《高等数学》课程电子教案：第八章（8.3）全微分及其应用

章节题目 第三节全微分及其应用 全微分的概念、计算、充要条件及应用 内容提要 全微分的概念及充要条件 函数可微、偏导数存在、偏导数连续、连续之间的关系 重点分析 函数可微的判定 难点分析 题|P21(单,4 布 备注

章 节 题 目 第三节 全微分及其应用 内 容 提 要 全微分的概念、计算、充要条件及应用 重 点 分 析 全微分的概念及充要条件 函数可微、偏导数存在、偏导数连续、连续之间的关系 难 点 分 析 函数可微的判定 习 题 布 置 P28 1（单）、4 备 注

教学内容 全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f(x+Ax, y)-f(x,y)sf(x, y)Ax f(x,y+Ay)-f(x,y)f(x, y)Ay 全增量的概念:如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义,并设 P(x+Ax,y+Δy)为这邻域内的任意一点,则称这两点的函数值之差 f(x+Ax,y+△y)-f(x,y)为函数在点P对应于自变量增量Ax,△y的全增量,记 为A,即△=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y) 全微分的定义:如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量 △=f(x+Ax,y+4y)-f(x,y)可以表示为△=AAx+BAy+o(p),其中 A,B不依赖于Ax,Ay而仅与x,y有关,p=√△)+(4y)2,则称函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微分,AAx+B△y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全 微分,记为在,即dz=AAx+BAy 函数若在某区域D内各点处处可微分,则称这函数在D内可微分 如果函数=f(x,y)在点(x,y)可微分,则函数在该点连续 事实上A=AAx+B△y+o(p),imA=0, lim f(x+Ar, y+Ay)=lim[f(x,y)+A=f(x, y) 故函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续 二、可微的条件 定理1(必要条件)如果函数=f(x,y)在点(x,y)可微分,则该函数在点 (xy)的偏导数一、一必存在,且函数二=f(x,y)在点(x,y)的全徽分为 证如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分,P(x+Ax,y+△y)∈P的某个

教 学 内 容 一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f (x + x, y) − f (x, y) f x y x  x ( , ) f (x, y + y) − f (x, y) f x y y  y ( , ) 全增量的概念： 如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 的某邻域内有定义，并设 P(x + x, y + y) 为 这 邻 域 内 的 任 意 一 点 ， 则 称 这 两 点 的 函 数 值 之 差 f (x + x, y + y) − f (x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量 x,y 的全增量，记 为 z ，即 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) 全 微 分 的 定 义 ： 如果函数 z = f (x, y) 在 点 (x, y) 的全增量 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) 可 以 表示 为 z = Ax + By + o() ，其中 A, B 不依赖于 x,y 而仅与 x, y 有关， 2 2  = (x) + (y) ，则称函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微分， Ax + By 称为函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 的全 微分，记为 dz ，即 dz = Ax + By . 函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数在 D 内可微分. 如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微分, 则函数在该点连续. 事实上 z = Ax + By + o(), lim 0, 0  = → z  lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → lim[ ( , ) ] 0 = f x y +z → = f (x, y) 故函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续. 二、可微的条件 定理 1（必要条件） 如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微分，则该函数在点 (x, y) 的偏导数 x z   、 y z   必存在，且函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分为 y y z x x z dz     +   = ． 证 如果函数 z = f (x, y) 在点 P(x, y) 可微分, P(x + x, y + y)  P 的某个

邻域△=AAx+B△y+o()总成立,当△y=0时,上式仍成立,此时p=△x|, f(x+△x,y)-f(x,y)=A·Ax+o(△xD)m(x+Ax,y)-f(x,y) =A 同理可得B= 元函数在某点的导数存在,微分存在.微分存在一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在不能保证全微分存在 x2+y2≠0 例如,f(x,y)={√x2+y x+ 在点(00)处有f(0.0)=f(0.0)=0 △r·△ fx(00)·Ax+f,(0),Ay]= √△x)2+(4y)2 如果考虑点P(Δx,△y)沿着直线y=x趋近于(0,0) △r·△p (△x)2+(△Ay)2 Ax·△ 则 △x)2+(△x 说明它不能随着p→0而趋于0,当p→0时, A-Lx(0.0)·Ax+f(0.0)·△y]≠o(p) 函数在点(0,0)处不可微 说明:多元函数的各偏导数存在并不能保证全徽分存在 定理2(充分条件)如果函数=f(x,)的偏导数2、正在点(x,y)连续, 则该函数在点(x,y)可微分. 证Az=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y) =lf(x+Ar, y+Ay)-f(x,y+Ay) +lf(x,y+Ay)-f(x, y)l 在第一个方括号内,应用拉格朗日中值定理 f(x+Ax,y+△y)-f(x,y+△y)

