经济数学基础 第8章数据处理 第一单元量要的特征数 学习目标 介绍数据处理的几个常见概念,要求了解总体、样本、均值、方差等基本概念, 会计算均值和方差等重要特征数. 二、内容讲解 我们把所研究对象的全体称为总体,而组成总体的基本单位称为个体.从总体 中抽取出来的个体称为样品,若干个样品组成的集合称为样本,一个样本中所含样 品的个数称为样本容量(或大小),n个样品组成的样本用x,x2,…,x1表示.我们把 样品的取值称为样品值,样本的取值称为样本值,也称为样本数据 1均值:给定一组数据x1”=(x+x2+…+人 为数据 n的均值 2加权平均数:给定一组数据xx2x和一组正数PP2…,Pn,且 P1=1 称x1p+x2P2+…+xnPn=∑xP 为xx2,…x的加权平均数,P 称为x的权 3.中位数:将一组有限个数据x,x2,x,按由小到大的次序排成数列,记为
经济数学基础 第 8 章 数据处理 ——223—— 第一单元 重要的特征数 一、学习目标 介绍数据处理的几个常见概念，要求了解总体、样本、均值、方差等基本概念， 会计算均值和方差等重要特征数. 二、内容讲解 我们把所研究对象的全体称为总体，而组成总体的基本单位称为个体.从总体 中抽取出来的个体称为样品,若干个样品组成的集合称为样本，一个样本中所含样 品的个数称为样本容量(或大小)，n 个样品组成的样本用 x1,x2,…,xn表示.我们把 样品的取值称为样品值,样本的取值称为样本值，也称为样本数据. 1.均值：给定一组数据 n x , x , , x 1 2 ,称 = = + + + = n i n i x n x x x n x 1 1 2 1 ( ) 1 为数据 n x , x , , x 1 2 的均值. 2.加权平均数：给定一组数据 n x , x , , x 1 2 和一组正数 p p pn , , , 1 2 , 且 1 1 = = n i pi ,称 = = + + + = n i i n n i pi x x p x p x p x 1 1 2 2 为 n x , x , , x 1 2 的加权平均数, i p 称为 i x 的权. 3.中位数：将一组有限个数据 n x , x , , x 1 2 ,按由小到大的次序排成数列,记为 * * 2 * 1 , , , n x x x
经济数学基础 第8章数据处理 M (1)当n为奇数时,处于中间位置的数称为中位数,此时中间位置是 中位数就是xM; 和 (2)当n为偶数时,中间位置有两个数22,它们的平均值就是中位数,即 x +x 在有一些问题中间,光依靠数据的平均数这个特征数是不足以说明问题的,还 要依靠第二个重要的特征数,这就是方差和标准差。那么什么是方差和标准差呢 先看一个例子 例二个厂生产同类产品,各抽取二袋检查净重(单位:g),结果为 样品 样品二 均值 甲厂 100 100 100 乙厂 150 50 100 标准重为100g的产品 甲厂:x1=100g,x2=100g,x=1008:乙厂:=100g,y2=100g,=100 g 两个厂家生产的产品的均值是相同的,但是与标准重量100g是有偏差的: (x1-x)2+(x2-x)2]=0 甲厂:2 Z/:-)2+(y2-)]=2500 甲厂没有偏差,乙厂的偏差为2500,说明乙厂的产品质量不如甲厂的产品质 量好 (x2-x) 4.方差:给定一组数据xx2x,称7 为数据x1x2xn的 方差,其中x是x,x2,x的均值 -224
经济数学基础 第 8 章 数据处理 ——224—— (1)当 n 为奇数时,处于中间位置的数称为中位数,此时中间位置是 2 +1 = n M , 中位数就是 * M x ； (2)当 n 为偶数时,中间位置有两个数 * 1 2 * 2 + n n x 和x ,它们的平均值就是中位数,即 * M x = 2 * 1 2 * 2 + n + n x x 在有一些问题中间，光依靠数据的平均数这个特征数是不足以说明问题的，还 要依靠第二个重要的特征数，这就是方差和标准差。那么什么是方差和标准差呢？ 先看一个例子。 例二个厂生产同类产品，各抽取二袋检查净重（单位：g），结果为： 样品一 样品二 均值 甲厂 100 100 100 乙厂 150 50 100 标准重为 100g 的产品， 甲厂： x1 =100g, x2 =100g , x = 100g ；乙厂： y1 =100g, y2 =100g, y =100g 两个厂家生产的产品的均值是相同的，但是与标准重量 100g 是有偏差的： 甲厂： [( ) ( ) ] 0 2 1 2 2 2 x1 − x + x − x = ；乙厂： [( ) ( ) ] 2500 2 1 2 2 2 y1 − y + y − y = 甲厂没有偏差，乙厂的偏差为 2500，说明乙厂的产品质量不如甲厂的产品质 量好. 4.方差：给定一组数据 n x , x , , x 1 2 ，称 2 1 2 ( ) 1 x x n s n i = i − = 为数据 n x , x , , x 1 2 的 方差,其中 x 是 n x , x , , x 1 2 的均值
