《经济数学基础》课程教学资源：第十章 随机变量与数字特征——典型例题与综合练习

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 第10章随机变量与数字特征典型例题与综合练习 、典型例题 1随机变量 例1指出以下各变量是不是随机变量,是离散型的随机变量还是连续型的随机 变量? (1)某人一次打靶命中的环数 (2)某厂生产的40瓦日光灯管的使用时数 (3)鲁棉1号品种棉花的纤维长度 (4)某纺纱车间里纱锭的纱线被扯断的根数 (5)某单位一天的用电量 解(1)设该人打靶命中的环数为X,若是10环靶,习惯上标为6环以下,7环、 8环、9环和10环.由于受到打靶现场和当时的各种随机因素的影响,射击一次, 命中哪个环是难以确定的.但是,大量次数的射击可以告诉人们,该人射击的命中 规律,即概率.可见,一次射击命中的环数X是随机变量.因为X只能取值6以下, 7,8,9,10,故Y是离散型随机变量 (2)设该厂生产的40瓦日光灯管的使用时数为Y小时),如果随意取出1只进行 试验,这只灯管能使用多长时间是难以确定的.若设计指标是1500小时且生产条件 比较稳定,大量统计可得到,寿命在1400~1600小时的灯管占绝大部分,在1400 小时以下或1600小时以上的很少.也就是说灯管的寿命是有规律的所以寿命y是 随机变量.因为γ的取值时间是连绵不断的,故γ是连续型随机变量 (3)设鲁棉1号品种的棉花纤维长度为Y,任取一根棉花的纤维,它的长度事先 难以确定,但大量测试棉花纤维的长度会得到其长度具有一定规律性,这就是概

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——344—— 第 10 章随机变量与数字特征典型例题与综合练习 一、典型例题 1.随机变量 例 1 指出以下各变量是不是随机变量，是离散型的随机变量还是连续型的随机 变量？ (1)某人一次打靶命中的环数； (2)某厂生产的 40 瓦日光灯管的使用时数； (3)鲁棉 1 号品种棉花的纤维长度； (4)某纺纱车间里纱锭的纱线被扯断的根数； (5)某单位一天的用电量． 解(1)设该人打靶命中的环数为 X，若是 10 环靶，习惯上标为 6 环以下，7 环、 8 环、9 环和 10 环．由于受到打靶现场和当时的各种随机因素的影响，射击一次， 命中哪个环是难以确定的．但是，大量次数的射击可以告诉人们，该人射击的命中 规律，即概率．可见，一次射击命中的环数 X 是随机变量．因为 X 只能取值 6 以下， 7，8，9，10，故 Y 是离散型随机变量． (2)设该厂生产的 40 瓦日光灯管的使用时数为 Y(小时)，如果随意取出 1 只进行 试验，这只灯管能使用多长时间是难以确定的．若设计指标是 1500 小时且生产条件 比较稳定，大量统计可得到，寿命在 1400～1600 小时的灯管占绝大部分，在 1400 小时以下或 1600 小时以上的很少．也就是说灯管的寿命是有规律的,所以寿命 Y 是 随机变量．因为 Y 的取值时间是连绵不断的，故 Y 是连续型随机变量． (3)设鲁棉 1 号品种的棉花纤维长度为 Y，任取一根棉花的纤维，它的长度事先 难以确定，但大量测试棉花纤维的长度会得到其长度具有一定规律性，这就是概

