教案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics 内容提要 本课程内容为随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随 机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假 设检验、方差分析和回归分析等。 、教材及参考书: 1.丁正生,刘叶玲,廖登洪等.概率论与数理统计应用.西安:西北工业大学出版 社,2003 2.华东师范大学数学系编概率论与数理统计教程.北京:高等教育出社,1983 3.复旦大学数学系.概率论.北京:人民教育出版社,1979 4.刘景泰等.概率论与数理统计.上海:上海科学技术文献出版社,1991 5.朱燕堂,赵选民,徐伟.应用概率统计方法.西安:西北工业大学出版社,1997 6.盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计.第3版.北京:高等教育出社,2001 7.褚维盘等.概率论与数理统计指导与提高.西安:西北工业大学出版社,2001 8. Murray Spiegel, John J. Schiller, Alu Srinivasan Schaum s Outline of Probability and Statistics (2 edition ). McGraw-Hill Trade. 2000 9. Charles j. Stone. A Course in Probability and Statistics.北京:机 械工业出版社,2004 三、课程教育目标 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科,是髙等学校工科本科 各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学,应使学生掌握概率论与数理统 计的基本概念,了解它的基本理论和方法,从而使学生初步掌握处理随机事件的基本 思想和方法,培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力
教 案 概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics) 一、 内容提要： 本课程内容为随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随 机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假 设检验、方差分析和回归分析等。 二、教材及参考书： 1. 丁正生，刘叶玲，廖登洪等.概率论与数理统计应用.西安:西北工业大学出版 社,2003 2. 华东师范大学数学系编.概率论与数理统计教程.北京:高等教育出社,1983 3. 复旦大学数学系．概率论.北京：人民教育出版社，1979 4. 刘景泰等．概率论与数理统计．上海：上海科学技术文献出版社，1991 5. 朱燕堂，赵选民，徐伟.应用概率统计方法.西安：西北工业大学出版社，1997 6. 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计.第 3 版.北京:高等教育出社,2001 7. 禇维盘等.概率论与数理统计指导与提高. 西安：西北工业大学出版社，2001 8. Murray Spiegel, John J. Schiller, Alu Srinivasan.Schaum's Outline of Probability and Statistics （2 edition）. McGraw-Hill Trade. 2000 9. Charles J. Stone. A Course in Probability and Statistics. 北京：机 械工业出版社，2004 三、课程教育目标： 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校工科本科 各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统 计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本 思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力
第一章随机事件及其概率 本章主要讲述随机试验,样本空间,随机事件,事件间的关系与运算,频率,概率的统 内容计定义,概率的性质,古典概型,几何概型,条件概率,乘法公式,全概率公式,贝 叶斯公式,事件的独立性,贝努里概型等内容 提要 理解随机事件的概念,掌握事件之间的关系与运算。 2.理解事件频率的概念,了解概率的统计定义。 3.理解概率的古典定义,会计算简单的古典概率。 重点 4.了解概率的基本性质及概率加法定理。 分析 了解条件概率的概念、概率的乘法定理。 6.理解事件的独立性概念,掌握伯努利概型和二项概率的计算 古典概型的计算,乘法公式,全概率公式及贝叶斯公式的应用 分析 习题1(2,3,4,68,11,12,14,16,18,20) 布置 备注
1 第一章 随机事件及其概率 内容 提要 本章主要讲述随机试验，样本空间，随机事件，事件间的关系与运算，频率，概率的统 计定义，概率的性质，古典概型，几何概型，条件概率，乘法公式，全概率公式， 贝 叶斯公式，事件的独立性，贝努里概型等内容。 重点 分析 1． 理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。 2． 理解事件频率的概念，了解概率的统计定义。 3． 理解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。 4． 了解概率的基本性质及概率加法定理。 5． 了解条件概率的概念、概率的乘法定理。 6． 理解事件的独立性概念，掌握伯努利概型和二项概率的计算。 难点 分析 古典概型的计算，乘法公式，全概率公式及贝叶斯公式的应用 习题 布置 习题 1 (2,3,4,6,8 ,11 ,12,14,16,18 ,20) 备注