经济数学基础 第8章数据处理 5标准差:称方差的算术平方根K飞(x-x 为数据xx2xn的标准差 (也称为均方差) 6.加权方差:给定一组数据1x2…,它们的权为P1,P2Pn,称 s2=∑p(x-x) 为数据xx2,x的加权方差,其中x是x1,x2,…xn的加权平均 7.极差:给定一组数据xx2x中的最大值与最小值之差称为xx2…xn 的极差 问题:方差为0的一组数据有什么特点?这组数据是同一常数 三、例题讲解 例1商场销售一种新产品,统计前5天的销售量,分别为(单位:个) 求这种新产品平均每天的销售量是多少? 解:根据均值的计算公式得x(38+42+36+25+39)=40 即这种新产品平均每天销售40个 例2统计20名学生的考试成绩情况如下 成绩 人数 m 求这20人的平均成绩。 解:可以把20人的成绩加起来再除以20计算 25
经济数学基础 第 8 章 数据处理 ——225—— 5.标准差：称方差的算术平方根 2 1 ( ) 1 = = − n i i x x n s 为数据 n x , x , , x 1 2 的标准差 (也称为均方差). 6.加权方差：给定一组数据 n x , x , , x 1 2 ，它们的权为 p p pn , , , 1 2 ，称 2 1 2 s p (x x) n i = i i − = 为数据 n x , x , , x 1 2 的加权方差，其中 x 是 n x , x , , x 1 2 的加权平均 数. 7.极差：给定一组数据 n x , x , , x 1 2 中的最大值与最小值之差,称为 n x , x , , x 1 2 的极差. 问题：方差为 0 的一组数据有什么特点？这组数据是同一常数. 三、例题讲解 例 1 商场销售一种新产品，统计前 5 天的销售量，分别为（单位：个） 38 42 36 45 39 求这种新产品平均每天的销售量是多少？ 解：根据均值的计算公式得 (38 42 36 25 39) 40 5 1 x = + + + + = 即这种新产品平均每天销售 40 个. 例 2 统计 20 名学生的考试成绩情况如下： 成绩 100 98 97 95 人数 10 6 3 1 求这 20 人的平均成绩。 解：可以把 20 人的成绩加起来再除以 20 计算
经济数学基础 第8章数据处理 100+98+97+95 错误算法 100×10+98×6+97×3+95×1 =98.7 或者:20名学生的平均成绩为 100×+98 +97×-+95 98.7 或写成 例3某种商品的评价表 内在质量外观 包装 权重70% 10% 「得分 9 10 则这件商品的得分是9×70%+10×20%+7×10%=9分 例4统计20名学生的考试成绩情况如下: 成绩 100 98 97 95 人数 10 6 3 求这20人的成绩的方差 解:前面己经计算出平均成绩为98.7,则成绩的加权方差是 s2=50%×(100-987)2+30%×(98-987) +15%×(97-9872+5%×(95-987)2=2.11 标准差S=√s2=1453 -226
经济数学基础 第 8 章 数据处理 ——226—— 错误算法 97.5 4 100 98 97 95 = + + + 或者：20 名学生的平均成绩为 98.7 20 100 10 98 6 97 3 95 1 = + + + 或写成： 98.7 20 1 95 20 3 97 20 6 98 20 10 100 + + + = 例 3 某种商品的评价表： 内在质量 外观 包装 权重 70％ 20％ 10％ 得分 9 10 7 则这件商品的得分是 9 70% +10 20% + 710% = 9分 例 4 统计 20 名学生的考试成绩情况如下： 成绩 100 98 97 95 人数 10 6 3 1 求这 20 人的成绩的方差. 解：前面已经计算出平均成绩为 98.7，则成绩的加权方差是 = 2 s 2 2 50%(100 − 98.7) + 30%(98 − 98.7) 2 2 +15%(97 − 98.7) + 5%(95 − 98.7) =2.11 标准差 1.453 2 s = s =
经济数学基础 第8章数据处理 四、课堂练习 练习1调査七个城市居民对所在城市某系统服务质量的满意度,具体数据如下 表 「城市名称 ABCDEFG 很满意或比较满意比66615164645463 例(%) 不太满意或很不满意9 满意度362364343362367352373 试填写下表 均值中位数极差标准差[变异系数 很满意或比较满意 比例(%) 不太满意或很不满 满意度 并由此分析七个城市居民对该系统服务的满意程度 计算一组数据的特征数,可采用基本公式或简化公式计算若需求中位数和极差等与顺序 有关的特征数,则应先将数据按大小顺序排列起来.数据由小到大顺序排列时,后一个数据要 大于或等于前一个数据,且不要遗漏,也不要重复.该指标的七个数据由小到大顺序排列为51, 练习2某学校对学生某科的期末成绩按如下方法考评:平时作业占20%;期中 考试占30%;期末考试占50%,现有甲、乙两个学生的成绩分别如下 平时作业期中考试期末考试 100 100 95 90 试求这两名学生的期末成绩和标准差 -227
