上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT讲稿）第六章 数理统计的基本概念（6.2）确定统计量的分布

确定统计量的分布 是数理统计的基本 向题之 正态总体是最常见的总体,本节介绍 的几个抽样分布均对正态总体而言

确定统计量的分布 是数理统计的基本 问题之一 正态总体是最常见的总体, 本节介绍 的几个抽样分布均对正态总体而言

统计中常用分布 ch6-45 (1)正态分布 石X1,X N(1,2) 则∑axN∑aA,2 特别地, i.i.d 石K,K1…K n X,N(u,02) 则x=∑xN

ch6-45 (1) 正态分布 则          = = = n i i i n i i i n i i i a X N a a 1 2 2 1 1 ~  ,  特别地,         = = n X N n X n i i 2 1 ~ , 1  则  统计中常用分布 X X Xn , , , 1 2  ~ ( , ) 2 若 Xi N   i.i.d. ~ 若 X X Xn , , , 1 2  ( , ) 2 ~ N i  i

ch6-46 标准正态分布的a分位数 定义 若b>)则称z为标准正态 分布的上a分位数 若x|>平为标准 正态分布的双侧a分位数

ch6-46 标准正态分布的  分位数 分布的上 分位数. 若 ，则称z ( )  为标准正态 P X  z = 定义 正态分布的双侧  分位数. 若 (  ,  则称 )= 为标准 2 P X z 2 Z 

标准正态分布的a分位数图形 ch6-47 b(>)=0/0.9 00s=1.645 常用 sx20≈1.9数字 0.005 2.575 b(x>=) Z1 c2-21-c2 0/2 a2

ch6-47 标准正态分布的 分位数图形 2.575 1.96 1.645 0.005 0.025 0.05 = = = z z z -2 -1 1 2 0.1 0.2 0.3 0.4 z •  常用 数字 -2 -1 1 2 0.1 0.2 0.3 0.4 /2 -z/2=z1-/2 /2 z/2 • -z/2 • P(X  z ) = (   )= 2 P X z

ch6-418 (2)x(m分布n为自由度) 定义设X1,X2,…,X相互独立, 且都服从标准正态分布N(O,1则 n=1时其密度函数为 e X> 0 f(x)= 0 <0

ch6-48 (2) ( ) 2  n 分布( n为自由度 ) 定义 设 X X Xn , , , 1 2  相互独立, 且都服从标准正态分布N (0,1),则 = n i i X n 1 2 2 ~  ( ) n = 1 时,其密度函数为        = − − 0, 0 , 0 2 1 ( ) 2 2 1 x x e x f x x  2 4 6 8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

ch6-49 n=2时其密度函数为 >0 f(x)=2 <0 为参数为1/2的指数分布. 2 10

ch6-49 n = 2 时,其密度函数为        = − 0, 0 , 0 2 1 ( ) 2 x e x f x x 为参数为1/2的指数分布. 2 4 6 8 10 0.1 0.2 0.3 0.4

一般自由度为n的x2(n)的密度函数为 >0 f(x)=2() 其中, rOx=treat 在x>0时收敛,称为/函数,具有性质 r(x+1)=xr(x,r(1)=1,T(l2)=√z r(n+1)=n!(n∈N)

ch6-50 2 2 2 1 2 1 , 0 2 ( ) ( ) 0, 0 x n n n e x x f x x  − −   =      一般 其中，  + − − = 0 1 (x) t e dt x t  在x > 0时收敛，称为函数，具有性质 ( 1) ! ( ) ( 1) ( ), (1) 1, (1/ 2) n n n N x x x  + =   + =   =  =  ( ) 2 自由度为 n 的  n 的密度函数为

ch6-51 0.4 n=10 0.1 n=15 5 10 15 20 25

ch6-51 5 1 0 1 5 2 0 2 5 0.1 0.2 0.3 0.4 n=2 n = 3 n = 5 n = 10 n = 15

x2(n)分布的性质 ch6-52 1°E (x2(a)=n,D(x2(n)=2n 2若X1=x2(m1),H2=x2(n2),H1,X2相互独立, 则X十X2x2(n+n2) 3n→>∞时,x2(m)→正态分布 4x2(n)分布的上a分位数有表可查 例如 0.08 n=10 (013200- y(O)=830 51015×209(10)

ch6-52 1 E( (n)) n, D( (n)) 2n 2 2  =  =  例如 ( (10) 18.307) 0.05 (10) 18.307 2 2 0.05  = =   P  ( ) 2 ( ), ( ), , 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 X X n n X n X n X X 则 ＋ ～ ＋ 若 相互独立，  =  =   3  n →时， 2 (n) →正态分布 4   2 (n) 分布的上 分位数有表可查  2 (n) 分布的性质  2 0.05(10) • 5 10 15 20 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 n = 10

ch6-53 证1设x(m)=∑2X,~N01)1=12,…,n X.X Xn相互独立, 则E(X)=0,DX)=1,E(X2)=1 n 2()=∑x|=n E(X)=t] 2dx=3 2兀 D(X2)=E(K4)-E2(X2)=2 D(2(o)=D∑x2|=2n

ch6 -53 X X Xn , , , 1 2  相互独立 , 证 1  设 = = = ni i i n X X N i n 1 2 2  ( ) ~ (0,1) 1,2,, 则 ( ) 0, ( ) 1, ( ) 1 2 = = = E Xi D Xi E Xi E( n ) E X n ni i  =  = =1 2 2  ( ) d 3 21 ( ) 22 4 4 = = − − E X x e x x i  ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 D Xi = E Xi − E Xi = D( n ) D X n ni i ( ) 2 1 2 2  =  = = 