教学内容( Contents) Chapter One随机事件及其概率( Random events and pro babilit) 课程简介( Introduction) 首先介绍概率论与数理统计学科研究的主要内容及与其他数学学科的联系.第 章是概率论的内容,第五、六、七、八、九、十章是数理统计部分. 概率论的诞生及应用( Naissance and application of probability theory) 1.概率论的诞生 1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢c局便算赢家,若在一赌 徒胜a局(a<C),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕 斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念-.数学期望 2.概率论的应用 概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律.一方面,它有自己独特的概念和方法,另 方面,它与其他数学分支又有紧密的联系,它是现代数学的重要组成部分.概率论的广泛应用几乎 遍及所有的科学技术领域,例如天气预报,地震预报,产品的抽样调查;工农业生产和国民经济的 各个部门,在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性分辨率等等 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科. 二、随机现象( Random phenomenon) 自然界和社会上所观察到的现象:确定性现象随机现象 确定性现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.实例 确定性现象的特征条件完全决定结果 随机现象在一定的条件下,可能岀现这样的结果,也可能出现那样的结果,而在试验或观察之前 不能预知确切的结果.实例 随机现象的特征条件不能完全决定结果 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具 有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?随机现象是通过随机试验来研究的 Problem:什么是随机试验? §1.1随机事件( Random events) 、随机试验( Random experiment) 我们遇到过各种试验。在这里,我们把试验作为一个含义广泛的术语,它包括各种各样的科学 试验,甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验。下面举一些试验的例子: E,:抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况。 E2:将一枚硬币抛三次,观察出现正面的次数 E3:抛一枚骰子,观察出现的点数。 E4:记录车站售票处一天内售出的车票数。 E5:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命
2 教 学 内 容 ( Contents ) Chapter One 随机事件及其概率(Random Events and Probability) 课 程 简 介 (Introduction) 首先介绍概率论与数理统计学科研究的主要内容及与其他数学学科的联系.第一、二、三、四 章是概率论的内容,第五、六、七、八、九、十章是数理统计部分. 一、概率论的诞生及应用(Naissance and application of probability theory) 1. 概率论的诞生 1654 年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一赌 徒胜 a 局 ( a c ),另一赌徒胜 b 局( b c )时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕 斯卡与费马通信讨论这一问题, 于 1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念-------数学期望 2. 概率论的应用 概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律. 一方面，它有自己独特的概念和方法，另一 方面，它与其他数学分支又有紧密的联系，它是现代数学的重要组成部分.概率论的广泛应用几乎 遍及所有的科学技术领域, 例如天气预报, 地震预报, 产品的抽样调查; 工农业生产和国民经济的 各个部门,在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨率等等. 概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科. 二、随机现象(Random phenomenon) 自然界和社会上所观察到的现象: 确定性现象 随机现象 确定性现象 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象. 实例 确定性现象的特征 条件完全决定结果 随机现象 在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观察之前 不能预知确切的结果. 实例 随机现象的特征 条件不能完全决定结果 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?随机现象是通过随机试验来研究的. Problem: 什么是随机试验? §1.1 随机事件(Random Events) 一、 随机试验(Random experiment) 我们遇到过各种试验。在这里，我们把试验作为一个含义广泛的术语，它包括各种各样的科学 试验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验。下面举一些试验的例子： E1 ：抛一枚硬币，观察正面 H 、反面 T 出现的情况。 E2 ：将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。 E3 ：抛一枚骰子，观察出现的点数。 E4 ：记录车站售票处一天内售出的车票数。 E5 ：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命
