《概率论与数理统计 Probability Theory and Mathematical Statistics》课程教学资源（电子教案）第三章 随机变量的数字特征

第三章随机变量的数字特征 本章主要讲述离散型随机变量的数学期望,连续型随机变量的数学期望,随 内容机变量的函数的数学期望,数学期望的性质:方差的概念,方差的计算,方差的 性质:协方差及相关系数的定义,协方差与相关系数的性质,矩等内容 提要 1、理解数学期望与方差的概念,掌握它们的性质与计算. 2、了解二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布、指数分布的数学期望与方差 重点3、了解矩、相关系数的概念及其性质与计算 分析 难点1、数学期望与方差的概念、性质与计算 2、矩、相关系数的概念、性质与计算 分析 习题 布置 习题3(1,3,5,7,1520,224) 备注

第三章 随机变量的数字特征 内容 提要 本章主要讲述离散型随机变量的数学期望，连续型随机变量的数学期望，随 机变量的函数的数学期望，数学期望的性质；方差的概念，方差的计算，方差的 性质；协方差及相关系数的定义，协方差与相关系数的性质，矩等内容． 重点 分析 1、理解数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算． 2、了解二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布、指数分布的数学期望与方差． 3、了解矩、相关系数的概念及其性质与计算． 难点 分析 1、 数学期望与方差的概念、性质与计算． 2、 矩、相关系数的概念、性质与计算． 习题 布置 习题 3 (1,3,5,7,11,1520,22,24) 备注

教学内容( Contents Chapter Three随机变量的数字特征( Figure characteristic of Random variable 第二章我们讨论了随机变量的分布函数,我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的 统计特性.但在一些实际问题中,不需要去全面考察随机变量的整个变化情况,而只需知道 随机变量的某些统计特征.例如,在检査一批棉花的质量时,只需要注意纤维的平均长度, 以及纤维长度与平均长度的偏离程度,如果平均长度较大、偏离程度较小,质量就越好.从 这个例子看到,某些与随机变量有关的数字,虽然不能完整地描述随机变量,但能概括描述 它的基本面貌.这些能代表随机变量的主要特征的数字称为数字特征.本章介绍随机变量的 常用数字特征:数学期望、方差和相关系数 §3.1数学期望(随机变量的均值) Mathematical Expectation (Average of Random Variable) 高散型随机变量的数学期望( Mathematical expectation of discrete random variable Example3.1某年级有100名学生,17岁的有2人,18岁的有2人,19岁的有30人, 20岁的有56人,21岁的有10人,则该年级学生的平均年龄为 (17×2+18×2+19×30+20×56+21×10)/100=197 事实上我们在计算中是用频率的权重的加权平均,对于一般的离散型随机变量,其定义 Definition3.1设离散型随机变量X的分布律为表3-1 表3- X Pp P 若级数∑xP绝对收敛,则称其为随机变量X的数学期望( Mathematical expectation)或均 值( Average).记为E(X)=∑xP·若级数∑|xp2|发散,则称随机变量X的数学期望不 44E.( Suppose X is a discrete random variable, which distribution law is table 3-1. if progression fr tkp, is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation (or average)of random variable X, which is written E(X)=2x&Pk. If series>x P: is divergent,then random variable X has not mathematical expectation. Example 3.2 批产品在有一二三等品及废品4种,所占比例分别为 60%,20%,10%10%,各级产品的出厂价分别为6元,4.8元,4元,0元,求产品的平均出 厂价 Solution由题意产品的平均出厂价为 E(X)=6×0.6+48×0.2+4×0.1+0×0.1=4.96(元) Example33设随机变量X服从二项分布B(n,p),求它的数学期望 Solution由于pk=Cnp^q",(0≤k≤m)

37 教 学 内 容( Contents ) Chapter Three 随机变量的数字特征(Figure Characteristic of Random Variable) 第二章我们讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的 统计特性．但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的整个变化情况，而只需知道 随机变量的某些统计特征．例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度， 以及纤维长度与平均长度的偏离程度，如果平均长度较大、偏离程度较小，质量就越好．从 这个例子看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但能概括描述 它的基本面貌．这些能代表随机变量的主要特征的数字称为数字特征．本章介绍随机变量的 常用数字特征：数学期望、方差和相关系数． §3.1 数学期望(随机变量的均值) Mathematical Expectation（Average of Random Variable） 一、 离散型随机变量的数学期望(Mathematical expectation of discrete random variable) Example 3.1 某年级有 100 名学生，17 岁的有 2 人，18 岁的有 2 人，19 岁的有 30 人， 20 岁的有 56 人，21 岁的有 10 人，则该年级学生的平均年龄为 (172 +182 +1930 + 2056 + 2110) 100 =19.7 事实上我们在计算中是用频率的权重的加权平均，对于一般的离散型随机变量，其定义 如下： Definition 3.1 设离散型随机变量 X 的分布律为表 3-1 表 3-1 X 1 x 2 x  n x  P 1 p 2 p  n p  若级数   k=1 k pk x 绝对收敛，则称其为随机变量 X 的数学期望(Mathematical expectation)或均 值(Average)．记为   = = 1 ( ) k k pk E X x ．若级数   k=1 k pk x 发散，则称随机变量 X 的数学期望不 存在．(Suppose X is a discrete random variable, which distribution law is table 3-1. if progression   k=1 k pk x is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation (or average) of random variable X , which is written   = = 1 ( ) k k pk E X x . If series   k=1 k pk x is divergent, then random variable X has not mathematical expectation.) Example 3.2 一批产品在有一二三等品及废品 4 种，所占比例分别为 60%,20%,10%,10% ，各级产品的出厂价分别为 6 元，4.8 元，4 元，0 元，求产品的平均出 厂价． Solution 由题意产品的平均出厂价为 E(X ) = 6 0.6 + 4.8 0.2 + 4 0.1+ 0 0.1 = 4.96 (元) Example 3.3 设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) ，求它的数学期望． Solution 由于 p C p q ,(0 k n) k k n k k = n   −

