《概率论与数理统计 Probability Theory and Mathematical Statistics》课程教学资源（电子教案）第三章随机变量的数字特征.doc_大学文库

教学内容( Contents Chapter Three随机变量的数字特征( Figure characteristic of Random variable 第二章我们讨论了随机变量的分布函数,我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性.但在一些实际问题中,不需要去全面考察随机变量的整个变化情况,而只需知道随机变量的某些统计特征.例如,在检査一批棉花的质量时,只需要注意纤维的平均长度, 以及纤维长度与平均长度的偏离程度,如果平均长度较大、偏离程度较小,质量就越好.从这个例子看到,某些与随机变量有关的数字,虽然不能完整地描述随机变量,但能概括描述它的基本面貌.这些能代表随机变量的主要特征的数字称为数字特征.本章介绍随机变量的常用数字特征:数学期望、方差和相关系数 §3.1数学期望(随机变量的均值) Mathematical Expectation (Average of Random Variable) 高散型随机变量的数学期望( Mathematical expectation of discrete random variable Example3.1某年级有100名学生,17岁的有2人,18岁的有2人,19岁的有30人, 20岁的有56人,21岁的有10人,则该年级学生的平均年龄为 (17×2+18×2+19×30+20×56+21×10)/100=197 事实上我们在计算中是用频率的权重的加权平均,对于一般的离散型随机变量,其定义 Definition3.1设离散型随机变量X的分布律为表3-1 表3- X Pp P 若级数∑xP绝对收敛,则称其为随机变量X的数学期望( Mathematical expectation)或均值( Average).记为E(X)=∑xP·若级数∑|xp2|发散,则称随机变量X的数学期望不 44E.( Suppose X is a discrete random variable, which distribution law is table 3-1. if progression fr tkp, is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation (or average)of random variable X, which is written E(X)=2x&Pk. If series>x P: is divergent,then random variable X has not mathematical expectation. Example 3.2 批产品在有一二三等品及废品4种,所占比例分别为 60%,20%,10%10%,各级产品的出厂价分别为6元,4.8元,4元,0元,求产品的平均出厂价 Solution由题意产品的平均出厂价为 E(X)=6×0.6+48×0.2+4×0.1+0×0.1=4.96(元) Example33设随机变量X服从二项分布B(n,p),求它的数学期望 Solution由于pk=Cnp^q",(0≤k≤m)

37 教学内容( Contents ) Chapter Three 随机变量的数字特征(Figure Characteristic of Random Variable) 第二章我们讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性．但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的整个变化情况，而只需知道随机变量的某些统计特征．例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的偏离程度，如果平均长度较大、偏离程度较小，质量就越好．从这个例子看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但能概括描述它的基本面貌．这些能代表随机变量的主要特征的数字称为数字特征．本章介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差和相关系数． §3.1 数学期望(随机变量的均值) Mathematical Expectation（Average of Random Variable）一、离散型随机变量的数学期望(Mathematical expectation of discrete random variable) Example 3.1 某年级有 100 名学生，17 岁的有 2 人，18 岁的有 2 人，19 岁的有 30 人， 20 岁的有 56 人，21 岁的有 10 人，则该年级学生的平均年龄为 (172 +182 +1930 + 2056 + 2110) 100 =19.7 事实上我们在计算中是用频率的权重的加权平均，对于一般的离散型随机变量，其定义如下： Definition 3.1 设离散型随机变量 X 的分布律为表 3-1 表 3-1 X 1 x 2 x  n x  P 1 p 2 p  n p  若级数   k=1 k pk x 绝对收敛，则称其为随机变量 X 的数学期望(Mathematical expectation)或均值(Average)．记为   = = 1 ( ) k k pk E X x ．若级数   k=1 k pk x 发散，则称随机变量 X 的数学期望不存在．(Suppose X is a discrete random variable, which distribution law is table 3-1. if progression   k=1 k pk x is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation (or average) of random variable X , which is written   = = 1 ( ) k k pk E X x . If series   k=1 k pk x is divergent, then random variable X has not mathematical expectation.) Example 3.2 一批产品在有一二三等品及废品 4 种，所占比例分别为 60%,20%,10%,10% ，各级产品的出厂价分别为 6 元，4.8 元，4 元，0 元，求产品的平均出厂价． Solution 由题意产品的平均出厂价为 E(X ) = 6 0.6 + 4.8 0.2 + 4 0.1+ 0 0.1 = 4.96 (元) Example 3.3 设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) ，求它的数学期望． Solution 由于 p C p q ,(0 k n) k k n k k = n   −

