《经济数学基础》课程教学资源：第十章 随机变量与数字特征（10.5）函数与函数的分布

经济数学基础 10章随机变量与数字特征 第五单元分布函数与函数的分布 学习目标 通过本节课的学习,认识分布函数的概念,会求简单的分布函数.知道随机变 量的函数仍是随机变量,因此知道该函数有分布 二、内容讲解 1.分布函数 设ⅹ是连续型随机变量,密度函数为f(x),则事{XK≤x}的概率,即 P(Xs)=)=x)称为随机变量x的分布函数.有 F(x)=f(x)(在f(x)的连续点) 几何上看 事件{X≤x}的概率,等于由一∞至x,密度x)与x轴围成的面积 2.随机变量函数的分布 设κ是随机变量,y=g(x)是一个函数,如果当随机变量X取值x时,随机变量F 按y=g(x)取值,则称Y为随机变量X的函数,记作Y=g() 如果X是离散型随机变量,其概率分布为P(X=x)=pk(k=1,2,…) 则随机变量Y的概率分布为P(=y)=P(Y=g(xk)=p(k=1,2,) 问题思考:连续型随机变量x的分布函数为F()=L(x),其中密度函数八x) 可以大于1,那么F(x)可以大于1吗? 312

经济数学基础 10 章 随机变量与数字特征 ——312—— 第五单元 分布函数与函数的分布 一、学习目标 通过本节课的学习，认识分布函数的概念，会求简单的分布函数．知道随机变 量的函数仍是随机变量，因此知道该函数有分布． 二、内容讲解 1.分布函数 设 X 是 连 续 型 随 机 变 量 ， 密 度 函 数 为 f(x) ，则事 {Xx} 的 概 率 ， 即   x P X x f t t - ( ) = ( )d =  F( x) 称为随机变量 X 的分布函数．有 F(x)=f(x)（在 f(x)的连续点） 几何上看： y F(x) f(x) 事件{Xx}的概率，等于由－至 x，密度 f(x)与 x 轴围成的面积． 2.随机变量函数的分布 设 X 是随机变量，y=g(x)是一个函数，如果当随机变量 X 取值 x 时，随机变量 Y 按 y=g(x)取值，则称 Y 为随机变量 X 的函数，记作 Y＝g(X) 如果 X 是离散型随机变量，其概率分布为 P(X=xk)=pk(k=1,2,…)， 则随机变量 Y 的概率分布为 P(Y=yk)=P(Y=g(xk))=pk(k=1,2,…) 问题思考：连续型随机变量 X 的分布函数为 F(x)= − x f (x)dx ，其中密度函数 f(x) 可以大于 1，那么 F(x)可以大于 1 吗？ 0 x x

经济数学基础 10章随机变量与数字特征 答案不可以.因为分布函数是事件{X≤x}的概率,概率显然只能是大于或等于0, 小于或等1的数值 三、例题讲解 例1:求二点分布的分布函数 解:二点分布的概率分布为 ∑P(X=x) 分布函数F(x)=P(X≤x)=4sx 当x<0时,事件{X=0}不包含在事件{X<x内 F(x)=P(X≤x)=0 当0≤x<1时,事件{Kx}={-∞K0=00<Kx,所以 F(x)=P(X<x)=P(-∞<K(0)+P(X=0)+P(0<K<x) =0+1-p+0=1 当x1时,有F(x)=P(K≤x) =P(-∞<K(0)+P(X=0)+P(0<K1)+P(X=1)+P(1<K<x) =0+1-p+0+p=1 1-p0≤x<1 于是二点分布的分布函数为F()s x≥1 二点分布的分布函数F(x)图形如下

经济数学基础 10 章 随机变量与数字特征 ——313—— 答案 不可以．因为分布函数是事件{Xx}的概率，概率显然只能是大于或等于 0， 小于或等 1 的数值． 三、例题讲解 例 1:求二点分布的分布函数． 解:二点分布的概率分布为 X 1 0 pk p 1－p 分布函数 F(x)=P(Xx)＝   = x x k k P(X x ) ． 当 x<0 时，事件{X=0}不包含在事件{Xx}内． F(x)=P(Xx)=0 当 0x<1 时，事件{Xx}={－<X0X=00<Xx}，所以 F(x)=P(Xx)=P(－<X<0)+P(X=0)+P(0<Xx) =0+1－p+0=1－p 当 x1 时，有 F(x)=P(Xx) =P(－<X<0)+P(X=0)+P(0<X<1)+P(X=1)+P(1<Xx) =0+1－p+0+p=1 于是二点分布的分布函数为 F(x)=       −    1 1 1 0 1 0 0 x p x x 二点分布的分布函数 F(x)图形如下：