因而E(X)=∑k=∑ kCn p'q k-1k np k=0 Example3.4设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,求它的数学期望 Solution由于phe 因而E(X)=∑k=∑ke=∑ Example35已知离散型随机变量的概率分布为P(X=1)=0.2,P(x=2)=0.3, P(X=3)=0.5,求E(X) Solution E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.5=23 二、连续型随机变量的数学期望( Mathematical expectation of a continual random variable) Defi2设连续型随机变量x的分布密度函数为f(x),若积分x(x)绝对 收敛,则称其为X的数学期望或均值.记为E(X),E(X)=[xf(xhx.( Suppose X is a continuous random variable, which its probability density function is f(x). if integral f(xx, is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation(or random variable X, which is written E(X), and E(X)=xf(xxx) Example3.6设随机变量X服从正态分布N(,a2),求E(x) Solution于正态分布N(A,a2)的密度函数为f(x)=- 因而 E(X)= xf(x)dx r 今 t,则E(X)= dt+ dt Example3.7设随机变量X服从参数为λ的指数分布,求E(X) x≥0 Solution由于指数分布的密度函数为f(x)= 因而E(X)=xf(x)tx=axe-ax= =--e Example3.8设随机变量X服从[a,b上的均匀分布,求E(X) a≤X Solution由于均匀分布的密度函数为f(x)={b-a 0 其他

38 因而  = − = = = n k k k n k n n k E X k pk kC p q 0 0 ( ) np C p q np p q np n n k k k n k = n = + = − = − − − − −  − 1 0 1 1 ( 1) ( 1) 1 ( ) Example 3.4 设随机变量 X 服从参数为  的泊松分布，求它的数学期望． Solution 由于  − = e k p k k ! 因而            = = − = − = = = −  =  = − − −  = −  =     e e k e e k e k E X k p k k k k k k k k k 1 1 1 1 1 ! ( 1)! ( 1)! ( ) Example 3.5 已知离散型随机变量的概率分布为 P(X = 1) = 0.2,P(x = 2) = 0.3, P(X = 3) = 0.5 ，求 E(X ) ． Solution E(X ) = 1 0.2 + 2 0.3 + 3 0.5 = 2.3 二、 连续型随机变量的数学期望(Mathematical expectation of a continual random variable) Definition 3.2 设连续型随机变量 X 的分布密度函数为 f (x) ，若积分 xf x dx  + − ( ) 绝对 收敛，则称其为 X 的数学期望或均值．记为 E(X ) ，E X xf x dx  + − ( ) = ( ) ．(Suppose X is a continuous random variable, which its probability density function is f (x) . if integral, xf x dx  + − ( ) , is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation (or average) of random variable X , which is written E(X ) , and E X xf x dx  + − ( ) = ( ) .) Example 3.6 设随机变量 X 服从正态分布 ( , ) 2 N   ，求 E(X ) ． Solution 由于正态分布 ( , ) 2 N   的密度函数为 2 2 2 ( ) 2 1 ( )    − − = x f x e 因而   + − − + − − = = e dx x E X xf x dx x 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( )    令 t x = −   ，则   + − + − − − = + =      e dt t E X e dt t t 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ． Example 3.7 设随机变量 X 服从参数为  的指数分布，求 E(X ) ． Solution 由于指数分布的密度函数为 , 0 ( ) 0, 0 x e x f x x   −   =    因而     + − + − + − + − + = = = − = − + 0 0 0 0 0 E(X) x f(x)dx x e dx xde xe e dx x x x x    1  1 0 = − = + − x e ． Example 3.8 设随机变量 X 服从 [a,b] 上的均匀分布，求 E(X ) ． Solution 由于均匀分布的密度函数为 1 , ( ) 0, a x b f x b a     =  −   其他