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 率.所以γ是随机变量.因为长度值是连绵不断的,故Y是连续型随机变量 (4)设该纺纱车间里纱锭的纱线被扯断的根数为X,则X是随机变量,且是离散 型随机变量 (5)设该单位一天的用电量为Z,则Z是随机变量,且是连续型随机变量. 我们将取值带有随机性,但取值的概率大小是确定的这种变量,称作随机变 量.当随机变量的取值是有限个或可列个时,则它是离散型随机变量.随机变量的 取值是某个区间或区域,其值是连绵不断的时,它是连续型随机变量. 由于各种因素的影响,到底X取值为几难以确定,由经验或大量统计结果可以 知道在某段时间内纱线被扯断的根数是有规律的.所以x是随机变量 因为纱线被扯断的根数是一根一根的,就是说X的值是可以数出来的,若是考 察一段时间内的纱线被扯断的根数,则X取值是有限的,若一直考察下去,则X取 值是可列个 该单位一天的用电量为Z的具体值难以确定,由经验可知,Z的取值规律情况.所 以z是随机变量.因为用电量是连绵不断,故Z是连续型随机变量 2.离散型随机变量 例1.设随机变量Y的概率分布为P(F=m)=4(2+m)1m=0,1,2,3. (1)试确定系数A; (2)用表格形式写出Y的分布列 (3)求P(<2),P(≥1),P(=1<Y≤3) 解:(1)由分布列的性质,有 ∑ =A(2+0)-+A(2+1)-+A(2+2)-+A(2+3)-1 7 )=-A=1 345

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——345—— 率．所以 Y 是随机变量．因为长度值是连绵不断的，故 Y 是连续型随机变量． (4)设该纺纱车间里纱锭的纱线被扯断的根数为 X，则 X 是随机变量，且是离散 型随机变量． (5)设该单位一天的用电量为 Z，则 Z 是随机变量，且是连续型随机变量． 我们将取值带有随机性，但取值的概率大小是确定的这种变量，称作随机变 量．当随机变量的取值是有限个或可列个时，则它是离散型随机变量．随机变量的 取值是某个区间或区域，其值是连绵不断的时，它是连续型随机变量． 由于各种因素的影响，到底 X 取值为几难以确定，由经验或大量统计结果可以 知道在某段时间内纱线被扯断的根数是有规律的．所以 X 是随机变量． 因为纱线被扯断的根数是一根一根的，就是说 X 的值是可以数出来的，若是考 察一段时间内的纱线被扯断的根数，则 X 取值是有限的，若一直考察下去，则 X 取 值是可列个． 该单位一天的用电量为Z的具体值难以确定，由经验可知，Z的取值规律情况．所 以 Z 是随机变量．因为用电量是连绵不断，故 Z 是连续型随机变量． 2.离散型随机变量 例 1.设随机变量 Y 的概率分布为 P(Y=m)=A(2+m) －1 ,m=0，1，2，3． (1)试确定系数 A； (2)用表格形式写出 Y 的分布列； (3)求 P(Y<2)，P(Y1)，P(＝1<Y3). 解:(1)由分布列的性质，有 = = 3 0 ( ) m P Y m =A(2+0)－1 +A(2+1)－1 +A(2+2)－1 +A(2+3)－1 =A 1 60 77 ) 5 1 4 1 3 1 2 1 ( + + + = A =

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 于是得A= (2)的分布列为 0 (3)因为{Y<2},故m可取0,1,所以 P(<2P(=0)+P(Y=1)=777777≈0.649 因为{}≥l},m可取1,2,3,所以P(Y21)=77777777 或P(F≥l)=1-P(y=0=1-777 因为{-1<Y≤3}包含了m的所有可能取值, 所以P(-1<Y≤3)=P(Y=0)+P(Y=)+P(=2)+P(=3) 77777777: 确定离散型随机变量概率分布中的系数用概率分布的性质,所有可能取值概率 ∑P(X=x)=1 的和为1,即 分布列即随机变量取值的概率表,只需计算出所有概率值,列成表 求离散型随机变量的概率,主要是弄清所给定的事件包括随机变量Y的哪些可 能值.将这些取值的概率相加即得 用随机变量的概率分布性质分十 -346

