《经济数学基础》课程教学资源：第十章 随机变量与数字特征（10.9）N维随机变量的数字特征

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 第九单元n维随机变量的数特征 学习目标 通过本节课的学习,知道多个随机变量的期望和方差的性质,以及随机变量之 间的协方差、相关系数概念,并会做二维随机变量的协方差和相关系数等简单问题 二、内容讲解 二维随机变量的期望与方差的性质: 设二维随机变量(X,Y),有E(H+1=E(X)+E(Y 若X与Y是独立的,则D(x+D(X+D( 1.定义3.9协方差 设X,Y为两个随机变量,且E(H,E(Y)存在,称数值E{[X-E(O)Y-E(Y} 为X,Y的协方差.记作cov(X,Y),或oM COV (Y, Y)=EIX-E(XILY-E(DI (xr-e(X-e(n)f(x, y)dxdy 协方差刻划了随机变量X,Y取值间的联系 2.定义3.10相关系数 X,r) 设x,y为两个随机变量,且D(MD>0D(y>0,则称CxyD coV(X, Y) 为X,的相关系数.记作p,即pxy D(X)√D(Y) 3相关系数p满足性质:|r|s1. 相关系数的意义是:它刻划X,Y间线性关系的近似程度 338

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——338—— 第九单元 n 维随机变量的数字特征 一、学习目标 通过本节课的学习，知道多个随机变量的期望和方差的性质，以及随机变量之 间的协方差、相关系数概念，并会做二维随机变量的协方差和相关系数等简单问题． 二、内容讲解 二维随机变量的期望与方差的性质： 设二维随机变量(X，Y)，有 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 若 X 与 Y 是独立的，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 1.定义 3.9 协方差 设 X，Y 为两个随机变量，且 E(X),E(Y)存在，称数值 E{[X－E(X)][Y－E(Y)]} 为 X，Y 的协方差．记作 cov (X,Y)，或XY ． cov (X,Y)＝E{[X－E(X)][Y－E(Y)]} ＝   + − + − (x − E(X))(y − E(Y)) f (x, y)dxdy 协方差刻划了随机变量 X，Y 取值间的联系． 2.定义 3.10 相关系数 设 X，Y 为两个随机变量，且 D(X)>0,D(Y)>0，则称 ( ) ( ) cov( , ) D X D Y X Y 为 X，Y 的相关系数．记作XY ，即XY＝ ( ) ( ) cov( , ) D X D Y X Y 3.相关系数XY 满足性质：XY1． 相关系数的意义是：它刻划 X，Y 间线性关系的近似程度．

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 问题思考:设K,Y是二随机变量,则下列事实是等价的吗?若是,加以证明 若不是,请举出反例 (1)cow(x,)=0 (2)X与Y不相关 (3)EYYFE(XE(Y) (4)D(+=D(X)+D(刀 答案:是等价的。证明如下:由(1)owx,Y)=0, X, Y Y 则得 )√D(n)=0,所以,X与Y不相关.反之亦然 由(1)cov(x,Y)=0,即 EL(X-E(X))(Y-E(Y))]=E[XY-YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y)] E(XY)-E(YE(X)-E(XE(Y)+E(XE(Y) =E(XY)一E(X)E(Y 所以,E(XY)=E(X)E(Y).反之亦然 th(1)cov(x, Y=0, D(X+Y)=E[(X+Y)-E(X+)32 =E[(X-E(X))2-2(X-E(X)(Y-E(Y)+(Y-E(Y)2] =D(X)-2cov(x, Y)+D(Y)=D(X)+D(Y) 反之亦然 三、例题讲解 339

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——339—— 问题思考:设 X，Y 是二随机变量，则下列事实是等价的吗？若是，加以证明 若不是，请举出反例． (1) cov(X,Y)＝0； (2) X 与 Y 不相关； (3) E(XY)=E(X)E(Y); (4) D(X+Y)=D(X)+D(Y)． 答案：是等价的。证明如下：由(1) cov(X,Y)＝0， 则得 ( ) ( ) cov( , ) D X D Y X Y  XY = ＝0，所以，X 与 Y 不相关．反之亦然． 由(1) cov(X,Y)＝0，即 E[(X－E(X))(Y－E(Y))]=E[XY－YE(X)－XE(Y)+E(X)E(Y)] ＝E(XY)－E(Y)E(X)－E(X)E(Y)＋E(X)E(Y) ＝E(XY)－E(X)E(Y)=0 所以，E(XY)=E(X)E(Y)．反之亦然． 由(1) cov(X,Y)＝0，D(X+Y)=E[(X+Y)－E(X+Y)]2 =E[(X－E(X))2－2(X－E(X))(Y－E(Y))+(Y－E(Y))2] =D(X)－2 cov(X,Y) ＋D(Y)=D(X)+D(Y) 反之亦然． 三、例题讲解

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 例1:设二维随机变量(X,Y的联合分布密度为 x+y0≤x≤1,0≤y≤1 f(x, y) 其他 求cov(X,D)和Px 解:cov(XY)=Ex-E(x川y-E(Y) 先求边缘分布密度 Lf(x, y) dy=(x+y)dy=x+5(sxs) fxF f(x,y)dx=k(x (0≤y≤1) f(y)= 再求X和Y的期望和方差 ECE= xf (xxx=x(x+3dx=n2 因为X与Y的分布相同,有E(Y= y+dy 再求协方差 L-E(X)JLy-E(nlf(x, yxxdy 7 xylo dx -340—