E6:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度 这些试验都具有以下的特点: 1、可以在相同的条件下重复地进行 2、每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果; 3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 在概率论中,我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验( Random experiment)。 、样本空间( Sampling space 对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知试验的结果,但试验的一切可能的结果是己知的 我们把随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间( Sampling space),记为S。样本 空间的元素,即E的每个结果,称为样本点Sampling point)。例如,上面的6个随机试验的样本 空间分别为 S2={0,1,2,3} S3={2,3456} S4={2,…,m};这里的n是售票处一天内准备出售的车票数n。 S3={(lt20} S6={(xy)≤x≤y≤T}:这里x表示最低温度,y表示最高温度。并设这一地区的温度 不会小于T0,也不会大于T1 三、随机事件( Random event) 在随机试验中,可能发生也可能不发生的事情就叫随机事件( Random event)。随机事件常用大 写字母A,B,C,…表示,它是样本空间S的子集合。在每次试验中,当且仅当子集A中的一个样本 点出现时,称事件A发生 例如在E3中,如果用A表示事件“掷出奇点数”,那么A是一个随机事件。由于在一次投掷 中,当且仅当掷出的点数是1,3,5中的任何一个时才称事件A发生了,所以我们把事件A表示 为A={135}。同样地,若用B表示事件“掷出偶点数”,那么B也是一个随机事件,B={246} 对于一个试验E,在每次试验中必然发生的事件,称为E的必然事件( Certain event):在每次 试验中都不发生的事件,称为E的不可能事件( mpossible event)。例如在E3中,“掷出的点数不超 过6”就是必然事件,用集合表示这一事件就是E3的样本空间S={2346}而事件“掷出的 点数大于6”是不可能事件,这个事件不包括E3的任何一个可能结果,所以用空集φ表示。对于一 个试验E,它的样本空间S是E的必然事件;空集φ是不可能事件。必然事件与不可能事件虽己 无随机性可言,但在概率论中,常把它们当作两个特殊的随机事件,这样做是为了数学处理上的方 便 四、事件间的关系与运算( Relation and operation of events) 因为事件是一个集合,因而事件间的关系和运算是按集合间的关系和运算来处理的。下面给出 这些关系和运算在概率中的提法。并根据“事件发生”的含义,给出它们在概率中的含义 设试验E的样本空间为S,而A,B,A(k=12…)是S的子集 (1)事件的包含与相等( nclusion and equivalent relation)若事件A发生必然导致事件B发 生,则称事件A包含事件B,记为BA或者AcB。若AcB且BcA,即A=B,则称事 件A与事件B相等 (2)事件的和( Inion of events)事件A与事件B至少有一个发生的事件称为事件A与事件 B的和事件,记为A∪B事件AUB发生意味着:或事件A发生,或事件B发生,或事件A与事
3 E6 ：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。 这些试验都具有以下的特点： 1、 可以在相同的条件下重复地进行； 2、 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； 3、 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验(Random experiment)。 二、 样本空间(Sampling space) 对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的一切可能的结果是已知的， 我们把随机试验 E 的所有可能结果组成的集合称为 E 的样本空间(Sampling space)，记为 S 。样本 空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点(Sampling point)。例如，上面的 6 个随机试验的样本 空间分别为： S H T 1 = , ； 2 S ={0,1,2,3} ； S3 =1,2,3,4,5,6 ； 4 S n = {1,2, , } ；这里的 n 是售票处一天内准备出售的车票数 n 。 S t t 5 = | 0 ； S x y T x y T 6 0 1 = ( , ) | ；这里 x 表示最低温度， y 表示最高温度。并设这一地区的温度 不会小于 T0 ，也不会大于 T1。 三、 随机事件(Random event) 在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情就叫随机事件(Random event)。随机事件常用大 写字母 A, B,C, 表示，它是样本空间 S 的子集合。在每次试验中，当且仅当子集 A 中的一个样本 点出现时，称事件 A 发生。 例如在 E3 中，如果用 A 表示事件“掷出奇点数”，那么 A 是一个随机事件。由于在一次投掷 中，当且仅当掷出的点数是 1，3，5 中的任何一个时才称事件 A 发生了，所以我们把事件 A 表示 为 A =1,3,5 。同样地，若用 B 表示事件“掷出偶点数”，那么 B 也是一个随机事件， B =2,4,6 . 对于一个试验 E ，在每次试验中必然发生的事件，称为 E 的必然事件(Certain event)；在每次 试验中都不发生的事件，称为 E 的不可能事件(Impossible event)。例如在 E3 中，“掷出的点数不超 过 6”就是必然事件，用集合表示这一事件就是 E3 的样本空间 S3 =1,2,3,4,5,6 .而事件“掷出的 点数大于 6”是不可能事件，这个事件不包括 E3 的任何一个可能结果，所以用空集 表示。对于一 个试验 E ，它的样本空间 S 是 E 的必然事件；空集 是不可能事件。必然事件与不可能事件虽已 无随机性可言，但在概率论中，常把它们当作两个特殊的随机事件，这样做是为了数学处理上的方 便。 四、 事件间的关系与运算(Relation and operation of events) 因为事件是一个集合，因而事件间的关系和运算是按集合间的关系和运算来处理的。下面给出 这些关系和运算在概率中的提法。并根据“事件发生”的含义，给出它们在概率中的含义。 设试验 E 的样本空间为 S ，而 A,B, A (k =1,2, ) k 是 S 的子集。 （1）事件的包含与相等(Inclusion and equivalent relation) 若事件 A 发生必然导致事件 B 发 生，则称事件 A 包含事件 B ，记为 B A 或者 A B 。若 A B 且 B A ，即 A = B ，则称事 件 A 与事件 B 相等。 （2）事件的和(Union of events) 事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件称为事件 A 与事件 B 的和事件，记为 A B.事件 A B 发生意味着：或事件 A 发生，或事件 B 发生，或事件 A 与事