经济数学基础 10章随机变量与数字特征 F(x) 二点分布的分布函数图 可见,二点分布的分布函数是一个右连续的曲线.任何离散型随机变量的分布 函数都是右连续的分段函数 例2:求均匀分布的分布函数 解:均匀分布的密度函数为f(x)= 其他 分布函数F(x)=P(K≤x) 当x<a时,f(x)=0,F(x)=P(Kx)= 当a≤x<b时,f(x)=b-a,事件{X≤x}={-∞Ka){a≤Ksx F(x)=P(Xx)=P(-∞<Ka)+P(a≤K≤x) f(x)dx+ f(x)dx Od dx b b 当x≥b时,F(x)=P(X<x)=P(-∞Ka)+P(aK<b)+P(b≤Xx) ab-adx+[odr 314

经济数学基础 10 章 随机变量与数字特征 ——314—— 可见，二点分布的分布函数是一个右连续的曲线．任何离散型随机变量的分布 函数都是右连续的分段函数． 例 2:求均匀分布的分布函数． 解:均匀分布的密度函数为 f(x)=        − 0 其他 1 a x b b a 分布函数 F(x)=P(Xx)． 当 x<a 时，f(x)=0，F(x)=P(Xx)＝ ( )d = 0d = 0 − − x x f x x x 当 ax<b 时，f(x)= b − a 1 ，事件{Xx}={－<X<a}{aXx} F(x)=P(Xx)=P(－<X<a)+P(aXx) ＝   + − x a a f (x)dx f (x)dx ＝ b a x a x b a x x a a − − = − + −  d 1 0d 当 xb 时，F(x)=P(Xx)=P(－<X<a)+P(aX<b)+P(bXx) ＝    + − + − x b b a a x x b a x d 0d 1 0d ＝1

经济数学基础 10章随机变量与数字特征 F(x x<a F(x)= b ,F(x)的图形如下: 所有连续型随机变量的分布函数都是一个连续曲线 例3:已知随机变量X的概率分布 42|4 求Y=2X+1的概率分布 分析:按照随机变量函数的定义,已知X的概率分布P(X=x)pk,那么Y的取值 正是y=g(xk),而P(=w)与P(X=xk)是相同的 解:已知随机变量X的概率分布,求随机变量函数Y的概率分布.按所给公式 y=2x+l,FA P(Y=yx)=P(Y=g xR))=P(Y=2xx+1)=Pk 因为 pA 当x=0,2,5时,y=2x+1=1,5,11,于是得到Y的概率分布为 (已知函数为=g(x)2x+1,故Y的取值就是X的取值的两倍加1, 即Y=1,5,11.概率值与X的取值概率一样.) y|1 P(ryR) 四、课堂练习 315

经济数学基础 10 章 随机变量与数字特征 ——315—— F(x)=           − −  x b a x b b a x a x a 1 0 ，F(x)的图形如下： 所有连续型随机变量的分布函数都是一个连续曲线． 例 3：已知随机变量 X 的概率分布 X 0 2 5 pk 4 1 2 1 4 1 求 Y＝2X＋1 的概率分布． 分析：按照随机变量函数的定义，已知 X 的概率分布 P(X=xk)=pk．那么 Y 的取值 正是 yk=g(xk)，而 P(Y=yk)与 P(X=xk)是相同的． 解：已知随机变量 X 的概率分布，求随机变量函数 Y 的概率分布.按所给公式， y=2x+1，于是 P(Y=yk)=P(Y=g(xk))＝P(Y=2xk+1)=pk 因为 X 0 2 5 pk 4 1 2 1 4 1 当 x=0,2,5 时，y＝2x+1=1,5,11，于是得到 Y 的概率分布为 (已知函数为 y=g(x)=2x+1，故 Y 的取值就是 X 的取值的两倍加 1， 即 Y＝1，5，11．概率值与 X 的取值概率一样.) Y 1 5 11 P(Y=yk) 4 1 2 1 4 1 四、课堂练习

