经济数学基础 第9章随机事件与概率 第八单元全概率公式 学习目标 通过本节课的学习,知道全概率公式是加法公式和乘法公式的综合,是概率论 中的重要公式,要求会用它计算有关的概率问题. 二、内容讲解 全概率公式 全概率公式也是概率论的重要公式之一.它是概率加法公式和乘法公式的综 合应用.在引入全概率公式之前,先看一个例子 例设有5个乒乓球(3个新的,2个旧的),每次取一个,无放回地取两次,求 第2次取到新球的概率 解设A={第1次取到新球},B={第2次取到新球 这是求事件B的概率问题.事件B指的是:“任取一球,不放回,再任取 球,第2次取到新球”.这样做了n次试验, 第2次取到新球有μ,频率丛的稳定值就是第2次取到新球的概率.因为 P(B4)=P(B4) 是容易求的,所以我们可以借助于它们来求P(B 由于B=BU=B(4+A)(*) 且BA与BA互不相容,则有P(B)=P(B+P(BA 再用概率乘法公式,得到B)=PPB小+PDP(B 3.22.3=3 454 2
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——272—— 第八单元 全概率公式 一、学习目标 通过本节课的学习，知道全概率公式是加法公式和乘法公式的综合，是概率论 中的重要公式，要求会用它计算有关的概率问题. 二、内容讲解 全概率公式 全概率公式也是概率论的重要公式之一. 它是概率加法公式和乘法公式的综 合应用. 在引入全概率公式之前，先看一个例子. 例 设有 5 个乒乓球(3 个新的，2 个旧的)，每次取一个，无放回地取两次，求 第 2 次取到新球的概率. 解 设 A＝{第 1 次取到新球}，B＝{第 2 次取到新球} 这是求事件 B 的概率问题. 事件 B 指的是：“任取一球，不放回，再任取一 球，第 2 次取到新球”.这样做了 n 次试验， 第 2 次取到新球有，频率 n 的稳定值就是第 2 次取到新球的概率. 因为 P(B A) 与 P(B A) 是容易求的，所以我们可以借助于它们来求 P(B). 由于 B＝BU＝B(A+ A )(*) 且 BA 与 B A 互不相容，则有 P(B) = P(BA) + P(BA) 再用概率乘法公式，得到 P(B) = P(A)P(B A) + P(A)P(B A) = 5 3 4 3 5 2 4 2 5 3 + =
经济数学基础 第9章随机事件与概率 注意:(1)这不是求条件概率P(BA)及P(B|A)的问题 2)从形式看,分解式(*)将事件B复杂化了,实质上是(*)式将复杂的 事件B分解成简单的易求的事件了.它起了转移难点的作用. 从引例看到,当求一个事件B的概率较困难时,而求条件概率比较容易,可 先将事件B分解成几个互不相容的事件的和,再利用概率加法公式和乘法公式求 之.将这个做法一般化,即得 定理(全概率公式)如果事件A1,A2,…,An满足 (1)A1,A2,…,An互不相容,而且P(Ak)>0(Kk=1,2,…,n); (2)A1+A2++An=U(完全性), P(B)=∑P(4)P(B4) 则对任一事件B都有 问题思考:抓阄与前后顺序有关吗? 答案无关,例如,有二个人抓五个阄,其中二个”“有”,三个“无”,那么第一个人抓 到“有”的概率显然是二.而第二个人抓到“有”记作B,第一个人抓到“有”记作A.显然 有B=BA+BA 用全概率公式,有P(B)=P(BA+BA)P(BAH+P(BA) PP(B|4)+PA)PB1454+3×2=2 可见,抓阄与先后次序无关注:为什么有人总认为“后抓吃亏呢”,是因为实际生活中的 抓阄,往往是第一个人抓后,马上就宣布结果:“有”(特别是真的抓到时),显然第二个人抓 到的概率变小了.但是若第一个人没抓到,第二个人抓到的概率不就是大了吗!计算他们抓到 的概率应该是一样的 273
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——273—— 注意：(1)这不是求条件概率 P(BA)及 P(B A )的问题. (2)从形式看，分解式(*)将事件 B 复杂化了，实质上是(*)式将复杂的 事件 B 分解成简单的易求的事件了. 它起了转移难点的作用. 从引例看到，当求一个事件 B 的概率较困难时，而求条件概率比较容易，可 先将事件 B 分解成几个互不相容的事件的和，再利用概率加法公式和乘法公式求 之. 