件B都发生。 事件的和可以推广到多个事件的情景。设有n个事件A,A2…A,定义它们的和事件为 A1,A2,…,An中至少有一个发生},记为∪A 3)事件的积( Product of events)事件A与事件B都发生的事件称为事件A与事件B的积 事件,记为A∩B,也简记为AB。事件A∩B(或AB)发生意味着事件A发生且事件B也发 生,即A与B都发生。 类似的,可以定义n个事件A,A2…A的积事件∩A={A1,A2,…,An都发生}。 (4)事件的差 ( Difference of events)事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件 B的差事件,记为A-B (5)互不相容事件互斥 compatible events)若事件A与事件B不能同时发生,即AB=p 则称事件A与事件B是互斥的,或称它们是互不相容的。若事件A1,A2,…,A中的任意两个都互 斥,则称这些事件是两两互斥的。 ()对立事件( Opposite events)“A不发生”的事件称为事件A的对立事件,记为A,A和A 满足:A∪A=S,AA=p,A=A。 (7)事件运算满足的定律设A,B,C为事件,则有 交换律( Exchange law):AUB=BUA:AB=BA。 结合律( Combination law):( AUBUC=AU(BUC);(AB)C=A(BC 分配律 (Distributive law):(AUB)C=(ACU(BC);(AB)UC=(4UC(BUC) 对偶律( Dual law):AUB=AB:AB=A∪B。 Example 1.1向指定目标射三枪,观察射中目标的情况。用A、A2、A3分别表示事件“第 1、2、3枪击中目标”,试用A1、A2、A3表示以下各事件: (1)只击中第一枪; (2)只击中一枪 (3)三枪都没击中; (4)至少击中一枪 Solution(1)事件“只击中第一枪”,意味着第二枪不中,第三枪也不中。所以,可以表示成 A142A3 (2)事件“只击中一枪”,并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、 只击中第三枪”中,任意一个发生,都意味着事件“只击中一枪”发生。同时,因为上述三个事 件互不相容,所以,可以表示成A14243+A142A3+A1A243 (3)事件“三枪都没击中”,就是事件“第一、二、三枪都未击中”,所以,可以表示成A4243 (4)事件“至少击中一枪”,就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”,所以,可以表示 成A∪A2∪A3或AA2A3+A14243+AA243+A1A2A3+A1A243+A1A2A3+A1A243 §1.2概率的统计定义 The statistic Definition of Probability 频率( 设E为任一随机试验,A为其中任一事件,在相同条件下,把E独立的重复做n次,n4表示 事件A在这n次试验中出现的次数(称为频数)。比值fn(A)=n1/n称为事件A在这n次试验中 出现的频率( Frequency)
4 件 B 都发生。 事件的和可以推广到多个事件的情景。设有 n 个事件 A A An , , , 1 2 ，定义它们的和事件为 { A A An , , , 1 2 中至少有一个发生}，记为 k n k A =1 . （3）事件的积(Product of events) 事件 A 与事件 B 都发生的事件称为事件 A 与事件 B 的积 事件，记为 A B ，也简记为 AB 。事件 A B （或 AB ）发生意味着事件 A 发生且事件 B 也发 生，即 A 与 B 都发生。 类似的，可以定义 n 个事件 A A An , , , 1 2 的积事件 k n k A =1 ={ A A An , , , 1 2 都发生}。 （4）事件的差(Difference of events) 事件 A 发生而事件 B 不发生的事件称为事件 A 与事件 B 的差事件，记为 A − B 。 （5）互不相容事件(互斥)(Incompatible events) 若事件 A 与事件 B 不能同时发生，即 AB = ， 则称事件 A 与事件 B 是互斥的，或称它们是互不相容的。若事件 A A An , , , 1 2 中的任意两个都互 斥，则称这些事件是两两互斥的。 (6) 对立事件(Opposite events) “ A 不发生”的事件称为事件 A 的对立事件，记为 A . A 和 A 满足： A A = S ， AA = ， A = A 。 （7）事件运算满足的定律 设 A, B,C 为事件，则有 交换律(Exchange law)： A B = B A ； AB = BA 。 结合律(Combination law)：(A B) C = A (B C) ； (AB)C = A(BC) 。 分配律(Distributive law)：(A B)C = (AC) (BC) ； (AB) C = (AC)(B C) 。 对偶律(Dual law)： A B = AB ； AB = A B 。 Example 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。用 A1、 A2 、 A3 分别表示事件“第 1、2、3 枪击中目标”，试用 A1、 A2、 A3 表示以下各事件： （1）只击中第一枪； （2）只击中一枪； （3）三枪都没击中； （4）至少击中一枪。 Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。所以，可以表示成 A1 A2 A3 。 （2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、 “只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。同时，因为上述三个事 件互不相容，所以，可以表示成 A A A 1 2 3 + A1A2 A3 + A1 A2A3 . （3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 A A A 1 2 3 . （4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示 成 A1 A2 A3 或 A A A 1 2 3 + A1A2 A3 + A1 A2A3 + A1 A2 A3 + A1 A2A3 + A1A2A3 + A1A2 A3 . §1.2 概率的统计定义(The Statistic Definition of Probability) 一、 频率(Frequency) 设 E 为任一随机试验， A 为其中任一事件，在相同条件下，把 E 独立的重复做 n 次， A n 表示 事件 A 在这 n 次试验中出现的次数（称为频数）。比值 f n (A) = nA n 称为事件 A 在这 n 次试验中 出现的频率(Frequency)
