上海交通大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT讲稿）第三章 习题课

概率统计第三章习题课

1 概率统计第三章习题课

补充题(x,)~f(xy)Z=aX+by+c求厂(z) 答案 (2)=°x 2-r-c b 或 a

2 补充题 (X,Y) ~ f (x, y) Z = aX +bY +c dx b z ax c f x b f z Z   −       − − = , 1 ( ) y dy a z by c f a   −       − − , 1 f (z) 求 Z 答案 或

概率统计习题课(3) Z轴上 3-22 的分界 点是如 2(z)=[yr()f,(y)()何得到 10001000 的? Z 1000 1000 0/z<1 dv 23 1 10001,3 2 2z 2z≥1 正确解法 考虑(1)中被积函数为非零情形

3 概率统计习题课 (3) 3-22 dy yz y y 2 2 1000 ( ) 1000 =     −       = =   1 2 1 0 1 1000 2 1000 3 2 2 z z z dy y z ？ 1000 ？ ？ 正确解法 Z 轴上 的分界 点是如 何得到 的？ f Z (z) = y f yz f y dy X Y ( ) ( )   − (1) 考虑(1)中被积函数为非零情形

当/12>100 1000 y> (*)时,fx·fy≠0 y>1000 y>1000 当z1000 <0 10001000 f2(x)= 0<z<1 1000 10001000 1000 (yz) 2z221

4      1000 1000 y yz 当 ( ) , 0 1000 1000          X Y f f y z 即 y 时 z z y 1000 当0  1时，()的解为  当z 1时，()的解为 y 1000 当z  0时，f X = 0 f Z (z) = 0 f Z (z) = 0 1 2 1000 1 ( ) 1000 1000 2 2   =     dy z yz y y Z 1 2 1000 1 ( ) 1000 2 2 2 1000   =    z z dy yz y y 0 z  0

323解法一F2()=02<0 2 F(-)=P(√X2+Y2<z) e 2兀 x +y<z 2丌 de e 2o rdi e°r 0 2 O 0 e 0 f(z)=F(2)={a2 <0

5 3-23 F z P X Y z e dxdy x y z Z x y  +  − + = +  = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( )    d e rdr r z 2 2 2 2 0 0 2 2 1      −   = e rdr r z 2 2 2 0 2 1   −  = 1 0 2 2 2 = −  − e z z  F (z) = 0 z  0 Z 0 z  0 f Z (z) = FZ (z) = 0 2 2 2 2  − e z z z   解法一

解法二仿书P125的推导得Z=√x2+P2的 概率密度函数为 /(=osO(= sin 0)de0z≥0 f2(z) z<0 2丌 于是fz(z) oS 8+Sin 8) de 02兀a2 从而f(2)=0e320 0 <0

6 解法二 仿书P.125 的推导, 得 的 概率密度函数为 2 2 Z = X +Y f Z (z) = ( cos ) ( sin ) 0 2 0   zf z f z d z X  Y    0 z  0 0 2 2 2 2 =  − e z z z   0 z  0 f Z (z) = 0 2 2 2 2  − e z z z  从而  f Z (z) =        z e d z (cos sin ) 2 2 0 2 2 2 2 2 2 1 − + 于是 

(x-) 3-29 fx(x= 2 0<x<+00 b≤y≤b f(y)=12b 0其他 12(2)=f()2(z-y)h (-y-p 2-y=1 20 0 b2b√2丌o

7 3-29 0 其 他 f Y (y) = b y b b −   2 1 2 2 2 ( ) 2 1 ( )    − − = x f x e X −  x  + f Z (z) = f y f z y dy Y X ( ) ( − )  + − e dy b z y b b 2 2 2 ( ) 2 1 2 1    − − − − =   令 t z y = − −  

2a2令xy-H (z-y-4) 0 b2b√2ra - -b- 2b=4√2丌 (2+b-u-d 2 b-p 26

8 e dy b z y b b 2 2 2 ( ) 2 1 2 1    − − − − =   令 t z y = − −   e dt b t z b z b 2 2 2 1 2 1 −  − − = − + −      . 2 1             − −  −      + − =     z b  z b b

X,Y独立→X2,2独立(其逆不真) 反例 (X,1-)(,以+xy x<1.v<1 4 其他 0 x<0 xc11+ P(X2≤x)= y d)kh=√x0≤x<1 x≥1 由对称性 0 <0 P(Y2≤y 0≤y<1 1

9 X,Y 独立 X 2 ,Y 2 独立（其逆不真） 反例 (X,Y) ~ f (x, y) = 1, 1 4 1   + x y x y 0 其他 (  ) = 2 P X x ) 0 1 4 1 ( 1 1 =   +   − − dy du x x x uy x 0 x  0 1 x 1 由对称性 (  ) = 2 P Y y y 0  y 1 0 y  0 1 y 1

0x<0或y<0 √x0≤x<1,y≥ P(X2≤xy2≤y)=〈√x210y<1 0≤x<,0≤y<1 1x≥1 1 对一切实数xy恒有 P(X2≤x,y2≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)

10 (  ,  ) = 2 2 P X x Y y x 0  x 1, y 1 0 x  0或y  0 1 x 1, y 1 y x 1, 0  y 1 xy 0  x 1, 0  y 1 对一切实数 x,y 恒有 (  ,  ) = 2 2 P X x Y y ( ) 2 P X  x ( ) 2 P Y  y