经济数学基础 第12章假设检验 第12章假设检验典型例题与综合练习 、典型例题 1.U检验 例1某切割机在正常工作时,切割的每段金属棒长度服从正态分布,且其平均 长度为10.5cm,标准差为0.15cm今从一批产品中随机抽取15段进行测量,其结果 为(单位:cm) 10.510610.110410.5 10.310.310910.210.6 10.810.510710210.7 假设方差不变,问该切割机工作是否正常?(a=0.05) 这是已知方差矿,对正态总体的均值μ进行检验的问题,用U检验法 解:H0:=10.5,H1:μ≠10.5 选统计量 计算得x=1048,已知σ=0.15,n=15,计算检验量 1048-10.5 =0.516 0.15/√15 1--=0.975 查正态分布数值表求临界值λ,因为a=005 得 428—
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——428—— 第 12章 假设检验典型例题与综合练习 一、典型例题 1.U 检验 例 1 某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长度服从正态分布，且其平均 长度为 10.5cm，标准差为 0.15cm.今从一批产品中随机抽取 15 段进行测量，其结果 为（单位：cm） 10.5 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.9 10.2 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假设方差不变，问该切割机工作是否正常？（ ＝0.05） 这是已知方差 2 ，对正态总体的均值 进行检验的问题，用 U 检验法 解： : 10.5, H0 = H1 : 10.5 选统计量 n x U / 0 − = 计算得 x ＝10.48，已知 = 0.15，n＝15，计算检验量 0.516 0.15/ 15 10.48 10.5 = − U = 查正态分布数值表求临界值 ，因为 = 0.05 ， 0.975 2 ( ) = 1− = ，得
经济数学基础 第12章假设检验 λ=03=196,因为<009,故H0相容,即在显著水平a=005下可以认 为该切割机工作正常 因为已知标准差σ=05,故选取统计量U=00/√m 比较检验量值与临界值λ的大小:若1,则拒绝H0 若〈元,则接受 H 2.T检验 例1随机抽取某班28名学生的英语考试成绩,得平均分数为x=80分,样本 标准差S=8分,若全年级的英语成绩服从正态分布,且平均成绩为85分,试问在 显著水平a=005下,能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩没有 本质的差别 这是单个正态总体 X-N(u,0 方差σ未知时关于均值μ的假设检验问题, 用T检验法 解0:=85,H1:μ≠85 x-μ 选统计量 已知x=80,s=8,n=28, 计算得 查r分布表,α=005,自由度27,临界值=27)=20532 429
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——429—— = U0.975＝1.96，因为 U U0.975 ，故 H0 相容，即在显著水平 = 0.05 下可以认 为该切割机工作正常. 因为已知标准差 = 0.15 ，故选取统计量 U＝ n x / 0 0 − . 比较检验量值 U 与临界值 的大小：若 U > ，则拒绝 H0 ； 若 U < ，则接受 H0 . 2. T 检验 例 1 随机抽取某班 28 名学生的英语考试成绩，得平均分数为 x = 80 分，样本 标准差 s = 8 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为 85 分，试问在 显著水平 = 0.05 下，能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩没有 本质的差别 这是单个正态总体 ~ ( , ) 2 X N ，方差 2 未知时关于均值 的假设检验问题， 用 T 检验法. 解 H0 : = 85， H1 : 85 选统计量 s n x T / − 0 = 已知 x = 80， s = 8，n＝28， 0 = 85， 计算得 s n x T / − 0 = 3.31 8/ 28 80 85 = − = 查 t 分布表， = 0.05 ，自由度 27，临界值 = t 0.975(27) = 2.052
经济数学基础 第12章假设检验 多、由于>9(27)=2052,故柜绝H,即在显著水平Q=00下不能认为该班 英语成绩为85分 T= 由于方差σ未知,故选统计量 当h为真时,T~27 比较检验量值1与临界值的大小:若7x,则拒绝 若1x0(n-或x2<x9(m-1) n=15,S=0.03 Go=0.05 (5-1)0.03 检验值 0.05 因为a=010,自由度14,查x2分布表x(14)=6571,知=6571 A1=x095(14) ,所以拒绝 H 即该电子元件可靠性指标的方差不符合合同标准 430—