人们在实践中发现:在相同条件下重复进行同一试验,当试验次数n很大时,某事件A发生的 频率具有一定的“稳定性”,就是说其值在某确定的数值上下摆动。一般说,试验次数n越大,事 件A发生的频率就越接近那个确定的数值。因此事件A发生的可能性的大小就可以用这个数量指 标来描述 二、概率的统计定义( The statistic definition of probability Definition I.1设有随机试验E,若当试验的次数n充分大时,事件A的发生频率fA(A)稳 定在某数p附近摆动,则称数p为事件的概率 Probability),记为:P(A)=po( Let e be a random experiment, a number p is called the probability of a event A if the frequency of A swings nearby p steadily. 概率的这种定义,称为概率的统计定义,统计定义是以试验为基础的,但这并不是说概率取决 于试验。值得注意的是事件A出现的概率是事件A的一种属性。也就是说完全决定于事件A本身 的结果,是先于试验客观存在的。概率的统计定义只是描述性的,一般不能用来计算事件的概率。 通常只能在n充分大时,以事件出现的频率作为事件概率的近似值。 三、概率的性质( The property of probability) (1)0≤P(A)≤1 (2)P(小)=0,P(g)= (3)若AB=φ,则P(AUB)=P(A)+P(B) (4)P(A)=1-P(A) (5)P(B-A)=P(BA)=P(B)-P(AB)特别地,若AcB,P(B-A)=P(B)-P(A) P(B)≥P(A) 6)对任意两个事件A,B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) 这条性质可以推广到多个事件。设A1,A2,…,An是任意n个事件,则有 P(AUAU…UA)=∑P(4)-∑P(AA) +∑P(4A4)+…+(-)P(A42…4) 11 Example1.2设事件A,B的概率分别为 在下列三种情况下分别求P(BA)的值: 32 (1)A与B互斥; (2)AC B: (3)P(AB)≈1 Solution由性质(5),P(BA)=P(B)-P(AB) (1)因为A与B互斥,所以AB=,P(BA=P(B)-P(AB)=P()=1 11 (2)因为AcB;所以P(BA)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A) 236 (3) P(BA)=P(B)-P(AB) 288
5 人们在实践中发现：在相同条件下重复进行同一试验，当试验次数 n 很大时，某事件 A 发生的 频率具有一定的“稳定性”，就是说其值在某确定的数值上下摆动。一般说，试验次数 n 越大，事 件 A 发生的频率就越接近那个确定的数值。因此事件 A 发生的可能性的大小就可以用这个数量指 标来描述。 二、 概率的统计定义(The statistic definition of probability) Definition 1.1 设有随机试验 E ，若当试验的次数 n 充分大时，事件 A 的发生频率 f (A) A 稳 定在某数 p 附近摆动，则称数 p 为事件的概率(Probability)，记为： P(A) = p 。(Let E be a random experiment, a number p is called the probability of a event A if the frequency of A swings nearby p steadily.) 概率的这种定义，称为概率的统计定义，统计定义是以试验为基础的，但这并不是说概率取决 于试验。值得注意的是事件 A 出现的概率是事件 A 的一种属性。也就是说完全决定于事件 A 本身 的结果，是先于试验客观存在的。概率的统计定义只是描述性的，一般不能用来计算事件的概率。 通常只能在 n 充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值。 三、 概率的性质(The property of probability) （1） 0 P(A) 1. （2） P() = 0 ， P() = 1. （3）若 AB = ，则 P(A B) = P(A) + P(B) . （4） P(A) = 1− P(A) . （5） P(B − A) = P(BA) = P(B) − P(AB) .特别地，若 A B ， P(B − A) = P(B) − P(A) ， P(B) P(A). （6）对任意两个事件 A, B ，有 P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) . 这条性质可以推广到多个事件。设 A A An , , , 1 2 是任意 n 个事件，则有 = = − i j n i j n i P A A An P Ai P A A 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 ( ) ( 1) ( ) n i j k n i j k n P A A A P A A A + + + + − Example 1.2 设事件 A, B 的概率分别为 2 1 , 3 1 .在下列三种情况下分别求 P(BA) 的值： （１） A 与 B 互斥； （２） A B； （３） 8 1 P(AB) = ． Solution 由性质（5）， P(BA) = P(B) − P(AB) . （1） 因为 A 与 B 互斥，所以 AB = ， P(BA) = P(B) − P(AB) =P(B)= 2 1 （2） 因为 A B； 所以 P(BA) = P(B) − P(AB) = P(B) − P(A) = 6 1 3 1 2 1 − = （3） P(BA) = P(B) − P(AB) = 8 3 8 1 2 1 − =