因而E(x)=(xb=[xb=b2-a2 b 2(b-a)2 Example3.9设随机变量X服从柯西分布,其密度函数为 f(x)= (-∞g(xk)Pk,is absolutely convergent, then E(Y)=E[g(X)]=>8(xx)Pr.(2)X is a continuous random variable,its probability distribution density function is f(x), if integral g(x)f(xddx is absolutely convergent, then E(Y)=Elg(x)]=28(xk )Pk) (证明略) 定理31告诉我们:求E(Y)时,不必知道Y的分布,而只需知道X的分布就可以了 Theorem3.2设Z是随机变量(x,Y)的连续函数Z=g(X,Y),(1)(X,F)是二维离 散型随机变量,联合分布律为P=P(X=x,Y=y)1,j=12,…:则有 E(Z)=E(X,=∑∑g(x,y)P4·(设该级数绝对收敛)(2)(X,)是二维连续型 随机变量 联合分布密度为f(x,y) 则有 E(Z)=Eg(X,=g(xy)(xytd.(设该积分绝对收敛)( Suppose z is a continuous function of random vector(x,y,z=g(x,,(1)(x,r)are discrete random vector of two dimensions, its joint distribution law is Pui=P(x=x,r=y),i,j=1, 2 then E(Z)=E[g(X,Y)]=2>g(x, y, )Pu (Suppose this series is absolutely convergent) (2)(X, r)are continuous random vector of two dimensions, its joint distribution density function is f(x, y), then E(Z)=Eg(x, y]= g(x, y)f(x, ykdxdy (Suppose this integral is absolutely convergent) (证明略) Example310设随机变量X服从正态分布N(A,a2),求(1)E(X2):(2)E(e2)

39 因而 2( ) 2 ( ) ( ) 2 2 a b b a b a dx b a x E X xf x dx b a b a + = − − = − = =   ． Example 3.9 设随机变量 X 服 从 柯 西 分 布 ， 其 密 度 函 数 为 (1 ) 1 ( ) 2 x f x + =  (−  x  +) ，由于积分  + − (1+ ) 2 x x dx  发散，因而 E(X ) 不存在． 三、 随机变量的函数的数学期望(Mathematical expectation of random variable function) Theorem 3.1 设 Y 为随机变量 X 的函数： Y = g(X ) (g 是连续函数)，（1） X 是离散型 随机变量，分布律为 pk = P(X = xk ), k =1,2,  ；若级数   =1 ( ) k k pk g x 绝对收敛，则有 E(Y) = E[g(X )] =   =1 ( ) k k pk g x ．（2） X 是连续型随机变量，它的分布密度为 f (x) ，若积 分 g x f x dx  + − ( ) ( ) 绝对收敛，则有 E(Y) = E[g(X )] = g x f x dx  + − ( ) ( ) ．(Suppose Y is a function of random variable X ,Y = g(X ) (g is a continuous function), (1) X is a discrete random variable, distribution law is pk = P(X = xk ), k =1,2,  ; if series,   =1 ( ) k k pk g x , is absolutely convergent, then E(Y) = E[g(X )] =   =1 ( ) k k pk g x . (2) X is a continuous random variable, its probability distribution density function is f (x) , if integral g x f x dx  + − ( ) ( ) is absolutely convergent, then E(Y) = E[g(X )] =   =1 ( ) k k pk g x .) （证明略） 定理 3.1 告诉我们：求 E(Y) 时，不必知道 Y 的分布，而只需知道 X 的分布就可以了． Theorem 3.2 设 Z 是随机变量 (X,Y) 的连续函数 Z = g(X ,Y) ，（1） (X,Y) 是二维离 散型随机变量，联合分布律为 pij = P(X = xi ,Y = y j ),i, j = 1,2,  ； 则 有 E(Z) = E[g(X,Y)] =   =  1 =1 ( , ) i i j ij j g x y p ．（设该级数绝对收敛）（2） (X,Y) 是二维连续型 随 机 变 量 ， 联 合 分 布 密 度 为 f (x, y) ，则有 E(Z) = E[g(X,Y)] = g x y f x y dxdy   + − + − ( , ) ( , ) ．（设该积分绝对收敛）(Suppose Z is a continuous function of random vector (X,Y) , Z = g(X ,Y) , (1) (X,Y) are discrete random vector of two dimensions, its joint distribution law is pij = P(X = xi ,Y = y j ),i, j = 1,2,  ; then E(Z) = E[g(X,Y)] =   =  1 =1 ( , ) i i j ij j g x y p . (Suppose this series is absolutely convergent) (2) (X,Y) are continuous random vector of two dimensions, its joint distribution density function is f (x, y) , then E(Z) = E[g(X,Y)] = g x y f x y dxdy   + − + − ( , ) ( , ) . (Suppose this integral is absolutely convergent) （证明略） Example 3.10 设随机变量 X 服从正态分布 ( , ) 2 N   ，求 (1) ( ) 2 E X ；(2) ( ) X E e ．

(1)E(X)= x f(xd dx,令 2 E(X2) 由分部积分法有 e 2 dt= 1 2丌 因而 E(X (2)E(e) f(xda x-1 t,则 r E(e2)=」 y2丌 Example3.ll设(X,Y)的概率密度函数为 f(x, y) (x+y)/3,0≤x≤2,0≤y 其他 ERE(X), E(n), E(X+n,E(X+y) Solution由定理32,D:0≤x≤20≤y≤1, E(X)=xf(x,y)dxdy E(r)= yf(x, y)dxdy=dx (3x+2)dx E(+)=(x+y)f(x, y)dxdy=rd11,5169 3 E(x2+y)=x32d+ Example3.12随机变量X的分布律如表3-2: 表3-2 0 P 2488 求E(X),E(),E(X2) 17 E(X)=0 2 4 1+281+3 115 E(x2)=0 +2 四、数学期望的性质( The property of mathematical expectation 设c是常数,则有E(c)