将这个做法一般化，即得 定理(全概率公式) 如果事件 A1，A2，…，An 满足 (1) A1，A2，…，An 互不相容，而且 P(Ak)>0(k=1,2,…,n)； (2) A1+A2+…+An=U(完全性)， 则对任一事件 B 都有 = = n k P B P Ak P B Ak 1 ( ) ( ) ( ) 问题思考：抓阄与前后顺序有关吗？ 答案 无关.例如，有二个人抓五个阄，其中二个”“有”，三个“无”. 那么第一个人抓 到“有”的概率显然是 5 2 . 而第二个人抓到“有”记作 B，第一个人抓到“有”记作 A. 显然 有 B＝BA＋B A 用全概率公式，有 P(B)=P(BA＋B A )=P(BA)+P(B A ) =P(A)P(BA)+P( A )P(B A )= 5 2 4 2 5 3 4 1 5 2 + = 可见，抓阄与先后次序无关.注：为什么有人总认为“后抓吃亏呢”，是因为实际生活中的 抓阄，往往是第一个人抓后，马上就宣布结果：“有”(特别是真的抓到时)，显然第二个人抓 到的概率变小了. 但是若第一个人没抓到，第二个人抓到的概率不就是大了吗！计算他们抓到 的概率应该是一样的
经济数学基础 第9章随机事件与概率 三、例题讲解 例题:某市统计局三名统计员分别登录100张农业经济调查表.甲登录了38 张,乙登录了40张,丙登录了22张.根据以往经验,甲出错的概率是1%,乙 出错的概率是1.5%,丙出错的概率是0.8%.统计局长从三人登录的调査表中随机 抽选一张表,试问: (1)该张表有错误的概率是多少? (2)假如发现这张表有错误,试问该张表是甲登录的概率是多少? 解:(1)设B=“随机抽选一张表发现有错误”,A1,A2,A3分别表示甲,乙 丙登录的表格,则有P(41=0.38 P(A2)=0.40 P(a 抽到有错误的表,即事件B出现.有错误的表可能是甲登录的,即 甲登录的有错误的表,此时的概率是P(BA1)=甲出错的概率=0.01 有错的表也可能是乙登录的,此时的概率是P(BA2)=乙出错的概率=0.015 若有错的表格是丙登录的,则有P(B|A3)=丙出错的概率=0.008 因为任何一张有错的表格,只能来自这三个统计员登录的表格,即 A1+42+A3=U且A4=⑧(i≠j,,=1,2,3) B=BU=B(A1+A2+A3)=BA1+BA2+ BA3 用全概率公式,有 P(B=P(B|A1)P(A1)+P(BA2)P(42)+P(BA3)P(43) =038×0.01+0.40×0.015+0022×0.008=0.01lA6 即随机抽选的一张表有错的概率为1.156% (2)已知抽选的表有错误,即事件B出现,求该表格是甲登录的概率.也就是 求P(A1|B)
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——274—— 三、例题讲解 例题：某市统计局三名统计员分别登录 100 张农业经济调查表. 甲登录了 38 张，乙登录了 40 张，丙登录了 22 张. 根据以往经验，甲出错的概率是 1％， 乙 出错的概率是 1.5％，丙出错的概率是 0.8％. 统计局长从三人登录的调查表中随机 抽选一张表，试问： (1)该张表有错误的概率是多少？ (2)假如发现这张表有错误，试问该张表是甲登录的概率是多少？ 解：(1)设 B＝“ 随机抽选一张表发现有错误”，A1，A2，A3 分别表示甲，乙， 丙登录的表格，则有 P(A1)=0.38 P(A2)=0.40 P(A3)=0.22 抽到有错误的表，即事件 B 出现. 有错误的表可能是甲登录的，即 甲登录的有错误的表，此时的概率是 P(BA1)＝甲出错的概率＝0.01 有错的表也可能是乙登录的，此时的概率是 P(BA2)＝乙出错的概率＝0.015 若有错的表格是丙登录的，则有 P(BA3)＝丙出错的概率＝0.008 因为任何一张有错的表格，只能来自这三个统计员登录的表格，即 A1+A2+A3=U 且 AiAj= ( i j，i，j=1,2,3 ) B=BU=B(A1+A2+A3)＝BA1+BA2+BA3 用全概率公式，有 P(B)= P(BA1)P(A1)+P( B|A2)P(A2)+P(BA3)P(A3) =0.380.01+0.400.015+0.0220.008=0.011Á56 即随机抽选的一张表有错的概率为 1.156%. (2) 已知抽选的表有错误，即事件 B 出现，求该表格是甲登录的概率. 也就是 求 P(A1B)