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——340—— 例 1：设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为    +     = 0 其他 0 1, 0 1 ( , ) x y x y f x y ，求 cov(X,Y)和  XY ． 解:cov(X,Y)=E [x − E(X )][ y − E(Y)] 先求边缘分布密度． fX(x)= (0 1) 2 1 ( , )d ( )d 1 0 = + = +     + − f x y y x y y x x fY(y)= (0 1) 2 1 ( , )d ( )d 1 0 = + = +     + − f x y x x y x y y 再求 X 和 Y 的期望和方差． E(X)= 12 7 )d 2 1 ( )d ( 1 0 = + =   + − xf x x x x x X 因为 X 与 Y 的分布相同，有 E(Y)= 12 7 )d 2 1 ( 1 0 + =  y y y 再求协方差 cov(X,Y)=   + − + − [x − E(X)][y − E(Y)]f (x, y)dxdy =   − − + 1 0 1 0 ]( )d d 12 7 ][ 12 7) [x y x y x y =   − − + 1 0 1 0 )( )d ]d 12 7 )[ ( 12 7 (x y x y y x =  − + − − 1 0 1 0 3 2 ] d 12 7 2 ) 12 7 ( 3 )[ 12 7 ( xy x y x y x

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 (x-=)( X 最后求相关系数 D((Y) D(- _(x-E(X)'f(x, ldr=(x-12(x+5xx 144288 1)?(y+axy D(Y 代公式得到 cov(X, Y) DOD(r) 11111 V14414 求协方差就是按照定义式 步骤为(1)求各自的边缘分布密度 (2)计算各自的期望 (3)求协方差 (4)计算各自的方差 (5)计算相关系数 四、课堂练习

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——341—— =  − − = − 1 0 144 1 )d 24 2 24 1 )( 12 7 ( x x x 最后求相关系数 ( ) ( ) cov( , ) D X D Y X Y  XY = . D(X)= x E X f x y x x x )dx 2 1 ) ( 12 7 ( ( )) ( , )d ( 1 0 2 2   − = − + + − =  − − + 1 0 3 2 )d 288 49 144 35 3 2 (x x x x = 144 11 ] 288 49 144 2 35 3 3 2 4 [ 1 0 4 3 2 −  −  + x = x x x D(Y)= 144 11 )d 2 1 ) ( 12 7 ( 1 0 2 − + =  y y y 代公式得到 11 1 144 11 144 11 144 1 ( ) ( ) cov( , ) = −  − = = D X D Y X Y  XY 求协方差就是按照定义式． 步骤为(1) 求各自的边缘分布密度； (2) 计算各自的期望； (3) 求协方差； (4) 计算各自的方差； (5) 计算相关系数． 四、课堂练习

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 练习1已知二维随机变量(X,)的联合分布密度为 0<x<,0<y< f(x,y)={2 sin(x+y) 其它 求随机变量X和y的协方差和相关系数. 分析:这是连续型随机变量的问题,求Ⅹ的边缘分布密度,是联合分布密度 f(x,y)对变量y积分.求Y的边缘分布密度,是联合分布密度f(x,y)对变量x积 分.求协方差就是按照定义式,必须首先计算各自的期望,再求两个之差的期望 值.主要是计算积分.计算相关系数,涉及到协方差和各自的方差.然后代入定义 练习2设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为 f(r, y=ye-(x+y x≥0,y≥0 其他 求随机变量X与Y的协方差和相关系数 随机变量X的边缘分布密度为 A(x)=f(x)= 0): 计算广义积分,求X的边缘分布密度,是联合分布密度fxy)对变量y积分.求 Y的边缘分布密度,是联合分布密度xy)对变量x积分. 五、课后作业 1.已知D(X)=25,D(Y=36,p=0.4.求D(H+1)和D(X-Y) 2.设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为 -342

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——342—— 练习 1 已知二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为      +     = 0 其它 2 ,0 2 sin( ) 0 2 1 ( , )   x y x y f x y 求随机变量 X 和 Y 的协方差和相关系数． 分析：这是连续型随机变量的问题，求 X 的边缘分布密度，是联合分布密度 f(x,y)对变量 y 积分．求 Y 的边缘分布密度，是联合分布密度 f(x,y)对变量 x 积 分．求协方差就是按照定义式，必须首先计算各自的期望，再求两个之差的期望 值．主要是计算积分．计算相关系数，涉及到协方差和各自的方差．然后代入定义 式． 练习 2 设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为       = − + 0 其他 e 0, 0 ( , ) ( ) x y f x y x y 求随机变量 X 与 Y 的协方差和相关系数． 随机变量 X 的边缘分布密度为 fX(x)= fX(x)= ( , )d e d e e d e ( 0) 0 -y 0 (x y) = = =  − + − + − + + −   f x y y y y x x x 计算广义积分，求 X 的边缘分布密度，是联合分布密度 f(x,y)对变量 y 积分．求 Y 的边缘分布密度，是联合分布密度 f(x,y)对变量 x 积分． 五、课后作业 1.已知 D(X)=25，D(Y)=36，=0.4．求 D(X+Y)和 D(X－Y)． 2.设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 其他 求随机变量X和Y的协方差和相关系数 3.设二维随机变量(X,Y的联合分布密度为 f(x,y)= x≥0,y≥0 其他 求随机变量X与Y的协方差和相关系数 b>0 4.试验证:若Y=a+bX,则 b<0 1.D(+1)=85;D(Xx-1 2.0;0 4.无答案

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——343——        = 0 其他 4 0 1, 0 1 ( , ) xy x y f x y 求随机变量 X 和 Y 的协方差和相关系数． 3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布密度为       = − + 0 其他 e 0, 0 ( , ) ( ) x y f x y x y 求随机变量 X 与 Y 的协方差和相关系数． 4. 试验证：若 Y＝a+bX，则    −   = 1 0 1 0 b b  1.D(X+Y)=85；D(X－Y)=37； 2.0；0； 3. 0，0； 4.无答案