40 Solution (1)   + − − + − − = = e dx x E X x f x dx x 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 ( ) ( )    ， 令 t x = −   ， 则    + − + − + − − − − = + + e dt t e dt t E X e dt t t t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( )       由分部积分法有 1 2 2 2 2 =  + − − e dt t t  因而 2 2 2 E(X ) =  + (2)   + − − + − − = = e dx e E e e f x dx x x X x 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( )    ， 令 t x = −   ，则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( )         + + − + − − + − + = = =   E e e e dt e e dt e t t X t ． Example 3.11 设 (X,Y) 的概率密度函数为 ( ) 3 0 2 0 1 ( , ) 0 x y x y f x y  +     =   ， ， ， 其他 求 ( ), ( ), ( ), ( ) 2 2 E X E Y E X +Y E X +Y ． Solution 由定理 3.2， D : 0  x  2 0  y 1， 9 11 (2 1) 6 1 3 ( ) ( , ) 1 0 2 0 2 0 = + = + = =     dy x x dx x y E X x f x y dxdy xdx D 9 5 (3 2) 18 1 3 ( ) ( , ) 1 0 2 0 2 2 0 = + = + = =     dy x dx x y y E Y yf x y dxdy dx D 9 16 9 5 9 11 ( ) ( ) ( , ) 2 0 + = + = = + =   D E X Y x y f x y dxdy xdx 6 13 3 3 ( ) 1 0 2 3 2 0 1 0 2 0 2 2 2 = + + + + =     dy x y y dy dx x y E X Y x dx Example 3.12 随机变量 X 的分布律如表 3-2： 表 3-2 X 0 1 2 3 P 2 1 4 1 8 1 8 1 求 ), ( ) 1 1 ( ), ( 2 E X X E X E + ． Solution 8 7 8 1 3 8 1 2 4 1 1 2 1 E(X ) = 0 +  +  +  = 96 67 8 1 1 3 1 8 1 1 2 1 4 1 1 1 1 2 1 1 0 1 ) 1 1 (  = +  + +  + +  + + = + X E 8 15 8 1 3 8 1 2 4 1 1 2 1 ( ) 0 2 2 2 2 2 E X =  +  +  +  = 四、 数学期望的性质（The property of mathematical expectation） 1． 设 c 是常数，则有 E(c) = c．

2.设X是随机变量,设c是常数,则有E(cX)=cE(X) 3.设X,Y是随机变量,则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)·(该性质可推广到有限个 随机变量之和的情况) 4.设x,Y是相互独立的随机变量,则有E(XY)=E(X)E(Y).(该性质可推广 到有限个随机变量之积的情况) 2由读者自己证明.我们来证明3和4.我们仅就连续型情形给出证明,离散型情形 类似可证 Proo:设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布密度为∫(x,y),其边缘分布密度为 f∫x(x),f(y).则 E(X+Y)=[r(x+y)f(x,yxdxdy ∫xf(x,y+[上y(xyd E(X)+E() 性质3得证 又若X和Y相互独立,此时f(x,y)=fx(x)f1(y),故有 ECR xyf(x, yard X2(xy0小=E(X)E(Y) 性质4得证 Example313设X1,X2,…,n独立同分布,且P(X1=1)=p,P(X1=0)=1 那么X=X1+X2+…+Xn服从B(np),因而E(X=∑E(X1)=m §3.2方差( varlance) 前面曾提到在检验棉花的质量时,既要注意纤维的平均长度,还要注意纤维长度与平均 长度的偏离程度.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?用E[X-E(X)来描述是不行 的,因为这时正负偏差会抵消;用EE(X-B(X来描述原则上是可以的,但有绝对值不便 计算;因此,通常用E{X一E(κ)}来描述随机变量与均值的偏离程度 方差的概念 Conception of variance Definition3.3设X是随机变量,E{X-E(X)2}存在,就称其为X的方差,记为 D(X)(或ar(X)),即 D(X)=E{[X-E(x)]} 称√DX)为标准差,记为o(X).( Suppose X is a random variable, if ELX-E(X)3}is exist, then it is called variance of X, and written D(Xor Var(X), namely D(X)=E{X-E(X)2}, D(X) is called standard variance, and written o(X) 方差的计算( Calculation of variance 1.D(X)=E(X2)-[E(X)2 Proof:由方差的定义及数学期望的性质