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——346—— 于是得 A＝ 77 60 (2)Y 的分布列为 Y 0 1 2 3 P 77 30 77 20 77 15 77 12 (3)因为{Y<2}，故 m 可取 0，1，所以 P(Y<2)=P(Y=0)+P(Y=1)= 30 77 20 77 50 77 + = 0.649 因为{Y1}，m 可取 1，2，3，所以 P(Y1)＝ 20 77 15 77 12 77 47 77 + + = 或 P(Y1)=1－P(Y=0)=1－ 30 77 47 77 = 因为{－1<Y3}包含了 m 的所有可能取值， 所以 P(－1<Y3)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3) = 30 77 20 77 15 77 12 77 + + + =1 确定离散型随机变量概率分布中的系数用概率分布的性质，所有可能取值概率 的和为 1，即  = = k k P(X x ) 1 ． 分布列即随机变量取值的概率表，只需计算出所有概率值，列成表. 求离散型随机变量的概率，主要是弄清所给定的事件包括随机变量 Y 的哪些可 能值．将这些取值的概率相加即得． 用随机变量的概率分布性质  = = k k P(X x ) 1

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 因为A=77,而P(Y=m)=4(2+m)-1 0130 当m=0时,P(=0=60 77277 当m=1时,(2+1=60.1 60115 当m=2时,P(Y=2)=60 77477 当m=3时,P(y=3)=60 1(2+3)=75-7于是,得到Y的分布列 因为Y只能取值0,1,2,3,所以Y<2,只有Y=0或Y=1,于是有 302050 P(Y<2)=P(Y=0+P(=1)=777777 因为Y只能取值0,1,2,3,所以F1,即Y=1或Y=2或Y=3,于是有 P(≥l)=P(=1)+P(Y=2)+P(Y=3)=777777 3047 或者用对立事件概率公式{21={=0,故P(F≥1)=1-P=0;=1-7777 因为F的所有可能取值为0,1,2,3,均在-1,3(包括3)内,可见{-1<K≤3}是必 然事件 3.连续型随机变量 例1设连续型随机变量X的概率密度函数为

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——347—— 因为 A＝ 77 60 ，而 P(Y=m)=A(2 + m) －1 , 当 m=0 时，P(Y=0)= 77 30 2 1 77 60 (2 0) 60 77 1 + =  = − 当 m=1 时，P(Y=1)= 77 20 3 1 77 60 (2 1) 60 77 1 + =  = − 当 m=2 时，P(Y=2)＝ 77 15 4 1 77 60 (2 2) 60 77 1 + =  = − 当 m=3 时，P(Y=3) = 77 12 5 1 77 60 (2 3) 60 77 1 + =  = − 于是，得到 Y 的分布列． 因为 Y 只能取值 0，1，2，3，所以 Y<2，只有 Y＝0 或 Y＝1，于是有 P(Y<2)=P(Y=0)+P(Y=1)= 77 50 77 20 77 30 + = 因为 Y 只能取值 0，1，2，3，所以 Y1，即 Y＝1 或 Y＝2 或 Y＝3，于是有 P(Y1)=P(Y=1)+P(Y=2)＋P(Y＝3)= 77 47 77 12 77 15 77 20 + + = 或者用对立事件概率公式{Y1}= {Y = 0} ，故 P(Y1)=1－P(Y=0}=1－ 77 47 77 30 = 因为 Y 的所有可能取值为 0，1，2，3，均在－1,3(包括 3)内，可见{－1<Y3}是必 然事件． 3.连续型随机变量 例 1 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 kx21≤x≤2 f(x)={kx21.5)=f(x)d 6x326x2|3 293s2921 291≈0.386 p(2/)+=1 -348

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——348——          = 0 2 3 1 2 ( ) 2 其它 kx x kx x f x (1)试确定系数 k；(2)求 P(X>1.5),P(X<5),P(0X2)． 解：(1)显然，k0，由密度函数的性质， 因为    + − = = + 3 2 2 1 2 1 f (x)dx kx dx kxdx ＝ 6 29 ) 2 3 1 2 2 3 ( 3 2 k x x k + = 所以 k= 6 29 那么，X 的概率密度函数为              = 0 2 3 29 6 1 2 29 6 ( ) 2 其它 x x x x f x (2)  +  = 1.5 P(X 1.5) f (x)dx =   + 3 2 2 1.5 2 d 29 6 d 29 6 x x x x = 2 3 29 2 6 1.5 2 29 3 6 3 2 x x + 0.386 116 97 29 3 5 29 8 2 37 =   +   = P(X<5)= − 5 f (x)dx = d 1 29 6 d 29 6 3 2 2 1 2 + =   x x x x