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——430—— 由于 T t 0.975(27) = 2.052 ，故拒绝 H0 ，即在显著水平 = 0.05 下不能认为该班 的英语成绩为 85 分. 由于方差 2 未知，故选统计量 s n x T / − 0 = ，当 H0 为真时，T ~ t(27) . 比较检验量值 T 与临界值 的大小：若 T > ，则拒绝 H0 ； 若 T < ，则接受 H0 . 3. x 2 检验 例 1 检验某电子元件可靠性指标 15 次，计算得指标平均值为 x = 0.95 ，样本标准差为 s = 0.03 ，该元件的订货合同规定其可靠性指标的标准差为 0.05，假设元件可靠性指标服从正 态分布.问在 = 0.10 下，该电子元件可靠性指标的方差是否符合合同标准？取 = 0.10 . 这是单个正态总体 ~ ( , ) 2 X N ，关于方差 2 的假设检验问题，用 2 检验法. 解 2 2 H0 : = 0.05 ， 2 2 H1 : 0.05 当 H0 为真时，统计量 2 0 2 2 ( 1) n − s = ～ ( 1) 2 n − 拒绝域是 2 ( 1) 2 0.05 n − 或 2 ( 1) 2 0.95 n − n＝15， s = 0.03， 0 = 0.05， 检验值 2 2 2 0.05 (5 −1)0.03 = ＝5.04 因为 = 0.10 ，自由度 14，查 2 分布表 (14) 6.571 2 0.95 = ，知 1 = 6.571 ， (14) 2 1 0.95 2 = ，所以拒绝 H0 ，即该电子元件可靠性指标的方差不符合合同标准
经济数学基础 第12章假设检验 由于分布的图形是不对称的,所以左右两个临界值是不同的 比较检验值x与临界值41,的大小:只要满足x)4或x<2之一, 就可以10;否则接受 H 二、缭合练习 1填空题 1.对总体X~∫(xθ)的未知参数θ的有关命题进行检验,属 问题. 2.小概率原理是指 3.设X~N(σ),当σ2已知时,检验Ho:以=,用检验法,选用统 计量U ,当H成立时,统计量服从分布 1.假设检验 2.小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的; 3.U,o0√nN(01) 2单选题 1.对正态总体方差的假设检验用的是() (A)U检验法(B)T检验法(C)x检验法(①)F检验法 2.设,x2,x是来自正态总体N)(σ2已知)的样本,按给定的显著 性水平∝检验H0:H=(已知);H1以≠山时,判断是否接受0与( 有关 —431
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——431—— 由于 2 分布的图形是不对称的，所以左右两个临界值是不同的. 比较检验值 2 与临界值 1 2 , 的大小：只要满足 2 > 1 或 2 < 2 之一， 就可以 H0 ；否则接受 H0 . 二、综合练习 1.填空题 1. 对总体 X ~ f (x; ) 的未知参数 的有关命题进行检验，属 于 ________问题. 2. 小概率原理是指 . 3．设 ~ ( , ) 2 X N ，当 2 已知时，检验 0 0 H : = ，用 检验法，选用统 计量 U ＝ ，当 H0 成立时，统计量服从 分布. 1. 假设检验； 2．小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的； 3．U ， n x / 0 0 − , N(0,1) 2.单选题 1．对正态总体方差的假设检验用的是（ ）． (A) U 检验法 (B) T 检验法 (C) 2 检验法 (D) F 检验法 2．设 n x , x , , x 1 2 是来自正态总体 ( , ) 2 N （ 2 已知）的样本，按给定的显著 性水平 检验 0 0 H : = （已知）； 1 0 H : 时，判断是否接受 H0 与（ ） 有关
经济数学基础 第12章假设检验 (A)样本值,显著水平a (B)样本值,样本容量n (C)样本容量n,显著水平a ①D)样本值,样本容量n,显著水平 3.在假设检验中,显著水平∝表示( (A)P{接受 HlHo假 (B)P拒绝HH0真}=a (0)P接受Ho 0直}=a (D)P{拒绝h011假}=a 1.C 2.D 3.B 3.计算题 1.某手表厂生产的圆形女表表壳,在正常条件下,直径服从均值为20m,方 差为1mm2的正态分布,某天抽查10只表壳,测得直径为(单位:mm): 19.5 19.8 问生产情况是否正常?第二天测了5只,测得直径为(单位:mm) 0.2 24.6 结论是什么?取a=002 2.洗衣粉包装机包出的洗衣粉重量是一个随机变量N(σ),机器正常工作 时,=500克,有一天开机后,随机地抽取9袋洗衣粉,称得重量为(单位:g) 528 432