41 2． 设 X 是随机变量，设 c 是常数，则有 E(cX ) = cE(X ) ． 3． 设 X ，Y 是随机变量，则有 E(X + Y) = E(X ) + E(Y) ．（该性质可推广到有限个 随机变量之和的情况） 4． 设 X ，Y 是相互独立的随机变量，则有 E(XY) = E(X )E(Y) ．（该性质可推广 到有限个随机变量之积的情况） 1、2 由读者自己证明．我们来证明 3 和 4．我们仅就连续型情形给出证明，离散型情形 类似可证． Proof: 设二维连续型随机变量 (X,Y) 的联合分布密度为 f (x, y) ，其边缘分布密度为 f (x) X ， f (y) Y ．则 E(X + Y) = x y f x y dxdy   + − + − ( + ) ( , ) xf x y dxdy ( , ) + + − − =   + y f x y dxdy   + − + − ( , ) = + E X E Y ( ) ( ). 性质 3 得证． 又若 X 和 Y 相互独立，此时 f x y ( , ) = f (x) X f (y) Y ，故有 E(XY) = xyf x y dxdy  + − ( , ) [ ( ) ] X xf x dx + − =  ] [ ( ) ] Y yf y dy + − = E X E Y ( ) ( ) 性质 4 得证． Example 3.13 设 X X Xn , , , 1 2  独立同分布，且 P(X1 =1) = p,P(X1 = 0) =1− p ， 那么 X = X1 + X2 ++ Xn 服从 B(n, p) ，因而 = = = n i E X E Xi np 1 ( ) ( ) ． §3.2 方 差(variance) 前面曾提到在检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，还要注意纤维长度与平均 长度的偏离程度．那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢？用 E[X − E(X )] 来描述是不行 的，因为这时正负偏差会抵消；用 E E(X − E(X) 来描述原则上是可以的，但有绝对值不便 计算；因此，通常用 {[ ( )] } 2 E X − E X 来描述随机变量与均值的偏离程度． 一、 方差的概念(Conception of variance) Definition 3.3 设 X 是随机变量， {[ ( )] } 2 E X − E X 存在，就称其为 X 的方差，记为 D(X ) (或 Var(X ) )，即 D(X ) = {[ ( )] } 2 E X − E X 称 D(X) 为标准差，记为  (X ) ．(Suppose X is a random variable, if {[ ( )] } 2 E X − E X is exist, then it is called variance of X , and written D(X ) or Var(X ) , namely D(X ) = {[ ( )] } 2 E X − E X , D(X) is called standard variance, and written  (X ) . 二、 方差的计算(Calculation of variance) 1． D(X ) = 2 2 E X E X ( ) [ ( )] − Proof: 由方差的定义及数学期望的性质

D(x)=E{X-E(X)}=E{X2-2XE(X)+[E(X)} =E(x2)-2E(X)E(X)+[E(X =E(X2)-[E(X 2.X是离散型随机变量,分布律为p=P(X=xk),k=1,2,…;则 D(X) E(I 3.X是连续型随机变量,它的分布密度为f(x),则 D(X)=Ix-E(X1'/(x)dx Example314(1)求例3.12中的方差D(X) (2)求例3.5中的方差D(x 154971 Solution (1) D(X)=E(X)-E(X] (2)E(X2)=12×02+22×03+32×0.5=5.9 DX)=E(X2)-[E(x)=59-(2.3)2=0.61 Example3.15设随机变量X服从正态分布N(u,a2),求D(X) Solution由于D(X)=E(X2)-[E(X) 而E(X)=,E(X2)=2+a2(例1),因而D(X)=G 正态随机变量的“3σ规则 P{-30<X≤+3}=d(3)-d(-3)=2(3)-1=0.9974 从这个数据看到,正态随机变量的值几乎完全落在了区间[-30,4+30] Example316设随机变量X服从参数为的泊松分布,求D(X) Solution由于D(X)=E(Xx2)-[E(X),而E(X)= E(X2)=∑k2e=∑ k 2(k+1) (k-1) k kI le-(Ae2+e2)=2+ 因而D(X)= Example317设随机变量X服从参数为A的指数分布,求D(X) Solution由于指数分布的密度函数为yy/te ≥0 x<0 E(X)=xf(x=hAxe"dr=-hx'dedt=-x2e o+f2xe" do 故D(X) 22 22 Example3.18设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,求D(X) Solution由于均匀分布的密度函数为f(x)=1b-a a<x<b E(r=<*6 其他

42 D X( ) = 2 E X E X {[ ( )] } − = { 2 ( ) [ ( )] } 2 2 E X − XE X + E X 2 2 = − + E X E X E X E X ( ) 2 ( ) ( ) [ ( )] 2 2 = − E X E X ( ) [ ( )] 2． X 是离散型随机变量，分布律为 pk = P(X = xk ), k =1,2,  ；则 D X( ) =   = − 1 2 [ ( )] k k E X pk x 3． X 是连续型随机变量，它的分布密度为 f (x) ，则 D X( ) =  + − [x − E(X)] f (x)dx 2 Example 3.14 (1) 求例 3.12 中的方差 D(X ) ． (2) 求例 3.5 中的方差 D(X ) ． Solution (1) D X( ) = ( ) − 2 E X 64 71 64 49 8 15 [ ( )]2 E X = − = ． (2) ( ) 1 0.2 2 0.3 3 0.5 5.9 2 2 2 2 E X =  +  +  = ， ( ) ( ) [ ( )] 5.9 (2.3) 0.61 2 2 2 D X = E X − E X = − = Example 3.15 设随机变量 X 服从正态分布 ( , ) 2 N   ，求 D(X ) ． Solution 由于 D X( ) = 2 2 E X E X ( ) [ ( )] − 而 2 2 2 E(X) = ,E(X ) =  + (例 11)， 因而 2 D(X) =  ． 正态随机变量的“ 3 规则”： P X { 3 3 }     −   + =  −  − =  − = (3) ( 3) 2 (3) 1 0.9974 从这个数据看到，正态随机变量的值几乎完全落在了区间 [ − 3, + 3 ]． Example 3.16 设随机变量 X 服从参数为  的泊松分布，求 D(X ) ． Solution 由于 D(X ) = 2 2 E X E X ( ) [ ( )] − ， 而 E(X ) = ,       = −  = −  =  = − −  − = − = + + = − = = 1 0 0 0 1 1 2 2 ! ! ! ( 1) ! ( 1)! ( ) k k k k k k k k k k k e k k e k k e e k k e k E X k                      = + = + − 2 e ( e e ) ， 因而 D(X ) =  ． Example 3.17 设随机变量 X 服从参数为  的指数分布，求 D(X ) ． Solution 由于指数分布的密度函数为 0 ( ) 0 0 x e x f x x   −   =    ， ，     + − + − + − + − + = = = − = − + 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 E(X ) x f (x)dx x e dx x de x e 2x e dx x x x x    + − + − + − = − = − + 0 0 0 2 2 2 xde xe e dx x x x    2 0 2 2 2    = − = + − x e 故 2 2 2 2 1 1 ( )    D X = − = ． Example 3.18 设随机变量 X 服从 [a,b] 上的均匀分布，求 D(X ) ． Solution 由于均匀分布的密度函数为 1 ( ) 0 a x b f x b a     =  −   ， ， 其他 ， 2 ( ) a b E X + =