邻域 z = Ax + By + o() 总成立, 当 y = 0 时，上式仍成立，此时  =| x | , f (x + x, y) − f (x, y) = Ax + o(| x |), A x f x x y f x y x =  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 , x z   = 同理可得 . y z B   = 一元函数在某点的导数存在, 微分存在．微分存在, 一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在,不能保证全微分存在． 例如, . 0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2      + = +  = + x y x y x y x y f x y 在点 (0,0) 处有 f x (0,0) = f y (0,0) = 0 z [ f (0,0) x f (0,0) y]  − x  + y  , ( ) ( ) 2 2 x y x y  +    = 如果考虑点 P(x,y) 沿着直线 y = x 趋近于 (0,0) ， 则  2 2 ( x) ( y) x y  +    2 2 ( x) ( x) x x  +    = , 2 1 = 说明它不能随着  → 0 而趋于 0, 当  → 0 时， z [ f (0,0) x f (0,0) y] o(),  − x  + y   函数在点 (0,0) 处不可微. 说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在， 定理２（充分条件） 如果函数 z = f (x, y) 的偏导数 x z   、 y z   在点 (x, y) 连续， 则该函数在点 (x, y) 可微分． 证 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) = [ f (x + x, y + y) − f (x, y + y)] +[ f (x, y + y) − f (x, y)], 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理 f (x + x, y + y) − f (x, y + y)

f∫(x+Ax,y+△y)Ax(00,y→0时,E1→>0 同理f(x,y+4y)-f(x,y)=J(x,y)Ay+624y,当Ax→0,4y→0时 E1→>0 A- =f(, y)Ax+E4x +f,(x, y)Ay+E2Ay Ax+E,Δ ≤l|+|2 故函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微 习惯上,记全微分为sQ db dy 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的 微分符合叠加原理 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 ou du=dx +dy+dz 叠加原理也适用于二元以上函数的情况 例1计算函数=e在点(2,1)处的全微分 = xe yl(2.1) 所求全微分d=edx+2edy 例2求函数z=yos(x-2y),当x=x,y=丌,=丌,如=时的全微 分 解 yin(x-2y)

f x x y y x = x ( +1 , +  ) (0 1) 1  f x y x x = x ( , ) + 1 （依偏导数的连续性） 其中 1  为 x, y 的函数, 且当 x → 0,y → 0 时， 1 →0. 同 理 f (x, y + y) − f (x, y) ( , ) , 2 f x y y y = y  +  当 x → 0,y → 0 时 ， 1 → 0, z f x y x x = x ( , ) + 1 f x y y y + y ( , ) + 2 1 2 1 2       + x + y  0, ⎯→⎯0→ 故函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处可微. 习惯上，记全微分为 dy. y z dx x z dz   +   = 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的 微分符合叠加原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 dz. z u dy y u dx x u du   +   +   = 叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 例 1 计算函数 xy z = e 在点 (2,1) 处的全微分. 解 , xy ye x z =   , xy xe y z =   , 2 (2,1) e x z =   2 , 2 (2,1) e y z =   所求全微分 2 . 2 2 dz = e dx + e dy 例 2 求函数 z = y cos(x − 2y) ，当 4  x = ， y =  ， 4  dx = ，dy =  时的全微 分. 解 y sin( x 2y), x z = − −  

cos(x-2y)+2ysin( x-2y) x dy 丌(4-7) 例3计算函数M=x+sn2+eF的全微分 A 所求全微分d=d+(cos2+2e2)h+ye止 (x,y)≠(00) 例4试证函数f(x,y)= 在点(0,0)连续且偏 0 (x,y)=(0,0) 导数存在,但偏导数在点(00)不连续,而∫在点(0,0)可微 思路:按有关定义讨论;对于偏导数需分(x,y)≠(0,0),(x,y)=(0,0)讨论 证令 则 lim xysn lim p sin 0 cos0.sin -=0=f(0, 0) (x,y)→(0,0) 故函数在点(0,0)连续 f(Ax0)-f(0,0) 0-0 f1(0.0)=Iin lim 同理f(0.0)=0 当(x,y)≠(0,0)时 f(x,y)=ysm I 当点P(x,y)沿直线y=x趋于(00)时, lim f(,)=limxsin 不存在 所以f(x,y)在(0,0)不连续

