《经济数学基础》课程教学资源：第十章 随机变量与数字特征（10.1）随机变量概念

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 第一单元随机变量概念 学习目标 通过本节课的学习,知道如何用实数描述随机事件,进而掌握随机变量概念 二、内容讲解 随机事件 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(Al P(AB)=P(A)P(B\A) 对于一般的随机事件,可以用一个字母表示。这样概括它不太方便,对它的的 研究也受到限制,所以我们就用另一种方法来描述随机事件,用变量表示 随机变量的定义 这几个例子,都有共同特点,变量取值具有不确定性,但都具有一定的概率规 律.归纳为定义 这种取值具有概率规律的变量称为随机变量.常用X,Y,Z等大写拉丁字母 表示 取值可以逐个列出的,就叫做离散型随机变量,如例2,例3:取值是某个范 围的实数,取值能联成一片的随机变量,就叫做连续型随机变量. 问题思考:随机变量是微积分中的变量吗? 不是.随机变量与微积分中的变量不同.随机变量随试验结果而变,即它的定 义域是试验的所有可能结果,随机变量的取值事先不能确定,具有概率确定性;微 积分中的变量的定义域是实数域,它的取值是确定性的. 三、例题讲解 例1:考察乘客在地铁站等侯乘车的现象 291

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——291—— 第一单元 随机变量概念 一、学习目标 通过本节课的学习，知道如何用实数描述随机事件，进而掌握随机变量概念． 二、内容讲解 随机事件 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(AB)=P(A)P(B\A) 对于一般的随机事件，可以用一个字母表示。这样概括它不太方便，对它的的 研究也受到限制，所以我们就用另一种方法来描述随机事件，用变量表示. 随机变量的定义 这几个例子，都有共同特点，变量取值具有不确定性，但都具有一定的概率规 律. 归纳为定义. 这种取值具有概率规律的变量称为随机变量．常用 X，Y，Z 等大写拉丁字母 表示． 取值可以逐个列出的，就叫做离散型随机变量，如例 2，例 3；取值是某个范 围的实数，取值能联成一片的随机变量，就叫做连续型随机变量． 问题思考：随机变量是微积分中的变量吗？ 不是．随机变量与微积分中的变量不同．随机变量随试验结果而变，即它的定 义域是试验的所有可能结果，随机变量的取值事先不能确定，具有概率确定性；微 积分中的变量的定义域是实数域，它的取值是确定性的． 三、例题讲解 例 1： 考察乘客在地铁站等侯乘车的现象

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 设X(分钟)为乘客等车的时间,X取值范围是[0,30] 等车时间不超过5分钟,可记为:{0K5},{9≤K14}或{3.14<K8.14} 等车时间不超过x分钟,记为:{K<x}(0≤x≤30) X的取值具有随机性,但能乘上车的概率与等车时间间隔的长度成正比 例2:抛一枚均匀硬币试验,令 出现正面朝上 y=0出现反面朝上 Y的取值具有随机性,但在抛硬币试验中,我们知道,Y取1的概率是 取0的概率也是 例3:做投掷一颗匀称的骰子的试验用Z表示骰子出现的点数,则Z的可能取 值是1,2,6,Z取这6个数之一,且只能取其一,还知道取每个数的概率都是 1 四、课堂练习 练习1.请看下面的例子:分析X,Y,Z,W等的取值情况,以及它们的特点 (1)用X表示随机抽验的n件产品中不合格品的数,n个小学生中患近视眼症 的人数,n个企业中亏损企业的个数,定点投篮n次命中的次数,等等 (2)用Y表示某工厂发生事故的次数,新华商场某日售出的电视机台数,一小 时内通过某交通路口的汽车辆数,一小时内在黄花机场降落的飞机架次,等等 (3)用Z表示自动机床连续无故障工作的时间,电视机显象管的寿命,某居民 小区居民的平均用水量,等等. (4)用W表示随机测量产生的误差 在每一问中,有着含义不同的问题,但在每一问中的量X或Y或Z,或W却 有共同点.X可能取无穷个数之一,若干个数之一,一个定数? 92

