《高等数学》课程电子教案：第八章（8.5）隐函数的求导公式

章节题目 第五节隐函数的求导公式 隐函数求导:一个方程的情形 方程组的情形 内容提要 隐函数求导的方法 重点分析 方程组情形隐函数求导 隐函数的高阶导数求法 难点分析 习题布置 31、3、6、7、10(单) 备注

1 章 节 题 目 第五节 隐函数的求导公式 内 容 提 要 隐函数求导：一个方程的情形 方程组的情形 重 点 分 析 隐函数求导的方法 难 点 分 析 方程组情形隐函数求导 隐函数的高阶导数求法 习 题 布 置 P43 1、3、6、7、10（单） 备 注

教学内容 一个方程的情形 1.F(x,y)=0 隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x0,y)的某一邻域内具有连续的偏导 数,且F(x0,y)=0,F,(x0,y)≠0,则方程F(x,y)=0在点P(x0,y)的某 邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件 y=f(x),并有 dy Fr 例1验证方程x2+y2-1=0在点(01)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 x=0时y=1的隐函数y=f(x),并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值 解令F(x,y)=x2+y2 F=2x, F F(0,1)=0,F,(0,1)=2≠0, 依定理知方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 x=0时y=1的函数y=f(x) 函数的一阶和二阶导数为 中__F bx 例2已知血√x2+y2= arctan,8 解令F(x,y)=h√x2+y2- arctan 则F2(x,y) x+y F(x,y)

2 教 学 内 容 一、一个方程的情形 1. F(x, y) = 0 隐函数存在定理 1 设函数 F(x, y) 在点 ( , ) 0 0 P x y 的某一邻域内具有连续的偏导 数，且 F(x0 , y0 ) = 0， Fy (x0 , y0 )  0 ，则方程 F(x, y) = 0 在点 ( , ) 0 0 P x y 的某一 邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 y = f (x) ，它满足条件 ( ) 0 0 y = f x ，并有 y x F F dx dy = − . 例１ 验证方程 1 0 2 2 x + y − = 在点 (0,1) 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 x = 0 时 y =1 的隐函数 y = f (x) ，并求这函数的一阶和二阶导数在 x = 0 的值. 解 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y − ，则 F 2x, x = F 2y, y = F(0,1) = 0, (0,1) = 2  0, Fy 依定理知方程 1 0 2 2 x + y − = 在点 (0,1) 的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且 x = 0 时 y =1 的函数 y = f (x) ． 函数的一阶和二阶导数为 y x F F dx dy = − , y x = − 0, 0 = dx x= dy 2 2 2 y y xy dx d y −  = − 2 y y x y x         − − = − , 1 3 y = − 1. 0 2 2 = − x= dx d y 例 2 已知 x y ln x y arctan 2 2 + = ，求 dx dy . 解 令 ( , ) ln arctan , 2 2 x y F x y = x + y − 则 ( , ) , 2 2 x y x y F x y x + + = ( , ) , 2 2 x y y x F x y y + − =

中。F-_x+y 2.F(x,y,=)=0 隐函数存在定理2设函数F(x,y,)在点P(x0,y,=0)的某一邻域内有连续的偏 导数 且F(x0,y,-0)=0,F(x0,y02=0)≠0,则方程F(x,y,z)=0在点P(x0,y,=0) 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y) 它满足条 件=f(x,y),并有2=-,= F 例3设x2+y2+2-4z=0,求 解令F(x,y,z)=x2+y2+2-4, F F az F x F 2 (2-二)+x )+x.x (2-二)-+ 例4设=f(x+y+二,xy=),求 az ax ay 思路:把看成xy的函数对x求偏导数得 把x看成二,y的函数对y求偏导数得 把y看成x,的函数对二求偏导数得 解令l=x+y+二,v=xyz,则z=f(u,v)2 把看成x,y的函数对x求偏导数得

3 y x F F dx dy = − . y x x y − + = − 2. F(x, y,z) = 0 隐函数存在定理 2 设函数 F(x, y,z) 在点 ( , 0 P x , ) 0 0 y z 的某一邻域内有连续的偏 导数 ，且 ( , 0 F x y0 ,z0 ) = 0，Fz (x0 , y0 ,z0 )  0 ，则方程 F(x, y, z) = 0 在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x, y) ， 它满足条 件 ( , ) 0 0 0 z = f x y ，并有 z x F F x z = −   ， z y F F y z = −   . 例 3 设 4 0 2 2 2 x + y + z − z = ，求 2 2 x z   . 解 令 ( , , ) 4 , 2 2 2 F x y z = x + y + z − z 则 F 2x, x = F = 2z −4, z , 2 z x F F x z z x − = − =   2 2 x z   2 (2 ) (2 ) z x z z x −   − + = 2 (2 ) 2 (2 ) z z x z x − − − +  = . (2 ) (2 ) 3 2 2 z z x − − + = 例 4 设 z = f (x + y + z, xyz) ，求 x z   ， y x   ， z y   . 思路：把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得 x z   ， 把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得 y x   ， 把 y 看成 x,z 的函数对 z 求偏导数得 z y   . 解 令 u = x + y + z, v = xyz, 则 z = f (u,v), 把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得