经济数学基础 第9章随机事件与概率 P(AB) P(BA1)P(BA)P(A) 由条件概率公式,得 P(B) P(B)=00A6=032 即已知表有错误,它是甲登录的表的概率是329% 四、课堂练习 甲、乙、丙三个工人生产同一种产品,产量分别占总产量的 各个工 人的产品一级品率分别为95%,80%和90%.从他们生产的产品中随机取出一件,问 该产品是一级产品的概率 全概率公式的作用就在于将一些不好处理的复杂事件,转化成一组事件的和事件,通过 己经掌握的加法公式和乘法公式,使问题得解.本例要求一级品率,一级品率是通过三个工人 来实现的,需要将D转化成与A,B,C有关的事件.再用加法公式和乘法公式,问题得到解决 D表示一级品,它是所有产品的一级品率即为P(D=P(DAP(+P(DBP(B+P(DOP(O 五、课后作业 在某配货运输站,一辆汽车可能到甲、乙、丙三地去拉水果,如果到这三地 去的概率分别为0.2,0.5和0.3.而在三地拉到一级品水果的的概率分别是08,0.6 和0.7.试求汽车拉到一级品水果的概率 2.设100个男人中有5个色盲患者,而10000个女人中只有25个色盲患者 如果检查色盲的人中有3000个男人,2000个女人如果任意检查一人,求此人是 色盲的概率 3.两台机床加工同样的零件,第一台机床出废品的概率是3%,第二台机床出废 品的概率是2%,加工出来的零件放在一起,又知第一台加工的零件是第二台加工 零件的两倍.(1)求从混合产品中任取一个零件是合格品的概率 (2)如果任意取出的一个零件是废品,那么它是第二台机床加工的零件的概率 有多大?(提示:所求是一个条件概率问题) 5
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——275—— 由条件概率公式，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 P B P(B A )P A P B P BA P A B = = = 0 0 0 56 0 .38 .01 .011Á .329 = 即已知表有错误，它是甲登录的表的概率是 32.9%. 四、课堂练习 甲、 乙、丙三个工人生产同一种产品, 产量分别占总产量的 9 4 , 3 1 , 9 2 ，各个工 人的产品一级品率分别为 95%,80%和 90%. 从他们生产的产品中随机取出一件,问 该产品是一级产品的概率. 全概率公式的作用就在于将一些不好处理的复杂事件，转化成一组事件的和事件，通过 已经掌握的加法公式和乘法公式，使问题得解. 本例要求一级品率，一级品率是通过三个工人 来实现的，需要将 D 转化成与 A，B，C 有关的事件. 再用加法公式和乘法公式，问题得到解决. D 表示一级品，它是所有产品的一级品率.即为 P(D)= P(DA)P(A)+P(D|B)P(B)+P(DC)P(C) 五、课后作业 1.在某配货运输站，一辆汽车可能到甲、乙、丙三地去拉水果，如果到这三地 去的概率分别为 0.2，0.5 和 0.3.而在三地拉到一级品水果的的概率分别是 08，0.6 和 0.7.试求汽车拉到一级品水果的概率. 2.设 100 个男人中有 5 个色盲患者，而 10000 个女人中只有 25 个色盲患者. 如果检查色盲的人中有 3000 个男人，2000 个女人.如果任意检查一人，求此人是 色盲的概率. 3.两台机床加工同样的零件，第一台机床出废品的概率是 3%,第二台机床出废 品的概率是 2％，加工出来的零件放在一起，又知第一台加工的零件是第二台加工 零件的两倍. (1) 求从混合产品中任取一个零件是合格品的概率； (2) 如果任意取出的一个零件是废品，那么它是第二台机床加工的零件的概率 有多大？(提示：所求是一个条件概率问题)
经济数学基础 第9章随机事件与概率 4.箱中有三个带子,一号袋一个,二号袋2个.一号袋装有1个红球2个黄球; 号袋均装有2个红球3个黄球.金从箱中任取一袋再从袋中随机取出一球,球该 球是红球的概率,如果这个球是红球那么这个球是取自一号袋的概率又多大? 1.0.38.2.0.031.3.0.973:0.494.4.0.378:0.294. 276
经济数学基础 第 9 章 随机事件与概率 ——276—— 4.箱中有三个带子，一号袋一个，二号袋 2 个.一号袋装有 1 个红球 2 个黄球； 二号袋均装有 2 个红球 3 个黄球.金从箱中任取一袋再从袋中随机取出一球，球该 球是红球的概率，如果这个球是红球那么这个球是取自一号袋的概率又多大？ 1. 0.38． 2. 0.031． 3. 0.973；0.494． 4. 0.378；0.294．