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——292—— 设 X（分钟）为乘客等车的时间，X 取值范围是[0,30]． 等车时间不超过 5 分钟，可记为：{0X<5},{9X<14}或{3.14X<8.14} 等车时间不超过 x 分钟，记为：{X<x} （0x30） X 的取值具有随机性，但能乘上车的概率与等车时间间隔的长度成正比． 例 2：抛一枚均匀硬币试验，令 Y=    出现反面朝上 出现正面朝上 0 1 Y 的取值具有随机性，但在抛硬币试验中，我们知道，Y 取 1 的概率是 2 1 ，Y 取 0 的概率也是 2 1 . 例 3：做投掷一颗匀称的骰子的试验用 Z 表示骰子出现的点数，则 Z 的可能取 值是 1,2,…,6，Z 取这 6 个数之一，且只能取其一，还知道取每个数的概率都是 6 1 . 四、课堂练习 练习 1.请看下面的例子：分析 X，Y，Z，W 等的取值情况，以及它们的特点． (1)用 X 表示随机抽验的 n 件产品中不合格品的数，n 个小学生中患近视眼症 的人数，n 个企业中亏损企业的个数，定点投篮 n 次命中的次数，等等． (2)用 Y 表示某工厂发生事故的次数，新华商场某日售出的电视机台数，一小 时内通过某交通路口的汽车辆数,一小时内在黄花机场降落的飞机架次,等等． (3)用 Z 表示自动机床连续无故障工作的时间，电视机显象管的寿命，某居民 小区居民的平均用水量，等等． (4)用 W 表示随机测量产生的误差． 在每一问中，有着含义不同的问题，但在每一问中的量 X 或 Y 或 Z，或 W 却 有共同点．X 可能取无穷个数之一，若干个数之一，一个定数？

经济数学基础 第10章随机变量与数字特征 在这几个问题中,X有可能是0~n中的任何一个数,故X取值0,1,2,…, n,即X可以取n+1个数.X取哪个值事先不能确定 练习2.从有2个一级品,3个二级品的产品中随机取出3个产品,如果用 表示取出的产品中是一级品的数求X的取值,并求相应的概率 本题所讨论的仍然是随机事件的概率问题,我们将它表示为数量.这个数量取 值是确定的,0,1,2.但是事先不能确定取到哪个值,然而它的取值具有概率规 律,所以此处的x是随机变量 明确X的含意,只有2个一级品.从5个产品中任取3个为一组,X代表所取3 个产品中的一级品个数,由于总共有2个一级品,3个二级品,因此ⅹ有可能取值 为0(3个全是二级品),1,2,不可能取3.只要取的方式是随机的,X到底取到0 还是1,还是2是事先无法确定的 五、课后作业 1.定点投篮1次,投中的概率是0.4,试用随机变量描述这一试验. 2.一次试验中,若某事件A必然出现,试用随机变量描述该现象,并指出 此随机变量可能取多少个值? 1.引入随机变量X,当投篮命中时,令X=1;当不中时,令X=0, 即P(X=1)=0.4,P(X=0)=0.6 2.A出现,令X=1,有P(X=1)=1. 293

经济数学基础 第 10 章 随机变量与数字特征 ——293—— 在这几个问题中，X 有可能是 0～n 中的任何一个数，故 X 取值 0，1，2，…， n，即 X 可以取 n+1 个数．X 取哪个值事先不能确定． 练习 2.从有 2 个一级品，3 个二级品的产品中随机取出 3 个产品，如果用 X 表示取出的产品中是一级品的数.求 X 的取值，并求相应的概率． 本题所讨论的仍然是随机事件的概率问题，我们将它表示为数量．这个数量取 值是确定的，0，1，2．但是事先不能确定取到哪个值，然而它的取值具有概率规 律，所以此处的 X 是随机变量． 明确 X 的含意，只有 2 个一级品.从 5 个产品中任取 3 个为一组，X 代表所取 3 个产品中的一级品个数，由于总共有 2 个一级品，3 个二级品，因此 X 有可能取值 为 0(3 个全是二级品)，1，2，不可能取 3．只要取的方式是随机的，X 到底取到 0， 还是 1，还是 2 是事先无法确定的． 五、课后作业 1. 定点投篮 1 次，投中的概率是 0.4，试用随机变量描述这一试验． 2. 一次试验中，若某事件 A 必然出现，试用随机变量描述该现象，并指出 此随机变量可能取多少个值？ 1. 引入随机变量 X，当投篮命中时，令 X＝1；当不中时，令 X＝0， 即 P(X=1)=0.4，P(X=0)=0.6 2. A 出现，令 X＝1，有 P(X=1)=1．