E(X)= b 女、b3-a3b2 3(b-a) 2s(6、 6-+ab+aa+b 12 Example3.19已知随机变量X的密度函数为 ax2+bx+c,0≤x≤1 f(x)= 0, 其他 又已知E(X)=0.5,D(X)=0.15,求a,b,C tion f(ax2+bx+c)ax=a+b+c-1 E(X)=2xa2++k=++=05 E(x2)=x(a++C=ab=D(X)+[E(x=015+05)2=04 解之得 a=12,b=-12,c=3 、方差的性质( he property of variance 1、设C是常数,则有D(c)=0 2、设c是常数,则有D(cX)=c2D(x) 3、设X,Y是相互独立的随机变量,则有D(X+Y)=D(X)+D(Y) 4、设X1,k2…X,是相互独立的随机变量,则D∑CX)=∑CD(x,) (以上4个性质的证明留给读者自己完成.) Example3.20设随机变量X服从二项分布B(n,p),求D(X) Solution由性质4设X1,X2,…,Xn独立同分布,且P(X1=1)=p,P(X1=0)=1-p 那么X=X1+X2+…+Xn服从B(n,p),因而D(X)=∑D(X) 又因为D(x)=E(X2)-E(X1)2=12×p+02×(1-p)-p2=p(1-p) 因此 D(X)=p(1-p) Example321设(x,Y)的概率密度函数为 f(x, y) ysx0≤x≤1 0其他 求D(X)及D(Y) Solution ≤x0≤x≤1 E(x)==/(x, y)drdy=rdx[ dy=f2x'ax E(r)=yf(x, y)dxdy=ax ydy=0 E(X2)=[xs(x, )drdy=rax dy=52x'do

43 3( ) 3 ( ) 2 3 3 2 2 2 b ab a b a b a dx b a x E X b a + + = − − = − =  故 12 ( ) ) 2 ( 3 ( ) 2 2 2 2 b ab a a b b a D X − = + − + + = Example 3.19 已知随机变量 X 的密度函数为 2 0 1 ( ) 0 ax bx c x f x  + +   =   ， ， 其他 又已知 E(X ) = 0.5, D(X ) = 0.15，求 a,b, c ． Solution  + + = + + = 1 0 2 1 3 2 ( ) c a b ax bx c dx  = + + = + + = 1 0 2 0.5 4 3 2 ( ) ( ) a b c E X x ax bx c dx ( ) [ ( )] 0.15 (0.5) 0.4 5 4 3 ( ) ( ) 2 1 0 2 2 2 2 = + + = + + = + = + =  D X E X a b c E X x ax bx c dx 解之得 a = 12,b = −12,c = 3 ． 三、 方差的性质(The property of variance) 1、 设 c 是常数，则有 D(c) = 0 ； 2、 设 c 是常数，则有 ( ) ( ) 2 D cX = c D X ； 3、 设 X ，Y 是相互独立的随机变量，则有 D(X + Y) = D(X ) + D(Y) ； 4、 设 X X Xn , , , 1 2  是相互独立的随机变量，则   = = = n i i i n i D Ci Xi C D X 1 2 1 ( ) ( ) ． （以上 4 个性质的证明留给读者自己完成．） Example 3.20 设随机变量 X 服从二项分布 B(n, p) ，求 D(X ) ． Solution 由性质4,设 X X Xn , , , 1 2  独立同分布，且 P(X1 =1) = p,P(X1 = 0) =1− p ， 那么 X = X1 + X2 ++ Xn 服从 B(n, p) ，因而 = = n i D X D Xi 1 ( ) ( ) ． 又因为 ( ) ( ) ( ) 1 0 (1 ) (1 ) 2 2 2 2 2 D Xi = E Xi − E Xi =  p +  − p − p = p − p ， 因此 D(X ) = np(1− p) ． Example 3.21 设 (X,Y) 的概率密度函数为 1 ,0 1 ( , ) 0 y x x f x y     =   ， ， 其他 求 D(X ) 及 D(Y )． Solution D : y  x 0  x 1 3 2 ( ) ( , ) 2 1 0 2 1 0 = = = =   −  x x D E X x f x y dxdy xdx dy x dx ( ) ( , ) 0 1  0 − = = = x x D E Y yf x y dxdy dx ydy 2 1 ( ) ( , ) 2 1 0 3 1 0 2 2 2 = = = =   −  x x D E X x f x y dxdy x dx dy x dx