cos(x 2y) 2y sin( x 2y), y z = − + −   dy y z dx x z dz , ) 4 ( , ) 4 ( , ) 4 (         +   = (4 7 ). 8 2 =  −  例 3 计算函数 yz e y u = x + + 2 sin 的全微分. 解 =1,   x u , 2 cos 2 1 yz ze y y u = +   , yz ye z u =   所求全微分 ) . 2 cos 2 1 ( ze dy ye dz y du dx yz yz = + + + 例 4 试证函数      =  = + 0, ( , ) (0,0) , ( , ) (0,0) 1 sin ( , ) 2 2 x y x y x y x y f x y 在点 (0,0) 连续且偏 导数存在，但偏导数在点 (0,0) 不连续，而 f 在点 (0,0) 可微. 思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 (x, y)  (0,0) ，(x, y) = (0,0) 讨论. 证 令 x =  cos , y =  sin , 则 ( , ) (0,0) 2 2 1 lim sin x y xy x y + →      1 lim sin cos sin 2 0 =  → = 0 = f (0,0), 故函数在点 (0,0) 连续, f x (0,0) = x f x f x   −  → ( ,0) (0,0) lim 0 0, 0 0 lim 0 =  − = x→ x 同理 (0,0) = 0. y f 当 (x, y)  (0,0) 时， f x (x, y) = , 1 cos ( ) 1 sin 2 2 3 2 2 2 2 2 x y x y x y x y y + + − + 当点 P(x, y) 沿直线 y = x 趋于 (0,0) 时, lim ( , ) ( , ) (0,0) f x y x x x → , 2 | | 1 cos 2 | | 2 2 | | 1 lim sin 3 3 0         = − → x x x x x x 不存在. 所以 f (x, y) x 在 (0,0) 不连续

同理可证,(x,y)在(0,0)不连续 △f=f(△x,Ay)-f(0,0)=△xAy·sn Ax)2+(△y)2 =o(√(△x)2+(△y)2) 故f(x,y)在点(0)可微do0=0 多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导 函数可微 偏导数连续 全微分在近似计算中的应用 当二元函数z=f(x,y)在点P(x,y)的两个偏导数f(x,y f(x,y)连续,且Ax4y都较小时,有近似等式 Ae==f(x, y)Ax+f(x, y)Ay 也可写成f(x+Ax,y+4y)≈f(x,y)+∫2(x,y)△x+f,(x,y)Ay 例5计算(104)202的近似值 解设函数f(x,y)=x2. 取x=1,y=2,△x=004,△y=0.02 f(1,2)=1, f(x,y)=yx,f,(x,y)=x'hx

同理可证 f (x, y) y 在 (0,0) 不连续. f = f (x,y) − f (0,0) 2 2 ( ) ( ) 1 sin x y x y  +  =    ( ( ) ( ) ) 2 2 = o x + y 故 f（x, y) 在点 (0,0) 可微 0. (0,0) df = 多元函数连续、可导、可微的关系 全微分在近似计算中的应用 连续，且 都较小时，有近似等式 当二元函数 在点 的两个偏导数 f x y x y z f x y P x y f x y y x   = ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ), z dz f (x, y) x f (x, y) y.   = x  + y  也可写成 f (x x, y y) f (x, y) f (x, y) x f (x, y) y. +  +   + x  + y  例 5 计算 2.02 (1.04) 的近似值. 解 ( , ) . y 设函数 f x y = x 取 x =1, y = 2, x = 0.04, y = 0.02.  f (1,2) =1, ( , ) , −1 = y x f x y yx f (x, y) x ln x, y y = 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导

f(,2)=2,f,(12)=0, 由公式得(104)20≈1+2×0.04+0×0.02=1.08 三、小结 1、多元函数全微分的概念 2、多元函数全微分的求法 3、多元函数连续、可导、可微的关系 (注意:与一元函数有很大区别) 思考题 函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微的充分条件是 (1)f(x,y)在点(x0,y)处连续; (2)f(x,y)、f(x,y)在点(x0,y)的 某邻域存在 (3)A-f(x, y)Ax-f(x,y)Ay (△x)2+(Ay)2→0时是无穷小量 (4) A-,(x, y)Ax-f,(x,y)Ay (△x)2+(△y)2 当√(△x2+(Ay)2→>0时是无穷小量

(1,2) = 2, x f (1,2) = 0, y f 由公式得 (1.04) 1 2 0.04 0 0.02 2.02  +  +  =1.08. 三、小结 １、多元函数全微分的概念； ２、多元函数全微分的求法； ３、多元函数连续、可导、可微的关系 （注意：与一元函数有很大区别） 思考题 函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处可微的充分条件是: （1） f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处连续； （2） f (x, y) x  、 f (x, y) y  在点 ( , ) 0 0 x y 的 某邻域存在； （3） z f x y x f x y y x y    −   − ( , ) ( , ) ， 当 ( ) ( ) 0 x 2 + y 2 → 时是无穷小量； （4） 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) x y z f x y x f x y y x y  +     −   − , 当 ( ) ( ) 0 x 2 + y 2 → 时是无穷小量