上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT讲稿）第一章 随机事件及其概率（1.4）事件的独立性

Ch183 §14事件的独立性 事件的独立性 例1已知袋中有5只红球,3只白球从袋中 有放回地取球两次每次取1球.设第i次 取得白球为事件A1(i=1,2).求 P(4),P(4),P(41A,P(4石) 解PA)=382=P(4),P(4)=38 P(4|4)=3/8 P(414)=P(4)=P(424

Ch1-83 例1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中 有放回地取球两次,每次取1球. 事件的独立性 设第 i 次 取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) . 求 ( ), P A2 A1 ( ), P A2 A1 ( ) , ( ), P A1 P A2 解 ( ) 3/8, P A2 A1 = ( ) 3/8, 2 1 ( ) 3/8 ( ), P A A = P A1 = = P A2 ( ) ( ) ( ) P A2 A1 = P A2 = P A2 A1 §1.4 事件的独立性

Ch184 事件A1发生与否对A2发生的概率没有影 响可视为事件A1与A2相互独立 P44)=(3/8)2=PA)P(414)=P(A)P(4) 定义设A,B为两事件,若 P(AB)=P(AP(B 则称事件A与事件B相互独立

Ch1-84 事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影 响可视为事件A1与A2相互独立 ( ) (3/8) ( ) ( ) 1 2 1 2 P A1 A2 = = P A P A A 定义 设 A , B 为两事件，若 P(AB) = P(A)P(B) 则称事件 A 与事件 B 相互独立 ( ) ( ) P A1 P A2 =

Ch1-85 两事件相互独立的性质 口两事件A与B相互独立是相互对称的 口若P(A)>0,则P(B)=P(BA 若P(B)>0,则P(A)=P(AB) 口若P(A)>0,P(B)>0, 则“事件A与事件B相互独立”和 “事件A与事件B互斥 不能同时成立(自行证明)

Ch1-85 两事件相互独立的性质 ❑ 两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的 ❑ 若 P(A)  0, 则P(B) = P(B A) 若 P(B)  0, 则P(A) = P(AB) ❑ 若 P(A)  0, P(B)  0, 则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和 “事件 A 与 事件 B 互斥” 不能同时成立 (自行证明)

Ch1-86 口四对事件AB:AB:A、B:AB 任何一对相互独立则其它三对也相互独立 试证其一A、B独立→A,B独立 事实上 P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) P(A-P(AP(B) P(A1-P(B)=P(A)P(B)

Ch1-86 ❑ 四对事件 A,B; A,B; A,B; A,B 任何一对相互独立,则其它三对也相互独立 试证其一 A,B 独立 A,B 独立 事实上 P(AB) = P(A− AB) = P(A) − P(AB) = P(A)1− P(B)= P(A)P(B) = P(A) − P(A)P(B)

Ch1-87 定义三事件ABC相互独立 是指下面的关系式同时成立: P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(AP(C (1) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(AP(B)P(C)(2) 注:1)关系式(1)(2)不能互相推出 2)仅满足(1)武式时称A,B,C两两独立 A,B,C相互独立一A,B,C两两独立

Ch1-87 三事件 A, B, C 相互独立 是指下面的关系式同时成立： 注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出 2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P BC P B P C P AC P A P C P AB P A P B = = = (1) P(ABC) = P(A)P(B)P(C) (2) A, B, C 相互独立 A, B, C 两两独立 定义

Ch188 例2有一均匀的八面体,各面涂有颜色如下 1234567 RRRR W WW W Y YYY 将八面体向上抛掷一次,观察向下一面 出现的颜色 R红色 设事件W—白色 Y—黄色

Ch1-88 例2 有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下 将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面 出现的颜色。 设事件 R 红色 W 白色 Y 黄色 1 2 3 4 5 6 7 8 R R R R W W W W Y Y Y Y

则P8)=0m)=P=4-1c 82 P(RW) P(WY=P(RY P(RWY=8=P()P()P(r) 但P(RW/)≠P(R)P(W) P(WY)≠P(W)P(Y) P(RY)≠P(R)P(Y) 本例说明不能由关系式(2)推出关系式(1)

Ch1-89 2 1 8 4 则 P(R) = P(W ) = P(Y) = = 8 1 , ( ) ( ) 8 3 P(RW ) = P WY = P RY = 8 1 P(RWY) = P(RW )  P(R)P(W ) = P(R)P(W )P(Y) 但 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P RY P R P Y P WY P W P Y   本例说明不能由关系式(2)推出关系式(1)

Ch1-90 例3随机投掷编号为1与2的两个骰子 事件A表示1号骰子向上一面出现奇数 B表示2号骰子向上一面出现奇数 C表示两骰子出现的点数之和为奇数 则P(∠=P(B)=P(C)=1/2 P(AB)=P(BC)=P(CA)=1/4 P(AP(B=P(B)P(C)=P(C)P(A) 但P(ABC)=0≠1/8=P(A)P(BPC) 本例说明不能由A,B,C两两独立 A,B.C相互独立

Ch1-90 例3 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子 事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数 B 表示2号骰子向上一面出现奇数 C 表示两骰子出现的点数之和为奇数 则 P(A) = P(B) = P(C) =1/ 2 P(AB) = P(BC) = P(CA) =1/ 4 = P(A)P(B) = P(B)P(C) = P(C)P(A) 但 P(ABC) = 0 1/8 = P(A)P(B)P(C) 本例说明 不能由 A, B, C 两两独立 A, B, C 相互独立

Ch1-91 定义n个事件A1,42,…,An相互独立 是指下面的关系式同时成立 P(44)=P(4)P(A)1≤</≤n P(AA, Ak)=P(A)P(A )P(A,),1<i<j<k<n P(A1A2…A1)=P(A)P(A)…P(A 常由实际问题的意义 判断事件的独立性

Ch1-91 n 个事件 A1 , A2 , …, An 相互独立 是指下面的关系式同时成立 ( ) ( ) ( ) ( ) P A1A2A n P A1 P A2 P A n  = P A A P A P A i j n ( i j ) = ( i ) ( j ), 1   P A A A P A P A P A i j k n ( i j k ) = ( i ) ( j ) ( k ), 1    定义 常由实际问题的意义 判断事件的独立性

Ch192 例4已知事件A,B,C相互独立,证明事件 A与B∪C也相互独立 证P(4(BC)=P(BC-P(4B∪C) P(B)+P(C)-P(BC) [P(AB)+ P(AC)-P(ABC) =P(ALP(B)+P(C)-P(BC) =P(A)P(B∪C

Ch1-92 例4 已知事件 A, B, C 相互独立,证明事件 A 与 BC 也相互独立 证 P(A(BC))= P(BC) − P(A(BC))    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P AB P AC P ABC P B P C P BC − + − = + − = P(A)P(B) + P(C) − P(BC) = P(A)P(BC)