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 f(x)dx=(26 x P(0≤X≤2 202dxo3l290.483 求连续型随机变量概率密度中的常数,主要用密度的性质, f(x)da 需提醒学生:密度函数不少是分段函数,必须要分清楚,在哪些区间密度函数 不为0,哪些区间密度函数为0 求连续型随杋变量的概率,根据连续型随机变量的定义式,其实质是一个定积 分的计算问题 因为概率密度函数非负,故有k≥0 由概率密度函数性质!。f(xN=1.又密度函数/x)只在区间[.3内非0,且 x∈[12]时,(x)=kx2x∈(2,3)时,fx)=kx,所 以有1=/()=6+k ,求得k值 因为事件{X>1.5}={1.515=P(15<X<+2)=,f(xk 由于在区间(1.5,+∞)上,函数fx)只在区间(1.5,3)上非0,且x∈[1,2]时, 6 fx)=29x2;x∈(2,3)时,(x)=29x,故有所列积分 因为密度函数fx)只在1与3之间取值非0,事件{-∝<X<5}是必然事件.也 可直接写出P(X<5)=1 事件{0≤X≤2}={0<X<1}+{1X≤2},0<K<1}与{1≤X≤2}互斥,于是有 6 P(0≤X≤2)P(0<k<1)P(1≤k2)0+ 4.正态分布 349

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——349—— P(0X2)= f (x)dx x dx 0 2 2 1 2 6 29   = = 29 14 1 2 29 3 6 3 = x 0.483 求连续型随机变量概率密度中的常数，主要用密度的性质，  + − f (x)dx＝1 需提醒学生：密度函数不少是分段函数，必须要分清楚，在哪些区间密度函数 不为 0，哪些区间密度函数为 0． 求连续型随机变量的概率，根据连续型随机变量的定义式，其实质是一个定积 分的计算问题． 因为概率密度函数非负，故有 k0. 由概率密度函数性质  + − f (x)dx＝1．又密度函数 f(x)只在区间[1,3)内非 0，且 x[1,2]时，f(x)＝kx2 ,x(2,3)时，f(x)=kx，所 以有    + − = = + 3 2 2 1 2 1 f (x)dx kx dx kxdx ,求得 k 值． 因为事件{X>1.5}＝{1.5<X<+}，根据连续型随机变量的定义式，  +  =   + = 1.5 P(X 1.5) P(1.5 X ) f (x)dx 由于在区间(1.5,+)上，函数 f(x)只在区间(1.5,3)上非 0，且 x[1,2]时, f(x)＝ 29 6 x 2；x(2,3)时，f(x)= 29 6 x，故有所列积分． 因为密度函数 f(x)只在 1 与 3 之间取值非 0，事件{－<X<5}是必然事件．也 可直接写出 P(X<5)=1． 事件{0X2}={0<X<1}+{1X2},{0<X<1}与{1X2}互斥，于是有 P(0X2)=P(0<X<1)+P(1X2)=0+ f (x)dx x dx 0 2 2 1 2 6 29   = 4.正态分布

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 例1设X~N(0,1),查标准正态分布数值表,求 (1)P(x=1.23);(2P(X-)=P(x≌)=1-q(-) P(1<X<)=((2)-q(-1) P(x--)=1-q(-) P(x1<)=P(-=<x<)=2()-1 利用这些公式,便可以求本例题中的各标准正态分布的概率问题 连续型随机变量,在一点处的概率为0.即如果ⅹ是连续型随机变量,那么无论 是什么分布,任给一点x,都有P(X=x)=0 350—