=f·(1+-)+∫,(y2+xy 整理得 把x看成z,y的函数对y求偏导数得 0=fn( ax fr (x 整理得x=-+x dy f,+yf, 把y看成x,z的函数对z求偏导数得 f (+1)+f (xy 整理得y=1-/-xy f +xsf F(,y,u,v)=0 、方程组的情形 G(x,y,u,)=0 隐函数存在定理3设F(x,y,u,v)、G(x,y,n4,v)在点P(x,y,u0,v0)的某一邻域 内有对各个变量的连续偏导数,且F(x0,y。4,v)=0,G(x2y,l0,v0) 0,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比式) aF OF J-a(F,G) a(u, v)aGaG au av 在点P(x0,y0,l,0)不等于零,则方程组 F(,y, u,v)=0 )=0 在点P(x0υ,υv)的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数 的函数u=u(x,y),v=v(x,y),它们满足条件=l(x0,%),V=V F (x,y),并有 u 1(F, G) G, a(x, v) F

4 x z   (1 ) x z f u   =  + ( ), x z f yz xy v   +  + 整理得 x z   , 1 u v u v f xyf f yzf − − + = 把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得 0 ( +1)   =  y x f u ( ), y x f xz yz v   +  + 整理得 y x   , u v u v f yzf f xzf + + = − 把 y 看成 x,z 的函数对 z 求偏导数得 1 ( +1)   =  z y f u ( ), z y f xy xz v   +  + 整理得 z y   . 1 u v u v f xzf f xyf + − − = 二、方程组的情形    = = ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 G x y u v F x y u v 隐函数存在定理 3 设 F(x, y,u,v) 、G(x, y,u,v) 在点 ( , , , ) 0 0 0 0 P x y u v 的某一邻域 内有对各个变量的连续偏导数，且 F(x0 , y0 ,u0 ,v0 ) = 0 , ( , , , ) 0 0 0 0 G x y u v = 0 ，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式） v G u G v F u F u v F G J         =   = ( , ) ( , ) 在点 ( , , , ) 0 0 0 0 P x y u v 不等于零，则方程组 F(x, y,u,v) = 0、 G(x, y,u,v) = 0 在点 ( , , , ) 0 0 0 0 P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数 的函数 u = u(x, y) ， v = v(x, y) ，它们满足条件 ( , ) 0 0 0 u = u x y , v = v 0 ( , ) 0 0 x y ，并有 , ( , ) 1 ( , ) u v u v x v x v G G F F G G F F x v F G x J u = −   = −  

1a(FG_F。F/F。F J a(u,x) G Ia(F,G)Fy FI/F FI a(, v) G, G/Gu G, Ov 1(F,G)F Fl/FF J a(u GuG 例5设x-1y=0,m+xy=1,求acu的e 解1直接代入公式 解2运用公式推导的方法 将所给方程的两边对x求导并移项 au ax J y-+x一=-V 在J≠0的条件下 x'+y ax x 将所给方程的两边对y求导,用同样方法得 ou rv-yu xut n 三、小结 隐函数的求导法则(分以下几种情况) (1)F(x,y)=0 (2)F(x,y,=) ()F(x, y, u,)=0 G(x, y, u,v)=0

5 u v u v u x u x G G F F G G F F u x F G x J v = −   = −   ( , ) 1 ( , ) , ( , ) 1 ( , ) u v u v y v y v G G F F G G F F y v F G y J u = −   = −   . ( , ) 1 ( , ) u v u v u y u y G G F F G G F F u y F G y J v = −   = −   例5 设 xu − yv = 0 ， yu + xv =1， 求 x u   ， y u   ， x v   和 y v   . 解 1 直接代入公式； 解 2 运用公式推导的方法 将所给方程的两边对 x 求导并移项 ,        = −   +   = −   −   v x v x x u y u x v y x u x y x x y J − = , 2 2 = x + y 在 J  0 的条件下， y x x y v x u y x u − − − − =   , 2 2 x y xu yv + + = − y x x y y v x u x v − − − =   , 2 2 x y yu xv + − = 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得 , 2 2 x y xv yu y u + − =   . 2 2 x y xu yv y v + + = −   三、小结 隐函数的求导法则（分以下几种情况） (1) F(x, y) = 0 (2) F(x, y,z) = 0    = = ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 (3) G x y u v F x y u v

思考题 已知x=9(2),其中四为可微函数,求x2+y=? 思考题解答 记F(x,y,=) (),则F2 F,=-g( az Fr x-y(2) 7o( 于是x

6 思考题 已知 ( ) z y z x =  ，其中  为可微函数，求 = ?   +   y z y x z x 思考题解答 记 ( , , ) ( ) z y z x F x y z = − ,则 z Fx 1 = ， , 1 ( ) z z y Fy = −  , ( ) ( ) 2 2 z y z y z x Fz − −   − =  , ( ) z y x y z F F x z z x −  = − =   , ( ) ( ) z y x y z y z F F y z z y   −  −  = − =   于是 z y z y x z x =   +  