38 因而  = − = = = n k k k n k n n k E X k pk kC p q 0 0 ( ) np C p q np p q np n n k k k n k = n = + = − = − − − − −  − 1 0 1 1 ( 1) ( 1) 1 ( ) Example 3.4 设随机变量 X 服从参数为  的泊松分布，求它的数学期望． Solution 由于  − = e k p k k ! 因而            = = − = − = = = −  =  = − − −  = −  =     e e k e e k e k E X k p k k k k k k k k k 1 1 1 1 1 ! ( 1)! ( 1)! ( ) Example 3.5 已知离散型随机变量的概率分布为 P(X = 1) = 0.2,P(x = 2) = 0.3, P(X = 3) = 0.5 ，求 E(X ) ． Solution E(X ) = 1 0.2 + 2 0.3 + 3 0.5 = 2.3 二、连续型随机变量的数学期望(Mathematical expectation of a continual random variable) Definition 3.2 设连续型随机变量 X 的分布密度函数为 f (x) ，若积分 xf x dx  + − ( ) 绝对收敛，则称其为 X 的数学期望或均值．记为 E(X ) ，E X xf x dx  + − ( ) = ( ) ．(Suppose X is a continuous random variable, which its probability density function is f (x) . if integral, xf x dx  + − ( ) , is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation (or average) of random variable X , which is written E(X ) , and E X xf x dx  + − ( ) = ( ) .) Example 3.6 设随机变量 X 服从正态分布 ( , ) 2 N   ，求 E(X ) ． Solution 由于正态分布 ( , ) 2 N   的密度函数为 2 2 2 ( ) 2 1 ( )    − − = x f x e 因而   + − − + − − = = e dx x E X xf x dx x 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( )    令 t x = −   ，则   + − + − − − = + =      e dt t E X e dt t t 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ． Example 3.7 设随机变量 X 服从参数为  的指数分布，求 E(X ) ． Solution 由于指数分布的密度函数为 , 0 ( ) 0, 0 x e x f x x   −   =    因而     + − + − + − + − + = = = − = − + 0 0 0 0 0 E(X) x f(x)dx x e dx xde xe e dx x x x x    1  1 0 = − = + − x e ． Example 3.8 设随机变量 X 服从 [a,b] 上的均匀分布，求 E(X ) ． Solution 由于均匀分布的密度函数为 1 , ( ) 0, a x b f x b a     =  −   其他

39 因而 2( ) 2 ( ) ( ) 2 2 a b b a b a dx b a x E X xf x dx b a b a + = − − = − = =   ． Example 3.9 设随机变量 X 服从柯西分布，其密度函数为 (1 ) 1 ( ) 2 x f x + =  (−  x  +) ，由于积分  + − (1+ ) 2 x x dx  发散，因而 E(X ) 不存在．三、随机变量的函数的数学期望(Mathematical expectation of random variable function) Theorem 3.1 设 Y 为随机变量 X 的函数： Y = g(X ) (g 是连续函数)，（1） X 是离散型随机变量，分布律为 pk = P(X = xk ), k =1,2,  ；若级数   =1 ( ) k k pk g x 绝对收敛，则有 E(Y) = E[g(X )] =   =1 ( ) k k pk g x ．（2） X 是连续型随机变量，它的分布密度为 f (x) ，若积分 g x f x dx  + − ( ) ( ) 绝对收敛，则有 E(Y) = E[g(X )] = g x f x dx  + − ( ) ( ) ．(Suppose Y is a function of random variable X ,Y = g(X ) (g is a continuous function), (1) X is a discrete random variable, distribution law is pk = P(X = xk ), k =1,2,  ; if series,   =1 ( ) k k pk g x , is absolutely convergent, then E(Y) = E[g(X )] =   =1 ( ) k k pk g x . (2) X is a continuous random variable, its probability distribution density function is f (x) , if integral g x f x dx  + − ( ) ( ) is absolutely convergent, then E(Y) = E[g(X )] =   =1 ( ) k k pk g x .) （证明略）定理 3.1 告诉我们：求 E(Y) 时，不必知道 Y 的分布，而只需知道 X 的分布就可以了． Theorem 3.2 设 Z 是随机变量 (X,Y) 的连续函数 Z = g(X ,Y) ，（1） (X,Y) 是二维离散型随机变量，联合分布律为 pij = P(X = xi ,Y = y j ),i, j = 1,2,  ；则有 E(Z) = E[g(X,Y)] =   =  1 =1 ( , ) i i j ij j g x y p ．（设该级数绝对收敛）（2） (X,Y) 是二维连续型随机变量，联合分布密度为 f (x, y) ，则有 E(Z) = E[g(X,Y)] = g x y f x y dxdy   + − + − ( , ) ( , ) ．（设该积分绝对收敛）(Suppose Z is a continuous function of random vector (X,Y) , Z = g(X ,Y) , (1) (X,Y) are discrete random vector of two dimensions, its joint distribution law is pij = P(X = xi ,Y = y j ),i, j = 1,2,  ; then E(Z) = E[g(X,Y)] =   =  1 =1 ( , ) i i j ij j g x y p . (Suppose this series is absolutely convergent) (2) (X,Y) are continuous random vector of two dimensions, its joint distribution density function is f (x, y) , then E(Z) = E[g(X,Y)] = g x y f x y dxdy   + − + − ( , ) ( , ) . (Suppose this integral is absolutely convergent) （证明略） Example 3.10 设随机变量 X 服从正态分布 ( , ) 2 N   ，求 (1) ( ) 2 E X ；(2) ( ) X E e ．