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——350—— 例 1 设 X～N(0，1)，查标准正态分布数值表，求 (1)P(X=1.23)；(2)P(Xz)=P(Xz)=1－(z) ② P(z1<X<z2)=(z2)－(z1) ③ P(X<－z)=1－(z) ④ P(X<z)=P(－z<X<z)=2(z)－1 ⑤ 利用这些公式，便可以求本例题中的各标准正态分布的概率问题． 连续型随机变量，在一点处的概率为 0．即如果 X 是连续型随机变量，那么无论 X 是什么分布，任给一点 x，都有 P(X=x)=0．

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 事件{X0,即一==-009 P(K<-z)=1-P(X<)=1-(),将=0.09代入,即得 事件(2.15≤￥≤5.12}={-∞<X5.12)-{-∞<K2.15),所以P(2.15≤K5.12)=P(-∞<K5.12) P(-∞<k≤2.15) 因为X是标准正态分布,用分析公式③,有P(215≤K5.12)=(512)-q2.15)查表即得 因为|x|<k,即一k<X<k,于是P(x|<=P(-k<k<k), 因为X标准正态分布,有[分析公式⑤,得P(x|<A)=P-k<X<k)=2aA)-1 已知P(x|<k)=P(-k<<k)=2dk)-1=065,解得k)=0825 例2(正态分布)设X~N(70,102), (1)求P(K(62);(2)求P(栓72);(3)求a,使P(a≤K<90)=0.7055 X-X-70 解:因为=70,a=10.所以Z=0=10~N0,1) X-7062-70 (1)P(K<62)=P(1010)=P(Z-0.8) 1-q08)1-0.7881=0.2l19 X-7072-70 (2)P(X72)=1-P(X<72)=1-P(1010) =1-P(z<0.2)=1-中0.2)=1-0.5793=0.4207

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——351—— 事件{X0，即－z=－0.09. P(X<－z)=1－P(X<z)＝1－(z)，将 z=0.09 代入，即得． 事件{2.15X5.12}={－<X5.12)－{－<X2.15)，所以 P(2.15X5.12)=P(－<X5.12) －P(－<X2.15), 因为 X 是标准正态分布，用[分析]公式③，有 P(2.15X5.12)=(5.12)－(2.15)查表即得． 因为X<k，即－k<X<k, 于是 P(X<k)=P(－k<X<k)， 因为 X 标准正态分布，有[分析]公式⑤，得 P(X<k)=P(－k<X<k)=2(k)－1 已知 P(X<k)=P(－k<X<k)=2(k)－1＝0.65，解得(k)＝0.825. 例 2 (正态分布) 设 X～N(70，102 )， (1)求 P(X<62)； (2) 求 P(X72)；(3)求 a，使 P(aX<90)=0.705 5． 解：因为=70，=10．所以 Z＝ X −   = X −70 10 N(0,1)． (1)P(X<62)=P( 10 62 70 10 70 −  X − )=P(Z<－0.8) =1－(0.8)=1－0.788 1=0.211 9 (2)P(X72)=1－P(X<72)=1－P( X −  70 − 10 72 70 10 ) =1－P(Z<0.2)=1－(0.2)=1－0.579 3=0.420 7

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 a-70X-7090-70 (3)P(a≤X)=P(X≌-)=1-(-) P(21<X<2)=(2)-(1) P(X<--)=1-a(-) ④ P(x<)=P(-x<k<)=2()-1⑤ 利用这些公式,便可以求本例题中的各标准正态分布的概率问题 352

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——352—— (3)P(aXz)=P(Xz)=1－(z) ② P(z1<X<z2)=(z2)－(z1) ③ P(X<－z)=1－(z) ④ P(X<z)=P(－z<X<z)=2(z)－1 ⑤ 利用这些公式，便可以求本例题中的各标准正态分布的概率问题．

经济数学基础第10章随机变量与数字特征 因为x~N(70,102),不是标准正态分布,首先做标准正态化 X-7062-70 事件{X0 5.分布函数与函数分布

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——353—— 因为 X～N(70，102 )，不是标准正态分布，首先做标准正态化. 事件{X0． 5.分布函数与函数分布