E(r2)=[y /(x, y)dxdy=Cdxy-dy3 D(1)=41 6 0 example.2-台设备由三大件组成,载设备的运转过程中需要调整的概率分别为oo 0.30,假设各部分相互独立,X表示需要调整的部件数,试求X的分布,E(X),D(x) Solution设A={部件需要调整ki=1.23),P(A)=0.P(A2)=02,P(41)=03 由于各部件相互独立,则有 P(X=0)=P(A1A2A3)=0.9×0.8×0.7=0.504 P(X=D)=P(A, A2 A3+ A1A, A3+ A1 A2 A3) =0.1×0.8×0.7+09×0.2×0.7+09×08×0.3=0.398 P(X=2)=P(A1A243+A1A2A3+A1A2A3) =0.9×02×0.3+0.1×0.8×0.3+0.1×0.2×07=0.092 P(X=3)=P(AA2A3)=0.1×0.2×0.3=0006 E(X)=0×0.504+1×0.398+2×0.092+3×0.006=0.6 E(X2)=02×0.504+12×0.398+22×0092+32×0006=0.82 D(X)=0.82-062=046 §3.3协方差及相关系数、矩 (Covariance, Correlation coefficient and Moment 我们除了讨论X与Y的数学期望和方差外,还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特 征.本节讨论这方面的数字特征 协方差及相关系数的定义 Covariance and correlation coefficient) efinition34设有二维随机变量(X,Y),如果EX-E(X川[Y-E(Y)存在,则称 E[X-E(X川[Y-E()为随机变量X与Y的协方差.记为Co(X,Y),即 Cov(X, =ELX-ECXJLY-E(I 称p Cov(X,n) 为随机变量X与Y的相关系数.若Cov(X,Y)=0,称X与Y不 D(x)√DY) exist, then it is called covariance of random variable X and Y, and written Cov(X, Y), namer WB .( Suppose there are two dimension random variable(x, y), if ELX-E(XIY-ECY) Cov(X, =ELX -E(XJLY-E(n] Cov(X,Y) P is called correlation coefficient of random variable X and D(X)√D(Y) Cov(X, y)=0, then X and Y is not correlational. 、协方差与相关系数的性质( Property of covariance and correlation coefficient) 协方差的性质 (1)Cov(X, =Cov(r, X) (2)Cov(X, Y=E(XY-E(XE(): D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,)

44 6 1 3 2 ( ) ( , ) 1 0 2 3 1 0 2 2 = = = =   −  x x D E Y y f x y dxdy dx y dy x dx 6 1 0 6 1 , ( ) 18 1 9 4 2 1 D(X ) = − = D Y = − = ． Example 3.22 一台设备由三大件组成，载设备的运转过程中需要调整的概率分别为 0.10， 0.20，0.30，假设各部分相互独立， X 表示需要调整的部件数，试求 X 的分布， E(X ), D(X ) ． Solution 设 Ai = 部件i需要调整(i =1,2,3), P(A1 ) = 0.1,P(A2 ) = 0.2,P(A3 ) = 0.3 ， 由于各部件相互独立，则有 P(X = 0) = P(A1 A2 A3 ) = 0.9 0.8 0.7 = 0.504 ( 1) ( ) 3 3 1 2 2 2 3 1 P X = = P A1 A A + A A A + A A A = 0.10.80.7 +0.90.20.7 +0.90.80.3 = 0.398 ( 2) ( 3 ) 3 1 2 2 2 3 1 P X = = P A1A A + A A A + A A A = 0.90.20.3+ 0.10.80.3+ 0.10.20.7 = 0.092 P(X = 3) = P(A1A2A3 ) = 0.10.20.3 = 0.006 E(X ) = 0 0.504 +1 0.398 + 2 0.092 + 3 0.006 = 0.6 ( ) 0 0.504 1 0.398 2 0.092 3 0.006 0.82 2 2 2 2 2 E X =  +  +  +  = ( ) 0.82 0.6 0.46 2 D X = − = §3.3 协方差及相关系数、矩 (Covariance, Correlation coefficient and Moment) 我们除了讨论 X 与 Y 的数学期望和方差外，还需讨论描述 X 与 Y 之间相互关系的数字特 征．本节讨论这方面的数字特征． 一、 协方差及相关系数的定义(Covariance and correlation coefficient) Definition 3.4 设有二维随机变量 (X,Y) ，如果 E[X − E(X )][Y − E(Y)] 存在，则称 E[X − E(X )][Y − E(Y)] 为随机变量 X 与 Y 的协方差．记为 Cov(X ,Y) ，即 Cov X Y ( , ) = E[X − E(X )][Y − E(Y)] 称 ( ) ( ) ( , ) D X D Y Cov X Y  XY = 为随机变量 X 与 Y 的相关系数．若 Cov X Y ( , ) 0 = ，称 X 与 Y 不 相关．(Suppose there are two dimension random variable (X,Y) , if E[X − E(X )][Y − E(Y)] is exist, then it is called covariance of random variable X and Y , and written Cov(X ,Y) , namely Cov X Y ( , ) = E[X − E(X )][Y − E(Y)], ( ) ( ) ( , ) D X D Y Cov X Y  XY = is called correlation coefficient of random variable X and Y . If Cov(X ,Y) = 0 , then X and Y is not correlational..) 二、 协方差与相关系数的性质(Property of covariance and correlation coefficient) 1． 协方差的性质 (1) Cov X Y ( , ) = Cov(Y, X ) ； (2) Cov X Y ( , ) = E(XY) − E(X )E(Y) ； (3) D(X  Y) = D(X ) + D(Y)  2Cov(X,Y) ；

