价标准 对于同一个未知参数,不同的方法得到 的估计量可能不同,于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? 常用 标准 (1) 无偏性 (3) 一致性 (2) 有效性
Ch7-47 ●无偏性 定义若E()=0 则称O是0的无偏估计量 定义的合理性 我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等,但可以要求这些估 计值的期望与真值相等
Ch7-47 若 E( ˆ ) = 则称 ˆ 是 的无偏估计量. 无偏性 定义 我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等. 定义的合理性
Ch7-48 例1设总体X的k阶矩4=E(X)存在 (X1,X2…,Xn)是总体Y的样本, 证明:不论ⅹ服从什么分布(但期望存在), 则A k X是A的无偏估计量 证由于E(X)=Aki=1,2…,n因而 E(4)=E(∑X)=∑E(x) 1i=1 h:1k=1
Ch7-48 ( , , , ) X1 X2 Xn 是总体X 的样本, 证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在), 是 k 的无偏估计量. 证 = = = = n i k i n i k k i E X n X n E A E 1 1 ( ) 1 ) 1 ( ) ( 例1 设总体X 的 k 阶矩 ( ) k k = E X 存在 由于 E(Xi k ) = k i = 1,2, , n 因而 k k n n = = 1 = = n i k k Xi n A 1 1 则
Ch7-49 特别地 样本均值ⅹ是总体期望F(X)的 无偏估计量 样本二阶原点矩4=∑是总体 二阶原点矩p2=E(X2)的无偏 估计量
Ch7-49 特别地 样本二阶原点矩 = = n i Xi n A 1 2 2 1 是总体 样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量 二阶原点矩 2 = E(X 2 ) 的无偏 估计量
Ch7-50 例2设总体ⅹ的期望与方差存在,X的 样本为(X,X2…,X)(n>1).证明 (1)S2=∑(x-x不是D(X)的无偏估量 (2) yn ∑(X-是D(X)的无偏估计量. 证前已证∑(X-X)=∑x2-x2 1 E(X1)=E(X)=4,D(X)=D(x)=a2 E(X)=B(X)=,m
Ch7-50 例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 ( , , , ) 样本为 X1 X2 Xn (n > 1) . (1) 不是 D( X )的无偏估量; = = − n i n Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 (2) 是 D( X ) 的无偏估计量. = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 证 2 1 2 1 2 1 ( ) 1 X X n X X n n i i n i i − = − = = 前已证 证明 2 E(Xi ) = E(X ) = , D(Xi ) = D(X ) = n E X E X D X 2 ( ) ( ) , ( ) = = =
Ch7-51 因而 E|∑(x-x)|=∑E(x)-E(x2 (2+2) 刀-1 O≠o 故E∑(x,-x)|=02证毕 i=1
Ch7-51 ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 E X E X n X X n E n i i n i i = − − = = 因而 ( ) ( ) 2 2 2 2 = + − + n 1 2 2 − = n n 2 1 2 ( ) 1 1 = − − = n i Xi X n 故 E 证毕
Ch7-52 例3设(X12X2…X)是总体x的一个样本 XB(m,p)n>1,求p2的无偏估计量 解由于样本矩是总体矩的无偏估计量 以及数学期望的线性性质,只要将未知 参数表示成总体矩的线性函数,然后用样 本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未 知参数的估计量即为无偏估计量. 令X=E(X)=1p 2X=E(X)=(np)+np(1-p)
Ch7-52 例3 设 ( , , , ) X1 X2 X m 是总体 X 的一个样本 , X~B(n , p) n > 1 , 求 p 2 的无偏估计量. 解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量 以及数学期望的线性性质, 只要将未知 参数表示成总体矩的线性函数, 然后用样 本矩作为总体矩的估计量, 这样得到的未 知参数的估计量即为无偏估计量. 令 X = E(X) = np( ) ( ) (1 ) 1 2 2 1 2 X E X np np p m m i i = = + − =
Ch7-53 故(-B21 x2- 11 因此,p2的无偏估计量为 ∑X2-x M-nm石 ∑X(X1-1) 7(n-1)
Ch7-53 − − = = X X n n m p m i i 1 2 2 2 1 1 因此, p 2 的无偏估计量为 ( 1) ( 1) 1 1 − − = = n n X X m m i i i 故 X X m n n p m i − = i − =1 2 2 1 2 ( )
例4设总体X的密度函数为 Ch7-54 f(x)=10 O>0为常数 0 x<0 X,X2…,X)为X的一个样本 证明ⅹ与nmn{X1,2…x}都是的无偏 估计量 证X~E E(X)=6 故E(X)=E(X)=O ⅹ是的无偏估计量
Ch7-54 例4 设总体 X 的密度函数为 = − 0 0 0, 1 ( ; ) x e x f x x 0 为常数 ( , , , ) X1 X2 Xn 为 X 的一个样本 证明 X 与 min{ , , , } n X1 X2 Xn 都是 的无偏 估计量 证 = ( ) 1 X ~ E E X 故 E(X ) = E(X ) = X 是 的无偏估计量
Z=min{X1,X2,…,Xn} F2(z)=1-P(X1>z,2>2,…,Xn>z) 1-P(XI>ZP(X2>z).P(Xn>Z z<0 =1-∏(-Px≤)=, z20 0 <0 f2(2)={n ≥0 6 即Z~E E(Z) 6 E(nz=8 故nZ是θ的无偏估计量
Ch7-55 min{ , , , } 令 Z = X1 X2 Xn = − 0 0 0 ( ) e z n z f z n z Z 即 n E Z n Z E = ~ ( ) − = − 1 0 0 0 e z z nz E(nZ) = 故 n Z 是 的无偏估计量. 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 P X z P X z P X z = − n = = − − n i i P X z 1 1 (1 ( )) ( ) 1 ( , , , ) 1 2 F z P X z X z X z Z = − n