章节题目 第六节平均值 函数的平均值 均方根 内容提要 函数平均值的求法、思想 重点分析 求函数平均值的思想 难点分析 题|P2n7:1、4 布 备注
1 章 节 题 目 第六节 平均值 内 容 提 要 函数的平均值 均方根 重 点 分 析 函数平均值的求法、思想 难 点 分 析 求函数平均值的思想 习 题 布 置 P367 ：1、4 备 注
教学内容 函数的平均值 实例:用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述这个班的成绩的概貌 J1+ y 算术平均值公式 只适用于有限个数值 问题:求气温在一昼夜间的平均温度. 入手点:连续函数f(x)在区间[a,6]上的平均值 讨论思想:分割、求和、取极限 (1)分割:把区间[a,b]分成n等分a=x0<x1<x2<…<xn1<xn=b,每个小 区间的长度Ax= (2)求和:设各分点处的函数值为y,y1,y2…y,函数f(x)在区间[a,6]上的 平均值近似为+++yn=; (3)取极限:每个小区间的长度趋于零函数∫(x)在区间[a,b上的平均值为 j=lm3++y2+ n jny++y2+“!,b-a b 6-a Ar+05//Ax im∑f(x1)Ax, f(x)da 几何平均值公式 b 区间长度 (b-a)y=(b-a)f(2) 例1计算纯电阻电路中正弦交流电i= I sin ot在一个周期上的功率的平均值 (简称平均功率) 解:设电阻为R,则电路中的电压为u=iR= I Rsin ot 功率P=l= / Rsn2ot,一个周期区间[,-], 平均功率=1021Rsb I Rsinotdt sin otd(ot) 2
2 教 学 内 容 一、函数的平均值 实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述这个班的成绩的概貌. 问题：求气温在一昼夜间的平均温度. 入手点：连续函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的平均值. 讨论思想：分割、求和、取极限. （1）分割：把区间 [a,b] 分成 n 等分 , a = x0 x1 x2 xn−1 xn = b 每个小 区间的长度 ; n b a x − = （2）求和：设各分点处的函数值为 n y , y , y , , y 0 1 2 ，函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的 平均值近似为 ; 0 1 2 1 n y y y y + + + n− （3）取极限：每个小区间的长度趋于零. 函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的平均值为 lim , 0 1 2 1 n y y y y y n n − → + + + = n b a b a y y y y y n n − − + + + = − → 0 1 2 1 lim （ n b − a = x ） = − → − = n i i x y x b a 1 1 0 lim 1 lim ( ) , 1 1 1 0= − → − = n i i x f x x b a 例 1 计算纯电阻电路中正弦交流电 i I t = m sin 在一个周期上的功率的平均值 （简称平均功率）. 解：设电阻为 R ，则电路中的电压为 u = iR I Rsin t, = m 功率 p = ui sin , 2 2 I R t = m 一个周期区间 ], 2 [0, 平均功率 p I R tdt m 2 2 2 0 sin 1 2 = p I R tdt m 2 2 2 0 sin 1 2 = sin ( ) 2 2 0 2 2 td t Im R = n y y y y + + n = 1 2 算术平均值公式 只适用于有限个数值 − = b a f x dx b a y ( ) 1 几何平均值公式 区间长度 = (b − a) y = (b − a) f ( )
I-R Im R ot-sin 2ot 2 /R R (U=IR 结论:纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的二分 二、均方根 通常交流电器上标明的功率就是平均功率.交流电器上标明的电流值都是一种特 定的平均值,习惯上称为有效值 周期性非恒定电流i(如正弦交流电)的有效值规定如下:当(1)在它的一个周期T 内在负载电阻R上消耗的平均功率,等于取固定值的恒定电流在R上消耗的功 率时,称这个值为()的有效值 有效值计算公式的推导 固定值为/的恒定电流在R上消耗的功率为Ⅰ2R,电流(1)在R上消耗的功率为 户()R它在0T上的平均功率为5(0),按定义有FR=5e(0 (M甲=V 正弦交流电1(1)= l sn ot的有效值: tdu d(or) 4r ot Sin 2ot 2 结论:正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 函数/()在a上的均方根[f(x)tx b
3 (1 cos 2 ) ( ) 4 2 0 2 t d t Im R = − 2 0 2 2 sin 2 4 = − t t Im R 2 4 2 = Im R 2 2 Im R = . 2 mUm I = (U I R) m = m 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的二分 之一． 二、均方根 通常交流电器上标明的功率就是平均功率．交流电器上标明的电流值都是一种特 定的平均值，习惯上称为有效值． 周期性非恒定电流 i （如正弦交流电）的有效值规定如下：当 i(t) 在它的一个周期 T 内在负载电阻 R 上消耗的平均功率，等于取固定值 I 的恒定电流在 R 上消耗的功 率时，称这个值 I 为 i(t) 的有效值. 有效值计算公式的推导 固定值为 I 的恒定电流在 R 上消耗的功率为 I R 2 ,电流 i(t) 在 R 上消耗的功率为 i (t)R 2 ,它在 [0,T] 上的平均功率为 ( ) , 1 0 2 T i t Rdt T 按定义有 ( ) , 1 0 2 2 = T i t Rdt T I R = T i t dt T I 0 2 2 ( ) 1 即 ( ) . 1 0 2 = T i t dt T I 正弦交流电 i t I t ( ) = m sin 的有效值： I I tdt m 2 0 2 2 sin 1 2 = ( ) 2 2 0 2 2 sin td t Im = 2 0 2 2 sin 2 4 = − t t Im . 2 m I = 结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的 2 1 函数 f (x) 在 [a,b] 上的均方根 ( ) . 1 2 − b a f x dx b a
三、小结 函数的平均值yb-a f(x) 函数的有效值广f(k (理解平均功率、电流的有效值等概念) 思考题 有一根长为a的细棒,其上任一点x(棒的一端与原点重合)的密度p=bx2+c 求棒的平均密度 思考题解谷 棒的平均密度为密度函数在[0,a]上的平均值 a-0 cbr+c)dh ab+c
4 三、小结 函数的平均值 ( ) ; 1 − = b a f x dx b a y 函数的有效值 ( ) . 1 2 − b a f x dx b a （理解平均功率、电流的有效值等概念） 思考题 有一根长为 a 的细棒，其上任一点 x （棒的一端与原点重合）的密度 = bx + c 2 ， 求棒的平均密度. 思考题解答 棒的平均密度为密度函数在 [0, a] 上的平均值. + − = a bx c dx a 0 2 ( ) 0 1 . 3 1 2 = a b + c