经济数学基础 10章随机变量与数字特征 练习1袋中装有分别写上1,2,3,4,5的球.从中一次任取3球,所取3球 中最大数字是一随机变量,求该随机变量的分布函数 求分布函数,首先求出X的概率分布.为此先确定X的可能取值,再用分布函 数定义求分布函数.一次取3个球,所以球上数字不重复,X为3球中最大数字,故 X最小是3.X表示所取3球中最大数字,X最小取3,还可以取4,5.故X可能取 值为3,4,5 练习2设X是连续型随机变量,其密度函数为f(x)=42 2x.0: 求随机变量X的分布函数 求分布函数就是按分布函数的定义,求事件{Xx}的概率,即事件{-∞<Kx}的 概率.对于连续型随机变量,它的分布函数是密度函数的一个变上限的定积分,所 以求分布函数主要是计算定积分的问题.但是不少的密度函数是分段函数,要注意 密度函数的变化此时,密度函数fx)=0,故F(x)=Q 五、课后作业 1.设随机变量X的概率分布为 求随机变量X的分布函数 cOS xX 2.设随机变量X的密度函数为/x)=0其他 求随机变量X的分布函数 3.设随机变量X的分布函数为 316

经济数学基础 10 章 随机变量与数字特征 ——316—— 练习 1 袋中装有分别写上 1，2，3，4，5 的球．从中一次任取 3 球，所取 3 球 中最大数字是一随机变量，求该随机变量的分布函数． 求分布函数，首先求出 X 的概率分布．为此先确定 X 的可能取值，再用分布函 数定义求分布函数．一次取 3 个球，所以球上数字不重复，X 为 3 球中最大数字，故 X 最小是 3．X 表示所取 3 球中最大数字，X 最小取 3，还可以取 4，5．故 X 可能取 值为 3，4，5． 练习 2 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 f(x)=      0, 其它 2x, 0 x 1 求随机变量 X 的分布函数． 求分布函数就是按分布函数的定义，求事件{Xx}的概率，即事件{－<Xx}的 概率．对于连续型随机变量，它的分布函数是密度函数的一个变上限的定积分，所 以求分布函数主要是计算定积分的问题．但是不少的密度函数是分段函数，要注意 密度函数的变化．此时，密度函数 f(x)=0，故 F(x)=0 五、课后作业 1.设随机变量 X 的概率分布为 X －1 0 1 Pk 6 1 3 1 2 1 求随机变量 X 的分布函数． 2.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)=      −   0 其他 2 2 cos 2 1   x x 求随机变量 X 的分布函数． 3.设随机变量 X 的分布函数为

经济数学基础 10章随机变量与数字特征 x<-a A+ Arcsin A a≤X≤a F(x)= 求:(1)系数A,B:(2Xx取值在(=22)内的概率(3)x的密度函数 4.已知随机变量X的概率分布为 31-4 求:(1)F=1-X;(2z=(x-1)2的概率分布 (x)=6 l≤x<0 F(x)=5(sin x+1)-Isx<? 0≤x<1 1x≥1 2. <a X 3.(1)A=2;B=n.(2)3;(3) 其它 4.(1) 12 2) D 12

经济数学基础 10 章 随机变量与数字特征 ——317—— F(x)=         + −    − x a a x a a x A B x a 1 arcsin 0 求：(1)系数 A，B；(2)X 取值在( 2 , 2 a a − )内的概率；(3)X 的密度函数． 4. 已知随机变量 X 的概率分布为 X 1 0 1 2 3 4 pk 12 1 6 1 3 1 12 1 4 1 12 1 求：(1)Y=1－X；(2)Z=(X－1)2 的概率分布． 1.             −    − = 1 1 0 1 2 1 1 0 6 1 0 1 ( ) x x x x F x ;2.           + −    − = 2 1 2 2 (sin 1) 2 1 2 0 ( )     x x x x F x 3.(1)A= 2 1 ;B=  1 .(2) 3 1 ;(3)       = − 0 其它 1 1 ( ) 2 2 x a f x  a x 4.（1） Y 2 1 0 －1 －2 －3 pY 12 1 6 1 3 1 12 1 4 1 12 1 （2） Z 0 1 4 9 pZ 3 1 4 1 3 1 12 1