§1.3古典概型( Classical Probability) 古典概型(等可能概型)( Classical probability) 概型”是指某种概率模型。“古典概型”是一种最简单、最直观的概率模型。如果做某个随 机试验E时,只有有限个事件A1,A2,…,An可能发生,且事件A1,A2…,An满足下面三条 (1)A1,A2,…,An发生的可能性相等(等可能性) (2)在任意一次试验中A1,A2…An至少有一个发生(完备性); (3)在任意一次试验中A1,A2…,An至多有一个发生(互不相容性)。 具有上述特性的概型称为古典概型( Classical probability)或等可能概型。A1,A2…,An称为基本事 件( Basic events) 等可能概型中事件概率的计算:设在古典概型中,试验E共有n个基本事件,事件A包含了m 个基本事件,则事件A的概率为 P(A=m/n Example1.3一袋中有8个大小形状相同的球,其中5个黑色球,三个白色球。现从袋中随 机地取出两个球,求取出的两球都是黑色球的概率。 Solution从8个球中取出两个,不同的取法有C3种。若以A表示事件取出的两球是黑球}, 那么使事件A发生的取法为C3种,从而 P(A)=C5/C8=5/14 Example1.4在箱中装有100个产品,其中有3个次品,为检查产品质量,从这箱产品中任 意抽5个,求抽得5个产品中恰有一个次品的概率。 Solution从100个产品中任意抽取5个产品,共有C1种抽取方法,事件A={有1个次品, 个正品}的取法共有C!C种取法,故得事件A的概率为 CaC P(A) 9≈0.138 Example1.5将N个球随机地放入n个盒子中(m>N),求: (1)每个盒子最多有一个球的概率 (2)某指定的盒子中恰有m(m<N)个球的概率 Solution这显然也是等可能问题。 先求N个球随机地放入n个盒子的方法总数。因为每个球都可以落入n个盒子中的任何一个, 有n种不同的放法,所以N个球放入n个盒子共有n×n×…×n=n种不同的放法 (1)事件A={每个盒子最多有一个球}的放法。第一个球可以放进n个盒子之一,有n种放法 第二个球只能放进余下的n-1个盒子之一,有n-1种放法;第N个球只能放进余下的n-N+1 个盒子之一,有n-N+1种放法;所以共有n(n-1)…(n-N+1)种不同的放法。故得事件A的概 率为
6 §1.3 古典概型(Classical Probability) 一、 古典概型（等可能概型）(Classical probability) “概型”是指某种概率模型。“古典概型”是一种最简单、最直观的概率模型。如果做某个随 机试验 E 时，只有有限个事件 A A An , , , 1 2 可能发生，且事件 A A An , , , 1 2 满足下面三条： （1） A A An , , , 1 2 发生的可能性相等（等可能性）； （2）在任意一次试验中 A A An , , , 1 2 至少有一个发生（完备性）； （3）在任意一次试验中 A A An , , , 1 2 至多有一个发生（互不相容性）。 具有上述特性的概型称为古典概型(Classical probability)或等可能概型。A A An , , , 1 2 称为基本事 件(Basic events)。 等可能概型中事件概率的计算：设在古典概型中，试验 E 共有 n 个基本事件，事件 A 包含了 m 个基本事件，则事件 A 的概率为 P(A) = m n Example 1.3 一袋中有 8 个大小形状相同的球，其中 5 个黑色球，三个白色球。现从袋中随 机地取出两个球，求取出的两球都是黑色球的概率。 Solution 从 8 个球中取出两个，不同的取法有 2 C8 种。若以 A 表示事件{取出的两球是黑球}， 那么使事件 A 发生的取法为 2 C5 种，从而 P A( ) = 2 C5 / 2 C8 =5/14 Example 1.4 在箱中装有 100 个产品，其中有 3 个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任 意抽 5 个，求抽得 5 个产品中恰有一个次品的概率。 Solution 从 100 个产品中任意抽取 5 个产品，共有 5 C100 种抽取方法，事件 A ={有 1 个次品， 4 个正品}的取法共有 4 97 1 C3C 种取法，故得事件 A 的概率为 P A( ) = 0.138 5 100 4 97 1 3 C C C Example 1.5 将 N 个球随机地放入 n 个盒子中 (n N) ，求： （１）每个盒子最多有一个球的概率； （２）某指定的盒子中恰有 m （ m N ）个球的概率。 Solution 这显然也是等可能问题。 先求 N 个球随机地放入 n 个盒子的方法总数。因为每个球都可以落入 n 个盒子中的任何一个， 有 n 种不同的放法，所以 N 个球放入 n 个盒子共有 N N n n n = n 种不同的放法。 （1）事件 A ={每个盒子最多有一个球}的放法。第一个球可以放进 n 个盒子之一，有 n 种放法； 第二个球只能放进余下的 n−1 个盒子之一，有 n−1 种放法；．．．第 N 个球只能放进余下的 n N− +1 个盒子之一，有 n N− +1 种放法；所以共有 n n n N ( 1) ( 1) − − + 种不同的放法。故得事件 A 的概 率为
P(4)=m(n-1)…(n-N+1) (2)事件B={某指定的盒子中恰有m个球}的放法。先从N个球中任选m个分配到指定的某 个盒子中,共有CN种选法;再将剩下的N-m个球任意分配到剩下的n-1个盒子中,共有 (n-1)-m种放法。所以,得事件B的概率为 P(B) Example1.6在1~9的整数中可重复的随机取6个数组成6位数,求下列事件的概率: (1)6个数完全不同 (2)6个数不含奇数; (3)6个数中5恰好出现4次 Solution从9个数中允许重复的取6个数进行排列,共有9种排列方法 (1)事件A={6个数完全不同}的取法有9×8×7×6×5×4种取法,故 P(A)= =0.1 (2)事件B={6个数不含奇数}的取法。因为6个数只能在2,4,6,8四个数中选,每次有4 种取法,所以有4°取法。故 P(B) (3)事件C={6个数中5恰好出现4次}的取法。因为6个数中5恰好出现4次可以是6次中 的任意4次,出现的方式有C6种,剩下的两种只能在1,2,3,4,6,7,8,9中任取,共有82种 P(C)= 、几何概型 Geometric probability) 上述古典概率是在有限样本空间下进行的,为了克服这种局限性,我们将古典概型推广 如果一个试验具有以下两个特点: (1)样本空间S是一个大小可以计量的几何区域(如线段、平面、立体) (2)向区域内任意投一点,落在区域内任意点处都是“等可能的 那么,事件A的概率由下式计算: P(4)=4的计量 S的计量 Example1.7在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上(0,4)上的所有实数,旋转陀螺,求 陀螺停下来后,圆周与桌面的接触点位于[0.5,1]上的概率。 Solution由于陀螺及刻度的均匀性,它停下来时其圆周上的各点与桌面接触的可能性相等,且