41 2．设 X 是随机变量，设 c 是常数，则有 E(cX ) = cE(X ) ． 3．设 X ，Y 是随机变量，则有 E(X + Y) = E(X ) + E(Y) ．（该性质可推广到有限个随机变量之和的情况） 4．设 X ，Y 是相互独立的随机变量，则有 E(XY) = E(X )E(Y) ．（该性质可推广到有限个随机变量之积的情况） 1、2 由读者自己证明．我们来证明 3 和 4．我们仅就连续型情形给出证明，离散型情形类似可证． Proof: 设二维连续型随机变量 (X,Y) 的联合分布密度为 f (x, y) ，其边缘分布密度为 f (x) X ， f (y) Y ．则 E(X + Y) = x y f x y dxdy   + − + − ( + ) ( , ) xf x y dxdy ( , ) + + − − =   + y f x y dxdy   + − + − ( , ) = + E X E Y ( ) ( ). 性质 3 得证．又若 X 和 Y 相互独立，此时 f x y ( , ) = f (x) X f (y) Y ，故有 E(XY) = xyf x y dxdy  + − ( , ) [ ( ) ] X xf x dx + − =  ] [ ( ) ] Y yf y dy + − = E X E Y ( ) ( ) 性质 4 得证． Example 3.13 设 X X Xn , , , 1 2  独立同分布，且 P(X1 =1) = p,P(X1 = 0) =1− p ，那么 X = X1 + X2 ++ Xn 服从 B(n, p) ，因而 = = = n i E X E Xi np 1 ( ) ( ) ． §3.2 方差(variance) 前面曾提到在检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度．那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢？用 E[X − E(X )] 来描述是不行的，因为这时正负偏差会抵消；用 E E(X − E(X) 来描述原则上是可以的，但有绝对值不便计算；因此，通常用 {[ ( )] } 2 E X − E X 来描述随机变量与均值的偏离程度．一、方差的概念(Conception of variance) Definition 3.3 设 X 是随机变量， {[ ( )] } 2 E X − E X 存在，就称其为 X 的方差，记为 D(X ) (或 Var(X ) )，即 D(X ) = {[ ( )] } 2 E X − E X 称 D(X) 为标准差，记为  (X ) ．(Suppose X is a random variable, if {[ ( )] } 2 E X − E X is exist, then it is called variance of X , and written D(X ) or Var(X ) , namely D(X ) = {[ ( )] } 2 E X − E X , D(X) is called standard variance, and written  (X ) . 二、方差的计算(Calculation of variance) 1． D(X ) = 2 2 E X E X ( ) [ ( )] − Proof: 由方差的定义及数学期望的性质