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——432—— (A) 样本值，显著水平 (B) 样本值，样本容量 n (C) 样本容量 n，显著水平 (D) 样本值，样本容量 n ，显著水平 3．在假设检验中，显著水平 表示（ ）. (A) P {接受 0 0 H H 假}＝ (B) P {拒绝 0 0 H H 真}＝ (C) P {接受 0 0 H H 真}＝ (D) P {拒绝 0 0 H H 假}＝ 1. C 2．D 3．B 3.计算题 1．某手表厂生产的圆形女表表壳，在正常条件下，直径服从均值为 20mm，方 差为 1mm2的正态分布，某天抽查 10 只表壳，测得直径为（单位：mm）： 19 19.5 19.8 20 2 0.2 20.5 18.7 19.6 20 20 .1 问生产情况是否正常？第二天测了 5 只，测得直径为（单位：mm）： 20.2 21.3 22.4 23.5 24.6 结论是什么？取 = 0.02. 2．洗衣粉包装机包出的洗衣粉重量是一个随机变量 ( , ) 2 N ，机器正常工作 时， 0 = 500 克，有一天开机后，随机地抽取 9 袋洗衣粉，称得重量为（单位：g）： 497 506 528 52 4 498
经济数学基础 第12章假设检验 511 520 515 问以=005显著水平检验这天机器的工作是否正常 3.已知某化纤厂生产的纤度平日服从正态分布N(4050048),某日抽取5 根化纤,测得其纤度为 1.32 问该日生产的化纤纤度总体方差是否正常?取a=005 l2,故H不相容,即在显著水平a=0.02下不能认为生产正常 2.由于>a(8)=230,故拒绝H,即不能认为该洗衣机工作正常 3.拒绝H0,即该日生产的化纤纤度总体方差σ2不正常 三、本章作业 由经验知某产品重量X~N(15。05),现抽取6个样品,测得重量为(单 14.8 15.2 14 设方差不变,问平均重量是否仍为15kg?取a=005 2.某机器在正常工作时,生产的产品平均每个应为50克重,从该机器生产的 批产品中抽取9个,分别称得重量为(单位:g): -433
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——433—— 511 520 515 5 12 问以 = 0.05 显著水平检验这天机器的工作是否正常. 3．已知某化纤厂生产的纤度平日服从正态分布 (1.405,0.048 ) 2 N ，某日抽取 5 根化纤，测得其纤度为 1.32 1.55 1.36 1.40 1.44 问该日生产的化纤纤度总体方差 2 是否正常？取 = 0.05. 1. U0 ，故 H0 相容，即在显著水平 = 0.02 下可以认为生产正常; U0 ，故 H0 不相容，即在显著水平 = 0.02 下不能认为生产正常. 2．由于 T0 t 0.025(8) = 2.30 ，故拒绝 H0 ，即不能认为该洗衣机工作正常. 3． 拒绝 H0 ，即该日生产的化纤纤度总体方差 2 不正常. 三、本章作业 1．由经验知某产品重量 X ~ N(15,0.05) ，现抽取 6 个样品，测得重量为（单 位：kg）： 14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14 .6 设方差不变，问平均重量是否仍为 15kg？取 = 0.05. 2．某机器在正常工作时，生产的产品平均每个应为 50 克重，从该机器生产的 一批产品中抽取 9 个，分别称得重量为（单位：g）：
经济数学基础 第12章假设检验 52.1 50.5 51.2 49.7 49.5 48.3 设产品重量服从正态分布,问这批产品质量是否正常?取a=005 3.正常人的脉搏平均72次/分,某医生测得10例慢性中毒者的脉搏为(单位: 次/分) 70 66 设中毒者的脉搏服从正态分布,问中毒者和正常人的脉搏有无显著性差异?取 0.05 1.可以认为平均重量仍为15kg 2.这批产品的质量正常 3.没有显著差异 -434
经济数学基础 第 12 章 假设检验 ——434—— 52.1 50.5 51.2 49.7 49.5 50.5 58.7 50.5 48.3 设产品重量服从正态分布，问这批产品质量是否正常？取 = 0.05 3．正常人的脉搏平均 72 次/分，某医生测得 10 例慢性中毒者的脉搏为（单位： 次/分） 54 67 68 70 66 67 70 65 69 78 设中毒者的脉搏服从正态分布，问中毒者和正常人的脉搏有无显著性差异？取 = 0.05. 1．可以认为平均重量仍为 15kg； 2．这批产品的质量正常； 3．没有显著差异