7 P A( ) = N n n(n −1)(n − N +1) （2）事件 B ={某指定的盒子中恰有 m 个球}的放法。先从 N 个球中任选 m 个分配到指定的某 个盒子中，共有 m CN 种选法；再将剩下的 N m− 个球任意分配到剩下的 n−1 个盒子中，共有 N m n − ( −1) 种放法。所以，得事件 B 的概率为 N m N m N n C n P B − − = ( 1) ( ) Example 1.6 在１~９的整数中可重复的随机取６个数组成６位数，求下列事件的概率： （１）６个数完全不同； （２）６个数不含奇数； （３）６个数中５恰好出现 4 次。 Solution 从 9 个数中允许重复的取 6 个数进行排列，共有 6 9 种排列方法。 （1）事件 A={６个数完全不同}的取法有 987654 种取法，故 0.11 9 9 8 7 6 5 4 ( ) 6 = P A = （2）事件 B={６个数不含奇数}的取法。因为 6 个数只能在 2，4，6，8 四个数中选，每次有 4 种取法，所以有 6 4 取法。故 6 6 9 4 P(B) = （3）事件 C={６个数中５恰好出现 4 次}的取法。因为 6 个数中５恰好出现 4 次可以是 6 次中 的任意 4 次，出现的方式有 4 C6 种，剩下的两种只能在 1，2，3，4，6，7，8，9 中任取，共有 2 8 种 取法。故 6 4 2 6 9 8 ( ) C P C = 二、 几何概型(Geometric probability) 上述古典概率是在有限样本空间下进行的，为了克服这种局限性，我们将古典概型推广。 如果一个试验具有以下两个特点： （1） 样本空间 S 是一个大小可以计量的几何区域（如线段、平面、立体）。 （2） 向区域内任意投一点，落在区域内任意点处都是“等可能的”。 那么，事件 A 的概率由下式计算： 的计量 的计量 S A P(A) = Example 1.7 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上（０，４）上的所有实数，旋转陀螺，求 陀螺停下来后，圆周与桌面的接触点位于［0.5，１］上的概率。 Solution 由于陀螺及刻度的均匀性，它停下来时其圆周上的各点与桌面接触的可能性相等，且
接触点可能有无穷多个,故P(A)= 区间0.5的长度 区间0,4的长度48 Example1.8甲乙两人相约8-12点在预定地点会面。先到的人等候另一人30分钟后离 求甲乙两人能会面的概率。 Solution以X,Y分别表示甲、乙二人到达的时刻,那末8≤X≤12,8≤Y≤12:若 以(x,Y)表示平面上的点的坐标,则所有基本事件可以用这平面上的边长为4的一个正方形: 8≤X≤12,8≤F≤12内所有点表示出来。二人能会面的充要条件是X-y|≤12(图中 阴影部分);所以所求的概率为: P=阴影部分的面积16-2[(4-)2 15 正方形ABCD的面积 16 §1.4条件概率( Conditional Probability 条件概率( Conditional probabilit) 在实际问题中,常常会遇到这样的问题:在得到某个信息A以后(即在已知事件A发生的条 件下),求事件B发生的概率。这时,因为求B的概率是在已知A发生的条件下,所以称为在事件 A发生的条件下事件B发生的条件概率。记为P(B|A 由此引入条件概率的一般定义: Defi0n1.2设A,B是两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=P(AB)/P(A)为在事件A发生 的条件下事件B发生的条件概率( Conditional probability)。( Suppose A, b are two events and P(A)>0, P(B A)=P(AB)/P(A) is called the conditional probability of B under the condition that A occurs.) 计算条件概率可选择两种方法之 (1)在缩小后的样本空间S中计算B发生的概率P(B|A (2)在原样本空间S中,先计算P(AB)P(A),再按公式P(B|A)=P(AB)/P(A)计算, 求得P(B|A) Example.9设某种动物有出生起活20岁以上的概率为80%,活25岁以上的概率为40%.如 果现在有一个20岁的这种动物,问它能活25岁以上的概率? Solution设事件A={能活20岁以上};事件B={能活25岁以上}。按题意,P(A)=08,由 于BcA,因此P(AB)=P(B)=0.4.由条件概率定义 P(B|4)= P(AB)0.4 P(A)080.5 二、乘法公式( Multiplication formula) 由条件概率的定义容易推得概率的乘法公式( Multiplication formula) P(AB)=P(A)P(B A)=P(B)P(A B) 利用这个公式可以计算积事件。乘法公式可以推广到n个事件的情形:若P(A1,A2,…,An)>0
8 接触点可能有无穷多个，故 8 1 4 2 1 [0 4] [0.5,1] ( ) = = = 区间 ，的长度 区间 的长度 P A . Example 1.8 甲乙两人相约 8 12 − 点在预定地点会面。先到的人等候另一人 30 分钟后离去， 求甲乙两人能会面的概率。 Solution 以 X ，Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，那末 8 12 X ，8 12 Y ；若 以 ( , ) X Y 表示平面上的点的坐标，则所有基本事件可以用这平面上的边长为 4 的一个正方形： 8 12 X ，8 12 Y 内所有点表示出来。二人能会面的充要条件是 X Y− 1 2 （图中 阴影部分）；所以所求的概率为： 64 15 16 ] 2 1 4 2 1 16 2[ 2 = − − = = （ ） 正方形 的面积 阴影部分的面积 ABCD P . §1.4 条件概率(Conditional Probability) 一、 条件概率(Conditional probability) 在实际问题中，常常会遇到这样的问题：在得到某个信息 A 以后（即在已知事件 A 发生的条 件下），求事件 B 发生的概率。这时，因为求 B 的概率是在已知 A 发生的条件下，所以称为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率。记为 P(B | A) 。 由此引入条件概率的一般定义： Definition 1.2 设 A, B 是两个事件，且 P(A) 0 ，称 P(B | A) = P(AB) P(A) 为在事件 A 发生 的条件下事件 B 发生的条 件概率(Conditional probability) 。