经济数学基础 第 8 章 数据处理 ——227—— 四、课堂练习 练习 1 调查七个城市居民对所在城市某系统服务质量的满意度，具体数据如下 表 城市名称 A B C D E F G 很满意或比较满意比 例(％) 66 61 51 64 64 54 63 不太满意或很不满意 (％) 9 7 12 7 4 7 6 满意度 3.62 3.64 3.43 3.62 3.67 3.52 3.73 试填写下表 均值 中位数 极差 标准差 变异系数 很满意或比较满意 比例(％) 不太满意或很不满 意(％) 满意度 并由此分析七个城市居民对该系统服务的满意程度. 计算一组数据的特征数,可采用基本公式或简化公式计算.若需求中位数和极差等与顺序 有关的特征数,则应先将数据按大小顺序排列起来. 数据由小到大顺序排列时,后一个数据要 大于或等于前一个数据,且不要遗漏,也不要重复. 该指标的七个数据由小到大顺序排列为51, 54, 61, 63, 64, 64, 66. 练习 2 某学校对学生某科的期末成绩按如下方法考评：平时作业占 20%；期中 考试占 30%；期末考试占 50%,现有甲、乙两个学生的成绩分别如下: 平时作业 期中考试 期末考试 甲 90 95 100 乙 100 95 90 试求这两名学生的期末成绩和标准差
经济数学基础 第8章数据处理 如果不考虑每个数据的权重,则每个学生的成绩就是“平时作业”、“期中考试”和“期末 考试”三个成绩的平均值而现在要考虑数据的权重,因此要用加权平均数的公式计算.如果给 定一组数据xx2,x,它们的权分别是P,P2,“Pn,则这组数据的加权平均数是 x=x1P1+x2P2+…+xnPn=∑xP1 甲=∑px 甲的期末成绩是2=1=90×20%+95×30%+ 100×50%=96.5 五、课后作业 1.某班有15名学生,在一次英语考试中,成绩如下 求这15名学生英语成绩的(1)均值;(2)中位数;(3)你认为哪个平均数比较 好地“代表”了这15名学生的英语成绩? 2.某工厂第一季度四次购进某材料,每次购进的数量和单价如下表,试求该材 料的平均价格 数量(千克)2000 2500 1800 2100 价格(元) 4.5 4.2 5.0 4.4 3.从一年级、三年级和六年级的小学生中各随机抽查5名男学生,测其体重如 下表(单位:千克) 学生 年级三年级六年级 17.5 30.2 43.3 22.6 29.9 35.2 2345 24.0 20.4 275 212228384 19.2 23.0 6.5 合计 228
经济数学基础 第 8 章 数据处理 ——228—— 如果不考虑每个数据的权重,则每个学生的成绩就是“平时作业”、“期中考试”和“期末 考试”三个成绩的平均值.而现在要考虑数据的权重，因此要用加权平均数的公式计算. 如果给 定一组数据 n x , x , , x 1 2 ,它们的权分别是 p p pn , , , 1 2 ,则这组数据的加权平均数是 = = + + + = n i i n n i pi x x p x p x p x 1 1 2 2 .甲的期末成绩是 = = 5 i 1 i i x甲 p x =90×20%＋95×30%＋ 100×50%=96.5 五、课后作业 1.某班有 15 名学生,在一次英语考试中,成绩如下: 56 60 62 58 61 64 64 62 62 99 64 95 59 62 92 求这 15 名学生英语成绩的(1)均值；(2)中位数；(3)你认为哪个平均数比较 好地“代表”了这 15 名学生的英语成绩？ 2.某工厂第一季度四次购进某材料,每次购进的数量和单价如下表，试求该材 料的平均价格. 数量(千克) 2000 2500 1800 2100 价格(元) 4.5 4.2 5.0 4.4 3.从一年级、三年级和六年级的小学生中各随机抽查 5 名男学生,测其体重如 下表(单位:千克). 学生 一年级 三年级 六年级 1 17.5 30.2 43.3 2 22.6 29.9 35.2 3 24.0 20.4 27.5 4 21.2 22.8 38.4 5 19.2 23.0 26.5 合计
经济数学基础 第8章数据处理 匚体重均值 匚体重标准差 体重变异系数 有这些数据分别计算每个年级男生体重的均值、标准差、变异系数,填入表内. 1.(1)均值68:(2)中位数62:(3)用中位数作这组数据的“代表”要好一些.因为这组 数据中有12个数据在56~64之间,只有3个在92以上 2.3.4493元 合计 104.5 126.3 170.9 体重平均值20.9 34.18 体重标准差」2:3 4.02 体重变异系数1151591%1876 9
经济数学基础 第 8 章 数据处理 ——229—— 体重均值 体重标准差 体重变异系数 有这些数据分别计算每个年级男生体重的均值、标准差、变异系数,填入表内. 1．(1)均值 68；(2)中位数 62；(3)用中位数作这组数据的“代表”要好一些. 因为这组 数据中有 12 个数据在 56～64 之间,只有 3 个在 92 以上. 2． 3.4493 元; 3． 合计 104.5 126.3 170.9 体重平均值 20.9 25.26 34.18 体重标准差 2.33 4.02 6.41 体重变异系数 11.15% 15.91% 18.76%