(4)Cov(ax, br=abCov(X, Y) (5)Cov(X+X2, n)=Cov(X,)+Cov(X2, r) (6)若X与Y相互独立,则Cov(X,Y)=0,即X与Y不相关.反之,若X与Y不 相关,X与Y不一定相互独立 (7)[CoV(X,D= D(XD(Y) 2.相关系数的性质 ≤1 (2)若X与Y相互独立,则px=0; (3)当X与y有线性关系时,即当y=aX+b(ab为常数,a≠0)时,px=1, 0 且 a< (4)|px|=1的充要条件是,存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1 事实上相关系数只是随机变量间线性关系其强弱的一个度量,当||=1表明随机变量 X与y具有线性关系p=1时为正线性相关,p=-1时为负线性相关,当||<1时,这 种线性相关程度就随着x的减小而减弱,当|lx=0时,就意味着随机变量X与y是不 相关的 Example323设Z是服从[-,]上的均匀分布,又X=snZ,Y=cosZ,试求相关 系数pxy Solution E(X)=2mk=0E()=2[s 2丌 E(X)2T. r sin2 ed==D,E(r2)=[cos2=d= E(XY Sin z adz= 0 因而Cov(X,Y)=0,Pxy=0 相关系数x=0,随机变量X与Y不相关,但是有x2+y2=1,从而X与y不独立 Example3.24设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f(x,y) ∫v/,x2+y2s1 0, y 证明随机变量X与Y不相关,也不相互独立 证明由于D关于x轴、y轴对称,有 E(X)=xdxdy=0,E(r)=ydxdy=O,E(XY xvdxdy= 0 因而Cov(X,Y)=0,Px=0即是X与Y不相关 y, y 又由于fx(x)=1z fr(x) 0, 显然在{(xy)|≤1时1x2+y2y1}上,f(x,y)=0≠1(x)(y),所以X与Y不相 互独立

45 (4) Cov(aX,bY) = abCov(X,Y) ； (5) ( , ) ( , ) ( , ) Cov X1 + X2 Y = Cov X1 Y +Cov X2 Y ； (6) 若 X 与 Y 相互独立，则 Cov X Y ( , ) 0 = ，即 X 与 Y 不相关．反之，若 X 与 Y 不 相关， X 与 Y 不一定相互独立． (7) 2 [ ( , )] Cov X Y = D(X )D(Y)． 2． 相关系数的性质 (1)  XY 1 ； (2) 若 X 与 Y 相互独立，则  XY = 0 ； (3) 当 X 与 Y 有线性关系时，即当 Y = aX +b （ a,b 为常数， a  0 ）时，  XY =1， 且 1 0 1 0 XY a a    =  −  ， ， ； (4)  XY =1 的充要条件是，存在常数 a,b 使 P{Y = aX + b} = 1． 事实上相关系数只是随机变量间线性关系其强弱的一个度量，当  XY =1 表明随机变量 X 与 Y 具有线性关系  = 1 时为正线性相关，  = −1 时为负线性相关，当  XY 1 时，这 种线性相关程度就随着  XY 的减小而减弱，当  XY = 0 时，就意味着随机变量 X 与 Y 是不 相关的． Example 3.23 设 Z 是服从 [−, ] 上的均匀分布，又 X = sin Z,Y = cos Z ，试求相关 系数  XY ． Solution cos 0, 2 1 sin 0, ( ) 2 1 ( ) − − = = = =       E X zdz E Y zdz − − = = = =      2 1 , ( ) cos 2 1 sin 2 1 ( ) 2 2 2 2 E X zdz E Y zdz − = =    sin cos 0 2 1 E(XY) z zdz 因而 Cov(X,Y) = 0,  XY = 0． 相关系数  XY =0，随机变量 X 与 Y 不相关，但是有 1 2 2 X +Y = ，从而 X 与 Y 不独立． Example 3.24 设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度函数为    +  +  = 0, 1 1 , 1 ( , ) 2 2 2 2 x y x y f x y  证明随机变量 X 与 Y 不相关，也不相互独立． 证明 由于 D 关于 x 轴、 y 轴对称，有    = = = = = = D D D E(X) xdxdy 0,E(Y) ydxdy 0,E(XY) xydxdy 0， 因而 Cov(X,Y) = 0,  XY = 0 即是 X 与 Y 不相关． 又由于 2 2 1 1 ( ) 0 1 X x x f x x    −  =     ， ， ， 2 2 1 1 ( ) 0 1 Y y y f x y    −  =     ， ， ． 显然在 ( , ) | 1, 1, 1 2 2 x y x  y  x + y  上， f (x, y) 0 f (x) f (y)   X Y ，所以 X 与 Y 不相 互独立．