2002-2003学年第一学期复变函数科目考试试题A卷 使用班级(教师填写):函授数学本科1,2,3,4班 命题:李伟勋 审批: 班级(学生填写) 姓名: 学号 「题号二三「四「五「六七八「九「总分 得分 阅卷人 、填空题(每小题1分,共10分) 设点二=1-43,则其辐角主值ag(x(-)y12n=1=2m1的收敛半径R= 5.设v=VE,(c∈G-< arg<<I)为一单值分支,若w(0)=-1,则(-)= 7.函数f()=2(e2-1在零点z=0的级
1 2002– 2003 学年第一学期 复变函数 科目考试试题 A 卷 使用班级（教师填写）: 函授数学本科 1，2，3，4 班 命题：李伟勋 审题： 审批： 班级（学生填写）: 姓名： 学号： 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 阅卷人 一、填空题(每小题 1 分，共 10 分) 1. 设点 z i 2 3 2 1 = − ,则其辐角主值 argz(-π<arg z )为_______. 2. sinz 在点 z=1 处的泰勒级数为 3. 2 1 i e − = 4. 幂级数 2 1 1 1 2 (2 1) ( ) − = − − − n n n n z n i 的收敛半径 R= 5. 设 w= z 3 ，(z∈G:-π<arg z<π)为一单值分支，若 w(i) = −i ,则 w(−i) = _______. 6. = − − + : 2 2 2 ( 1) 2 1 z dz z z z c = 7. 函数 ( ) ( 1) 2 2 = − z f z z e 在零点 z=0 的级
方程=6-5=5+x2-2=0在单位圆内有 零点 函数w=f(x)=z2+2=在点z=-1+2处和旋转角为 10.称变换w=为 的对称变换 、判断题判斷下列各题,正确的在题后括号内打“√",错的打“×"。每小题1分,共 10分) 1.当且仅有唯一的数z,使得1=-成立 2.若f()在区域D内任一点a的邻域内可展成二-a的幂级数,则f()在区域D内必定处处 解析 3. cOsz =cos 4.设f(=)在z平面上的区域D内解析,C为D内的任一打围线,则f()=0 5.复数项级数一必定绝对收敛 6.设函数f()在区域D内解析不恒为常数,则对于=0∈D,必有|(=0)为(在D内的最 小值 7.函数f(-)= 在点z=0的去心邻域内一定不能展成罗朗级数 8.方程c-e2="=0(>1)在单位圆|2<内一定有n个根 9.复变函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性和伸缩率不变性 10.函数F()=2是函数f()=∑(n+1)(=+1)”由区域|+1<1向外的解析开拓.()
2 8. 方程 5 2 0 6 5 2 z − z + z − = 在单位圆内有_______个零点. 9. 函数 w f (z) z 2z 2 = = + 在点 z = −1+ 2i 处和旋转角为 10．称变换 z w 1 = 为 的对称变换. 二、判断题(判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。每小题 1 分，共 10 分) 1. 当且仅有唯一的数 z , 使得 z z = − 1 成立. ( ) 2. 若 f (z) 在区域 D 内任一点 a 的邻域内可展成 z − a 的幂级数,则 f (z) 在区域 D 内必定处处 解析. ( ) 3. cosz = cos z . ( ) 4. 设 f (z) 在 z 平面上的区域 D 内解析，C 为 D 内的任一打围线, 则 f z dz c ( ) =0. ( ) 5. 复数项级数 n=1 n n i 必定绝对收敛. ( ) 6. 设函数 f (z) 在区域 D 内解析不恒为常数, 则对于 z0 D , 必有 ( ) 0 f z 为 f (z) 在 D 内的最 小值. ( ) 7. 函数 z f z 1 sin 1 ( ) = , 在点 z=0 的去心邻域内一定不能展成罗朗级数. ( ) 8. 方程 − = 0 z n e e z ( >1) 在单位圆 1 内一定有 n 个根. ( ) 9. 复变函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性和伸缩率不变性. ( ) 10. 函数 2 ( ) − F z = z 是函数 = = + + 0 ( ) ( 1)( 1) n n f z n z 由区域 z +1 1 向外的解析开拓. ( )
三、完成下列各题(每小题5分,共40分) 1.设f(x)=my3+nx2y+i(x3+by2)为解析函数,试确定l,m,n的值 2.计论函数f()=1在Z平面的连续性、可微性及解析性 3.计算积分」(||-esn)d,其中C为正向圆周|=a>0 4.计算积分(2-2+82+1)的值,其中C是0到2ra的摆线:x=a(0-snθ), a(-cos 0)
3 三、完成下列各题(每小题 5 分，共 40 分) 1. 设 ( ) ( ) 3 2 3 2 f z = my + nx y +i x +lxy 为解析函数, 试确定 l , m , n 的值。 2. 计论函数 z f z 1 ( ) = 在 Z 平面的连续性、可微性及解析性。 3. 计算积分 z e z dz C z ( | | sin ) − ，其中 C 为正向圆周 | z |= a 0 4. 计算积分 z z dz C (2 8 1) 2 + + 的值，其中 C 是 0 到 2 a 的摆线: x = a( − sin ) , x = a(1− cos )
5.已知(x,y)=x2-y2+xy,求合于条件f()=-1+i的解析函数f()=(x,y)+n(x,y)。 6.将函数∫()=esnz关于z的幂级数展开式。 7.将函数f(x)= 在点z=-的去心邻域内展成罗朗级数 (二2+1)2 8.求函数f(=) 在z=1处的残数
4 5．已知 u x y = x −y +xy 2 2 ( , ) ，求合于条件 f (i) = −1+ i 的解析函数 f (z) = u(x, y) +iv(x, y)。 6. 将函数 f z e z z ( ) = sin 关于 z 的幂级数展开式。 7. 将函数 2 2 ( 1) 1 ( ) + = z f z 在点 z = −i 的去心邻域内展成罗朗级数. 8. 求函数 n n z z f z ( 1) ( ) 2 − = 在 z=1 处的残数
四、(10分) 求积分值I= 0(x2+1Xx2+4 五、(10分) 求函数f()=-的奇点,并判定其类别(包括无穷远点) 六.(10分)
5 四、(10 分) 求积分值 I= + 0 + + 2 2 2 ( 1)( 4) dx x x x . 五、(10 分) 求函数 1 ( ) 1 1 − = − z z e e f z 的奇点，并判定其类别(包括无穷远点). 六．（10 分）
求出圆|=k2到半平面Rew>0的保形变换v=f(=),使合于条件 f()=1, argf()= 七.(10分)证明 函数()=∑()在单位圆|=k1内解析,并且可解析开拓到除点二=-1外的 n=1 整个z平面
6 求出圆 | z | 2 到半平面 Re w 0 的保形变换 w = f (z) ，使合于条件 2 ( ) 1, arg ( ) f z = f z = 七．（10 分）证明： 函数 = − − = 1 ) 2 2 1 ( ) ( n n z z f z 在单位圆 | z |1 内解析，并且可解析开拓到除点 z = −1 外的 整个 z 平面