42 D X( ) = 2 E X E X {[ ( )] } − = { 2 ( ) [ ( )] } 2 2 E X − XE X + E X 2 2 = − + E X E X E X E X ( ) 2 ( ) ( ) [ ( )] 2 2 = − E X E X ( ) [ ( )] 2． X 是离散型随机变量，分布律为 pk = P(X = xk ), k =1,2,  ；则 D X( ) =   = − 1 2 [ ( )] k k E X pk x 3． X 是连续型随机变量，它的分布密度为 f (x) ，则 D X( ) =  + − [x − E(X)] f (x)dx 2 Example 3.14 (1) 求例 3.12 中的方差 D(X ) ． (2) 求例 3.5 中的方差 D(X ) ． Solution (1) D X( ) = ( ) − 2 E X 64 71 64 49 8 15 [ ( )]2 E X = − = ． (2) ( ) 1 0.2 2 0.3 3 0.5 5.9 2 2 2 2 E X =  +  +  = ， ( ) ( ) [ ( )] 5.9 (2.3) 0.61 2 2 2 D X = E X − E X = − = Example 3.15 设随机变量 X 服从正态分布 ( , ) 2 N   ，求 D(X ) ． Solution 由于 D X( ) = 2 2 E X E X ( ) [ ( )] − 而 2 2 2 E(X) = ,E(X ) =  + (例 11)，因而 2 D(X) =  ．正态随机变量的“ 3 规则”： P X { 3 3 }     −   + =  −  − =  − = (3) ( 3) 2 (3) 1 0.9974 从这个数据看到，正态随机变量的值几乎完全落在了区间 [ − 3, + 3 ]． Example 3.16 设随机变量 X 服从参数为  的泊松分布，求 D(X ) ． Solution 由于 D(X ) = 2 2 E X E X ( ) [ ( )] − ，而 E(X ) = ,       = −  = −  =  = − −  − = − = + + = − = = 1 0 0 0 1 1 2 2 ! ! ! ( 1) ! ( 1)! ( ) k k k k k k k k k k k e k k e k k e e k k e k E X k                      = + = + − 2 e ( e e ) ，因而 D(X ) =  ． Example 3.17 设随机变量 X 服从参数为  的指数分布，求 D(X ) ． Solution 由于指数分布的密度函数为 0 ( ) 0 0 x e x f x x   −   =    ，，     + − + − + − + − + = = = − = − + 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 E(X ) x f (x)dx x e dx x de x e 2x e dx x x x x    + − + − + − = − = − + 0 0 0 2 2 2 xde xe e dx x x x    2 0 2 2 2    = − = + − x e 故 2 2 2 2 1 1 ( )    D X = − = ． Example 3.18 设随机变量 X 服从 [a,b] 上的均匀分布，求 D(X ) ． Solution 由于均匀分布的密度函数为 1 ( ) 0 a x b f x b a     =  −   ，，其他， 2 ( ) a b E X + =

44 6 1 3 2 ( ) ( , ) 1 0 2 3 1 0 2 2 = = = =   −  x x D E Y y f x y dxdy dx y dy x dx 6 1 0 6 1 , ( ) 18 1 9 4 2 1 D(X ) = − = D Y = − = ． Example 3.22 一台设备由三大件组成，载设备的运转过程中需要调整的概率分别为 0.10， 0.20，0.30，假设各部分相互独立， X 表示需要调整的部件数，试求 X 的分布， E(X ), D(X ) ． Solution 设 Ai = 部件i需要调整(i =1,2,3), P(A1 ) = 0.1,P(A2 ) = 0.2,P(A3 ) = 0.3 ，由于各部件相互独立，则有 P(X = 0) = P(A1 A2 A3 ) = 0.9 0.8 0.7 = 0.504 ( 1) ( ) 3 3 1 2 2 2 3 1 P X = = P A1 A A + A A A + A A A = 0.10.80.7 +0.90.20.7 +0.90.80.3 = 0.398 ( 2) ( 3 ) 3 1 2 2 2 3 1 P X = = P A1A A + A A A + A A A = 0.90.20.3+ 0.10.80.3+ 0.10.20.7 = 0.092 P(X = 3) = P(A1A2A3 ) = 0.10.20.3 = 0.006 E(X ) = 0 0.504 +1 0.398 + 2 0.092 + 3 0.006 = 0.6 ( ) 0 0.504 1 0.398 2 0.092 3 0.006 0.82 2 2 2 2 2 E X =  +  +  +  = ( ) 0.82 0.6 0.46 2 D X = − = §3.3 协方差及相关系数、矩 (Covariance, Correlation coefficient and Moment) 我们除了讨论 X 与 Y 的数学期望和方差外，还需讨论描述 X 与 Y 之间相互关系的数字特征．本节讨论这方面的数字特征．一、协方差及相关系数的定义(Covariance and correlation coefficient) Definition 3.4 设有二维随机变量 (X,Y) ，如果 E[X − E(X )][Y − E(Y)] 存在，则称 E[X − E(X )][Y − E(Y)] 为随机变量 X 与 Y 的协方差．记为 Cov(X ,Y) ，即 Cov X Y ( , ) = E[X − E(X )][Y − E(Y)] 称 ( ) ( ) ( , ) D X D Y Cov X Y  XY = 为随机变量 X 与 Y 的相关系数．若 Cov X Y ( , ) 0 = ，称 X 与 Y 不相关．(Suppose there are two dimension random variable (X,Y) , if E[X − E(X )][Y − E(Y)] is exist, then it is called covariance of random variable X and Y , and written Cov(X ,Y) , namely Cov X Y ( , ) = E[X − E(X )][Y − E(Y)], ( ) ( ) ( , ) D X D Y Cov X Y  XY = is called correlation coefficient of random variable X and Y . If Cov(X ,Y) = 0 , then X and Y is not correlational..) 二、协方差与相关系数的性质(Property of covariance and correlation coefficient) 1．协方差的性质 (1) Cov X Y ( , ) = Cov(Y, X ) ； (2) Cov X Y ( , ) = E(XY) − E(X )E(Y) ； (3) D(X  Y) = D(X ) + D(Y)  2Cov(X,Y) ；

