2002-2003学年第一学期复变函数科目考试试题B卷 使用班级(教师填写):函授数学本科1,2,3,4班 命题:李伟勋 审题 审批: 班级(学生填写) 姓名: 学号: 题号三三四五六七八九总分 得分 阅卷人 、填空题(每小题1分,共10分) 1.设点z=- 11 221,则其辐角主值arg(n<agsn)为 2.snz在点z=1处的泰勒级数为 4.幂级数∑二的收敛半径R 5.设v=V=,(z∈G:-n<agz<丌)为一单值分支,若v(1)=-i则v(-1)= dz 7.函数f()=6sin3+2(=6-6)在零点z=0的级
1 2002– 2003 学年第一学期 复变函数 科目考试试题 B 卷 使用班级（教师填写）: 函授数学本科 1，2，3，4 班 命题：李伟勋 审题： 审批： 班级（学生填写）: 姓名： 学号： 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 阅卷人 一、填空题(每小题 1 分，共 10 分) 1. 设点 z i 2 1 2 1 = − − , 则其辐角主值 argz(-π<arg z )为_______. 2. sin z 在点 z=1 处的泰勒级数为 3. 1+i 2 = 4. 幂级数 n=0 n n z 的收敛半径 R= 5. 设 w= z 3 ， ( z G : − arg z ) 为一单值分支, 若 w(i) = −i 则 w(−i) = ______. 6. : =1 5 z z dz z e c = 7. 函数 ( ) 6sin ( 6) 3 3 6 f z = z + z z − 在零点 z=0 的级
方程=4-52+1=0在圆环14二k1)在单位圆21由区域<向外的解析开拓( 三、完成下列各题(每小题5分,共40分) 考察函数f(-)=二+二在z=0处的极限
2 8. 方程 5 1 0 4 z − z + = 在圆环 1 | z | 2 内有_______个根. 9. 函数 w f (z) z 2z 2 = = + 在点 z =1+2i 处的旋转角为 10．称变换 z w 1 = 为 变换. 二、判断题(判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。每小题 1 分，共 10 分) 1. 若 z 为纯虚数 , 则 z z 。 ( ) 2. 若 f (z) 在点 a 处可微, 则 f (z) 必在点 a 处解析。 ( ) 3. sin z = sin z. ( ) 4. 设 f (z) 在 z 平面上的区域 D 内解析，C 为 D 内的任一闭曲线, 则 f z dz c ( ) =0. ( ) 5. 复数项级数 = + 1 ! (3 5 ) n n n i 必定绝对收敛.。 ( ) 6. 有界的整函数必恒为一常数。 （ ） 7. 函数 x f z 1 ( ) = cos , 在点 z = 的去心邻域内一定不能展成罗朗级数. ( ) 8. 方程 = ( 1) − e z z 在单位圆 1 内恰有 1 个实根. ( ) 9.函数 2 w = z 将圆 | z −1|= 1 的内部保形变换成心脏线的内部. ( ) 10. 函数 2 1 1 ( ) z F z + = 是函数 = = − 0 2 ( ) ( 1) n n n f z z 由区域 z 1 向外的解析开拓. ( ) 三、完成下列各题(每小题 5 分，共 40 分) 1. 考察函数 z z z z f (z) = + 在 z = 0 处的极限
2.计论函数f(z)=e的解析性 3证明:函数f()=snz在z平面上无界 4.计算积分∫ COS c2de 5.已知v(x,y) ,求合于条件∫(2)=0的解析函数f(x)=u(x,y)+n(x,y)
3 2. 计论函数 2 ( ) z f z = e 的解析性。 3.证明：函数 f (z) = sin z 在 z 平面上无界. 4. 计算积分 i z z dz 0 2 cos 5．已知 2 2 ( , ) x y y v x y + = ，求合于条件 f (2) = 0 的解析函数 f (z) = u(x, y) +iv(x, y)
6.将函数f(-)=e在=0处展开,并指明其收敛范围. 7.将函数f(x)=z2e在点二=0及二=∞处的罗朗级数 8.求函数f(=) 在z=0及z=∞处的残数 四、(10分) 求积分值 COSx
4 6. 将函数 z e f (z) = e 在 z = 0 处展开, 并指明其收敛范围. 7. 将函数 z f z z e 1 2 ( ) = 在点 z = 0及z = 处的罗朗级数. 8. 求函数 4 2 1 ( ) z e f z z − = 在 z = 0 及 z = 处的残数. 四、(10 分) 求积分值 I= + + + 0 9) 2 1)( 2 ( cos dx x x x
五、(10分) 求函数f()=~11 的奇点,并判定其类别(包括无穷远点 六.(10分) 求出将圆|-4ku的保形变换,使得圆心变到-4,而圆周上的点2i变 到w=0
5 五、(10 分) 求函数 z e f z z 1 1 1 ( ) − − = 的奇点，并判定其类别(包括无穷远点). 六．（10 分） 求出将圆 | z − 4i | 2 变成半平面 v u 的保形变换，使得圆心变到-4，而圆周上的点 2i 变 到 w = 0
七.(10分)证明: 已知函数f()=1+2二+(2)2+(2=) 证明:函数f2()s、1 1-z(1- 是函数f1(=)的解析开拓
6 七．（10 分）证明： 已知函数 f 1 (z) =1+ 2z + (2z) 2 + (2z) 3 +， 证明：函数 + − + − + − = 3 2 2 2 1 (1 ) (1 ) 1 ( ) z z z z z f z 是函数 ( ) 1 f z 的解析开拓