(Suppose A, B are two events and P(A) 0 , P(B | A) = P(AB) P(A) is called the conditional probability of B under the condition that A occurs.) 计算条件概率可选择两种方法之一： （1） 在缩小后的样本空间 A S 中计算 B 发生的概率 P(B | A) . （2） 在原样本空间 S 中，先计算 P(AB), P(A) ，再按公式 P(B | A) = P(AB) P(A) 计算， 求得 P(B | A) . Example1.9 设某种动物有出生起活 20 岁以上的概率为 80%，活 25 岁以上的概率为 40%.如 果现在有一个 20 岁的这种动物，问它能活 25 岁以上的概率？ Solution 设事件 A ={能活 20 岁以上}；事件 B ={能活 25 岁以上}。按题意， P A( ) 0.8 = ，由 于 B A ，因此 P AB P B ( ) ( ) 0.4 = = .由条件概率定义 0.5 0.8 0.4 ( ) ( ) ( | ) = = = P A P AB P B A 二、 乘法公式(Multiplication formula) 由条件概率的定义容易推得概率的乘法公式(Multiplication formula)： P(AB) = P(A)P(B A) = P(B)P(A B). 利用这个公式可以计算积事件。乘法公式可以推广到 n 个事件的情形：若 P( A A An , , , 1 2 ) 0
P(4…A)=P(4)P(41A)P(4141)…P(A41…An) Example10在一批由90件正品,3件次品组成的产品中,不放回接连抽取两件产品,问 第一件取正品,第二件取次品的概率 Solution设事件A=(第一件取正品}:事件B={第二件取次品}。按题意,P(∥/s P(B|4)=,由乘法公式 P(AB)=P(A)P(BA)=9÷=00315 三、全概率公式( Complete probability formula) 为了计算复杂事件的概率,经常把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和,通过 分别计算简单事件的概率,来求得复杂事件的概率 全概率公式( Complete probability formula):A1,A2,…,An为样本空间S的一个事件组,且满 足 (1)A,A2,…,An互不相容,且P(A)>0(i=1,2,…,n) (2)A∪A2U…UAn=S 则对S中的任意一个事件B都有 P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)+.+P(A, )P(BA,) Proof:因为 B=BS=B(A1UA2U…∪An)=BA1∪BA2∪…UBn 由假设(BABA)=p≠j,得到 P(B)=P(BA1)+P(B42)+…+P(BA1)= P(A)P(BA)+P(A2)P(BA2)+.+P(A,)P(BA,) Example.11七人轮流抓阄,抓一张参观票,问第二人抓到的概率? Solution设A1={第i人抓到参观票}(i=1,2),于是 P(4)=1,P(4)=,P(421A4)=0,P(421A1)= 7 由全概率公式P(4)=P(A)P(414)+P(A)P(414)=0+5×2=1 从这道题,我们可以看到,第一个人和第二个人抓到参观票的概率一样;事实上,每个人抓到 的概率都一样。这就是“抓阄不分先后原理 Example1.12设有一仓库有一批产品,已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的
9 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 3 1 2 1 −1 = P A An P A P A A P A A A P An A An Example1.10 在一批由 90 件正品，３件次品组成的产品中, 不放回接连抽取两件产品，问 第一件取正品，第二件取次品的概率。 Solution 设事件 A ={第一件取正品}；事件 B ={第二件取次品}。按题意， P A( ) = 93 90 ， P(B | A) = 92 3 .由乘法公式 0.0315 92 3 93 90 P(AB) = P(A)P(B | A) = = 三、全概率公式(Complete probability formula) 为了计算复杂事件的概率，经常把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，通过 分别计算简单事件的概率，来求得复杂事件的概率。 全概率公式(Complete probability formula)： A A An , , , 1 2 为样本空间 S 的一个事件组，且满 足： （1） A A An , , , 1 2 互不相容，且 P(A ) 0(i 1,2, ,n) i = ; (2) A1 A2 An = S . 则对 S 中的任意一个事件 B 都有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P B = P A1 P B A1 + P A2 P B A2 ++ P An P B An Proof: 因为 B BS B = = ( A1 A2 An )= BA1 BA2 BAn 由假设 BA BA i j ( i )( j ) = , ，得到 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) P B P BA P BA P BA = + + + = n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A1 P B A1 + P A2 P B A2 ++ P An P B An Example1.11 七人轮流抓阄，抓一张参观票，问第二人抓到的概率？ Solution 设 Ai ={第 i 人抓到参观票}( i =1, 2 )，于是 6 1 , ( | ) 0, ( | ) 7 6 , ( ) 7 1 ( ) 1 P A1 = P A1 = P A2 A1 = P A2 A = 由全概率公式 7 1 6 1 7 6 P(A2 ) = P(A1 )P(A2 | A1 ) + P(A1 )P(A2 | A1 ) = 0 + = . 从这道题，我们可以看到，第一个人和第二个人抓到参观票的概率一样；事实上，每个人抓到 的概率都一样。这就是“抓阄不分先后原理”。 Example 1.12 设有一仓库有一批产品，已知其中 50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的
