章节题目 第二节二重积分的计算法(1) 利用直角坐标系计算二重积分 内容提要 利用直角坐标计算二重积分 重点分析 二重积分化为二次积分时积分次序的选择及积分限的选择 难点分析 题Pa31(单)、2(单)、4、6(单、8、10 布 备注
1 章 节 题 目 第二节 二重积分的计算法（1） 内 容 提 要 利用直角坐标系计算二重积分 重 点 分 析 利用直角坐标计算二重积分 难 点 分 析 二重积分化为二次积分时积分次序的选择及积分限的选择 习 题 布 置 P103 1（单）、2（单）、4、6（单）、8、10 备 注
教学内容 、利用直角坐标系计算二重积分 如果积分区域为:a≤x≤b,1(x)≤y≤02(x) q2(x) y=p(r) y=p(x) b 其中函数q(x)、q2(x)在区间[a,b]上连续 f(x,y)do的值等于以D为底,以曲面z=f(xy) 为曲顶柱体的体积 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得j/(xy=axy地h f(x,y) A(x0) y=9(x) 如果积分区域为:c≤y≤d,(y)≤x≤q2(y) Y一型]
2 教 学 内 容 一、利用直角坐标系计算二重积分 如果积分区域为： a x b, ( ) ( ). 1 2 x y x ［X－型］ 其中函数 ( ) 1 x 、 ( ) 2 x 在区间 [a,b] 上连续. 为曲顶柱体的体积． f (x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z f (x, y) D = 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得 ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D b a x x f x y d dx f x y dy 如果积分区域为： c y d, ( ) ( ). 1 2 y x y ［Y－型］ ( ) 2 y = x a b D ( ) 1 y = x D b a ( ) 2 y = x ( ) 1 y = x a 0 x b z y x ( ) 0 A x z = f (x, y) ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x
y d q?1() x=() D x=2(y) fff(x, y)do= d of(x, y)d Ⅹ型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 若区域如图,则必须分割 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 ∫+j+∫ 例1改变积分[af(xy)h的次序 解积分区域如图 原式=[4df(x,y)
3 ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D d c y y f x y d dy f x y dx X 型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y 型区域的特点：穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图，则必须分割. 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 . 1 2 3 = + + D D D D 例 1 改变积分 −x dx f x y dy 1 0 1 0 ( , ) 的次序. 解 积分区域如图 原式 − = y dy f x y dx 1 0 1 0 ( , ) . ( ) 2 x = y ( ) x =1 y D c d c d ( ) 2 x = y ( ) x =1 y D D3 D2 D1
020.40.60.81 例2改变积分”(xy)十∫广(x)的次序 解积分区域如图 5 原式=4:(xy 例3改变积分厂4m:/xy)b(a>0)的次序 解 y 2ax y=√2ax-x2→x=a±√a2-y
4 例 2 改变积分 − − + x x x dx f x y dy dx f x y dy 2 0 2 1 2 0 1 0 ( , ) ( , ) 2 的次序. 解 积分区域如图 原式 − − − = 1 0 2 1 1 2 ( , ) y y dy f x y dx . 例 3 改变积分 ( , ) ( 0) 2 0 2 2 2 − dx f x y dy a a ax ax x 的次序. 解 a y y ax x 2 2 2 = = 2 y = 2ax − x 2 2 x = a a − y y =1− x y = 2 − x 2 y = 2x − x a 2a 2a a
原式小上”(xy+[小 JaRf(, y)dx+/dyvl2f(r,y)dx 例4求』(x2+yb,其中D是由抛物线y=x2和x=y2所围平面闭区域 解两曲线的交点 →(0,0),(1,1) I(x+y)dxdy =l,(x+y)dy SIx(x-x)+3ex-x')d 例5求∫ x'e"drdy,其中D是以0.o)(0).顶点的三角形 解[e-'dh无法用初等函数表示 积分时必须考虑次序 ∫xedh=∫dxed=e d=[e2.b2=(1- 0.2 0.20.40.60.81 例6计算积分1=小+可 解 edx不能用初等函数表示 ∴先改变积分次序 原式==e=x(e-eh3
5 原式= a a− a −y a dy y f x y dx 0 2 2 2 2 ( , ) + − + a a a a y dy f x y dx 0 2 2 2 ( , ) ( , ) . 2 2 2 2 + a a a a dy y f x y dx 例 4 求 + D (x y)dxdy 2 ，其中 D 是由抛物线 2 y = x 和 2 x = y 所围平面闭区域. 解 两曲线的交点 (0,0) , (1,1), 2 2 = = x y y x + D (x y)dxdy 2 = + 1 0 2 2 ( ) x x dx x y dy x x x (x x )]dx 2 1 [ ( ) 2 4 1 0 2 = − + − . 140 33 = 例 5 求 − D y x e dxdy 2 2 ，其中 D 是以 (0,0),(1,1), (0,1) 为顶点的三角形. 解 − e dy y 2 无法用初等函数表示 积分时必须考虑次序 − D y x e dxdy 2 2 − = y y dy x e dx 0 2 1 0 2 dy y e y = − 1 0 3 3 2 2 1 0 2 6 2 dy y e y = − ). 2 (1 6 1 e = − 例 6 计算积分 = y x y I dy e dx 2 1 2 1 4 1 + y y x y dy e dx 1 2 1 . 解 e dx x y 不能用初等函数表示 先改变积分次序. 原式 = = x x x y I dx e dy 2 2 1 1 = − 1 2 1 x(e e )dx x . 2 1 8 3 = e − e
y .20.40,60.8 例7求由下列曲面所围成的立体体积,z=x+y,z=xy,x+y=1,x=0 0. 解曲面围成的立体如图 x J .25 所围立体在xoy面上的投影是 020.4.60.81 0≤x+y≤1,∴x+y≥xy
6 例 7 求由下列曲面所围成的立体体积， z = x + y ， z = xy， x + y =1， x = 0 ， y = 0 . 解 曲面围成的立体如图. 所围立体在 xoy 面上的投影是 0 x + y 1, x + y xy, 2 y = x y = x
所求体积=(x+y-xy)d=[dx(x+y-xy) x-x)+2(-x) 小结 二重积分在直角坐标下的计算公式 f(x,y)d=dxf(x,y):[X一型] e1(x) (xy=[”)(xy)kY型 (在积分中要正确选择积分次序) 思考题 设f(x)在D上连续,并设[(x)=A, 求4(( 思考题解答 ()不能直接积出 改变积分次序 令I=[dxf(x)f(y)h 则原式=[d[f(x)f(y)dt.=f(x)xf(y)h
7 所求体积 = + − D V (x y xy)d − = + − 1 0 1 0 ( ) x dx x y xy dy = − + − 1 0 3 (1 ) ] 2 1 [x(1 x) x dx . 24 7 = 二、小结 二重积分在直角坐标下的计算公式 ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D b a x x f x y d dx f x y dy ［X－型］ ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D d c y y f x y d dy f x y dx ［Y－型］ （在积分中要正确选择积分次序） 思考题 设 f (x) 在 [0,1] 上连续，并设 f x dx = A 1 0 ( ) ， 求 1 1 0 ( ) ( ) x dx f x f y dy . 思考题解答 1 ( ) x f y dy 不能直接积出, 改变积分次序. 令 = 1 1 0 ( ) ( ) x I dx f x f y dy , 则原式 = y dy f x f y dx 0 1 0 ( ) ( ) . ( ) ( ) , 0 1 0 = x f x dx f y dy