45 (4) Cov(aX,bY) = abCov(X,Y) ； (5) ( , ) ( , ) ( , ) Cov X1 + X2 Y = Cov X1 Y +Cov X2 Y ； (6) 若 X 与 Y 相互独立，则 Cov X Y ( , ) 0 = ，即 X 与 Y 不相关．反之，若 X 与 Y 不相关， X 与 Y 不一定相互独立． (7) 2 [ ( , )] Cov X Y = D(X )D(Y)． 2．相关系数的性质 (1)  XY 1 ； (2) 若 X 与 Y 相互独立，则  XY = 0 ； (3) 当 X 与 Y 有线性关系时，即当 Y = aX +b （ a,b 为常数， a  0 ）时，  XY =1，且 1 0 1 0 XY a a    =  −  ，，； (4)  XY =1 的充要条件是，存在常数 a,b 使 P{Y = aX + b} = 1．事实上相关系数只是随机变量间线性关系其强弱的一个度量，当  XY =1 表明随机变量 X 与 Y 具有线性关系  = 1 时为正线性相关，  = −1 时为负线性相关，当  XY 1 时，这种线性相关程度就随着  XY 的减小而减弱，当  XY = 0 时，就意味着随机变量 X 与 Y 是不相关的． Example 3.23 设 Z 是服从 [−, ] 上的均匀分布，又 X = sin Z,Y = cos Z ，试求相关系数  XY ． Solution cos 0, 2 1 sin 0, ( ) 2 1 ( ) − − = = = =       E X zdz E Y zdz − − = = = =      2 1 , ( ) cos 2 1 sin 2 1 ( ) 2 2 2 2 E X zdz E Y zdz − = =    sin cos 0 2 1 E(XY) z zdz 因而 Cov(X,Y) = 0,  XY = 0．相关系数  XY =0，随机变量 X 与 Y 不相关，但是有 1 2 2 X +Y = ，从而 X 与 Y 不独立． Example 3.24 设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度函数为    +  +  = 0, 1 1 , 1 ( , ) 2 2 2 2 x y x y f x y  证明随机变量 X 与 Y 不相关，也不相互独立．证明由于 D 关于 x 轴、 y 轴对称，有    = = = = = = D D D E(X) xdxdy 0,E(Y) ydxdy 0,E(XY) xydxdy 0，因而 Cov(X,Y) = 0,  XY = 0 即是 X 与 Y 不相关．又由于 2 2 1 1 ( ) 0 1 X x x f x x    −  =     ，，， 2 2 1 1 ( ) 0 1 Y y y f x y    −  =     ，，．显然在 ( , ) | 1, 1, 1 2 2 x y x  y  x + y  上， f (x, y) 0 f (x) f (y)   X Y ，所以 X 与 Y 不相互独立．

《概率论与数理统计 Probability Theory and Mathematical Statistics》课程教学资源（电子教案）第三章 随机变量的数字特征

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