上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT讲稿）第四章 随机变量的数字特征（4.4）协方差和相关系数

§44协方差和相关系数 问题对于二维随机变量(X,Y) 已知联合分布 边缘分布 对二维随机变量除每个随机变量各自 的概率特性外,相互之间可能还有某种联系 问题是用一个怎样的数去反映这种联系. 数E(X-E(XJY-E(Y 反映了随机变量X,Y之间的某种关系

Ch4-86 § 4.4 协方差和相关系数 问题 对于二维随机变量(X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个怎样的数去反映这种联系. 数 E X E X Y E Y ([ ( )][ ( )] − − ) 反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系

4-87 ●协方差和相关系数的定义 定义称E(X-E(X)Y-E) 为X,Y的协方差.记为 COV(, r)=E(LX-E(YILY-E(I) 称(D(X)cov(x,Y) COV(X,Y D(n) 为(X,Y)的协方差矩阵 可以证明协方差矩阵为半正定矩阵

Ch4-87 称 E X E X Y E Y ([ ( )][ ( )] − − ) 为 X ,Y 的协方差. 记为 cov( , ) [ ( )][ ( )] X Y E X E X Y E Y = − − ( ) 称       cov( , ) ( ) ( ) cov( , ) X Y D Y D X X Y 为（X , Y ）的协方差矩阵 可以证明 协方差矩阵 为 半正定矩阵 协方差和相关系数的定义 定义

Ch488 若D(X)>0,D(Y)>0,称 E (X-E(XD)(Y-E(Y) COV(X, Y) D(X,D(Y) D()D(Y) 为X,Y的相关系数,记为 coV(X,Y 无量纲 尸 XY ⑦(X)√D(Y) 的量 事实上,p1y=cov(X*,F 若Px=0,称X,Y不相关

Ch4-88 若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称 ( ) ( ) cov( , ) ( ) ( ) ( ( ))( ( ) D X D Y X Y D X D Y X E X Y E Y E  =      − − 为X ,Y 的 相关系数，记为 ( ) ( ) cov( , ) D X D Y X Y  XY = 事实上， cov( , )    XY = X Y 若 = 0,  XY 称 X ,Y 不相关. 无量纲 的量

协方差和相关系数的计算 Ch4-89 Q COV(X, Y=E(XY-E(XE(Y =±(D(X±Y)-D(X)-D(Y) 若(X,Y)为离散型, cov(X,Y)=∑∑[x-E(X川yn-E(Y)p 若(X,Y)为连续型, +00+ cOV(X, r) x-E(X川y-E()f(x,y)b

Ch4-89 若 ( X ,Y ) 为离散型， 1 1 cov( , ) [ ( )][ ( )] i j ij i j X Y x E X y E Y p   = = = − −   若 ( X ,Y ) 为连续型， cov( , ) [ ( )][ ( )] ( , ) X Y x E X y E Y f x y dxdy + + − − = − −   协方差和相关系数的计算 ❑ cov( X,Y) = E(XY) − E(X )E(Y) ( ( ) ( ) ( )) 2 1 =  D X Y − D X − D Y

例1已知X,Y的联合分布为 PX 0 Y p< p+q=1 0 q 求cov(x,Y),Py 解 xP Y 10XY10 p q P pq Pp q

Ch4-90 求 cov (X ,Y ), XY 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y pij 1 0 1 0 p 0 0 q 0 < p <1 p + q = 1 解 1 0 p q X Y P

Ch4-91 E(X￥)=p,E(Y)=p, D(X)=p,D()=m, E(Xr=P, coV(X, Y=pq, P XY

Ch4-91 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , D X pq D Y pq E X p E Y p = = = = E(XY) = p, cov( X,Y) = pq,  XY =1

Ch492 例2设(X,Y)~N(1,G22,O2;p,求y p+00 解 COV (X,Y)=J(x-)y-A1)(x,y) S002 0P+0 (s-p t 2(1-p y-2 ste dsdt . 1-p 令sP1=002 t(ttu)e 2(p) dudt 2TvI-P

Ch4-92 例2 设 ( X ,Y ) ~ N ( 1 ,1 2 ;2 ,2 2 ; ), 求XY 解 cov(X,Y) (x )( y )f (x, y)dxdy   1 2 + − + − = −  −  ste dsdt s t t 2 2 2 2 1 ( ) 2(1 ) 1 − − −  − + − +  −   t t u e dudt t u 2 2 2 2 1 2(1 ) ( ) − −  − + − + − +     2 1 2 2 1    − s− t =u = 令  2 1 2 2 1    − s x = − 1 1   t y = − 2 2  

Ch493 +02(1-pduL e 2、1 1o2 Pxy=p 若(X,)~N(,G12,P2,a2,p 则X,Y相互独立一X,Y不相关

Ch4-93 e du t e dt t u 2 2 2 2 1 2(1 ) 2 2 1 2 2 1 + − − + − − −   − =       = 1  2   XY =  若 ( X ,Y ) ~ N ( 1 , 1 2 , 2 , 2 2 , ), 则X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关

Ch494 例3设eC(0,2),X=cose,Y=cos(O+a), a是给定的常数,求Py 解f6()={2z 0<t<2丌 其他 E(X)=cost.dt=0 2兀 2兀 E(Y)=cos(t+a)·dt=0, 0 2兀

Ch4-94 例3 设~ U(0,2) , X=cos  , Y=cos(  + ),  是给定的常数，求 XY 解       = 其他 , 0 2 , 2 1 ( )    t f t 0, 2 1 ( ) cos( ) 0, 2 1 ( ) cos 2 0 2 0 = +  = =  =   E Y t dt E X t dt     

Ch4-95 2丌 E(XY cos(t)cos(t +a)dt=cos a 0 2丌2 cov(X,r)=cosa 丌 E(X)=」0 cos t.dt 2丌2 D(X)= 2 E(r)=cos(t+a) D(Y) 2丌2 2 Pxy =cos a

Ch4-95     cos 2 1 2 1 ( ) cos( )cos( ) 2 0 = +  =  E XY t t dt cos 2 1 cov(X,Y) = , 2 1 2 1 ( ) cos ( ) , 2 1 2 1 ( ) cos 2 0 2 2 2 0 2 2 = +  = =  =   E Y t dt E X t dt      , 2 1 ( ) , 2 1 ( ) = = D Y D X  XY = cos