章节题目 第八节空间直线及其方程 空间直线的一般方程 空间直线的对称式方程与参数方程 两直线的夹角 内\直线与平面的夹角 容提要 直线方向向量的求法 直线与直线的位置关系 |直线与平面的夹角 占 分 析 直线方程的求法 难点分析 习pn:3、5、9、13、15 题布置 备注
1 章 节 题 目 第八节 空间直线及其方程 内 容 提 要 空间直线的一般方程 空间直线的对称式方程与参数方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角 重 点 分 析 直线方向向量的求法 直线与直线的位置关系 直线与平面的夹角 难 点 分 析 直线方程的求法 习 题 布 置 P431：3、5、9、13、15 备 注
教学内容 空间直线的一般方程 定义空间直线可看成两平面的交线 ∏1:Ax+By+C1=+D1=0 ∏2:A2x+B2y+C2+D2=0 ∫4x+By+C=2+D=0 空间直线的一般方程 4x+By+C2+D2=0 空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量的定义:如果一非零向量平行于一条已知直线,这个向量称为这条直线 的方向向量 M6(x0,y0,=0),M(x,y=) M∈L,M0M∥ s=m, n, p), MoM=(x-xo, y-yo, =-=03 x-xy-y=三-0直线的对称式方程 令 y-y=三-0=t,m,n,p直线的一组方向数 P
2 教 学 内 容 一、空间直线的一般方程 定义 空间直线可看成两平面的交线． 1 : A1 x + B1 y +C1 z + D1 = 0 2 : A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 + + + = + + + = 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线 的方向向量． ( , , ), 0 0 0 0 M x y z M (x, y,z), M L, M M//s 0 s = {m, n, p}, { , , } 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − 直线的对称式方程 令 t p z z n y y m x x = − = − = − 0 0 0 ，m, n, p 直线的一组方向数 x y z o 1 2 L x y z o L s M0 M
方向向量的余弦称为直线的方向余弦 x=xo +mt y=y0+m直线的参数方程 例1用对称式方程及参数方程表示直线 +z+1=0 2x-y+3+4=0 解在直线上任取一点(x0,y0,二0) 取 x=1=/1+-0+2=0 3z-6=0 解得y=0,=0=-2 点坐标(1,0,-2) 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取S=n1×五2={4,-1,-3}, 对称式方程 x-1y-0二+2 x=1+4t 参数方程y=-1 例2一直线过点(2,-3,4),且和y轴垂直相交,求其方程 解因为直线和y轴垂直相交, 所以交点为B(0,-3,O) 取S=BA={2,0,4}, 所求直线方程 sp+3-4 0 三、两直线的夹角 定义两直线的方向向量的夹角称之.(锐角) 直线L1 x-x y-y1 直线L2 P
3 方向向量的余弦称为直线的方向余弦. = + = + = + z z pt y y nt x x mt 0 0 0 直线的参数方程 例 1 用对称式方程及参数方程表示直线 . 2 3 4 0 1 0 − + + = + + + = x y z x y z 解 在直线上任取一点 ( , , ) 0 0 0 x y z 取 x0 =1 , 3 6 0 2 0 0 0 0 0 − − = + + = y z y z 解得 y0 = 0, z0 = −2 点坐标 (1,0,−2), 因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 n1 n2 s = ={4,−1,−3}, 对称式方程 , 3 2 1 0 4 1 − + = − − = x − y z 参数方程 . 2 3 1 4 = − − = − = + z t y t x t 例 2 一直线过点 (2,−3,4) ，且和 y 轴垂直相交，求其方程. 解 因为直线和 y 轴垂直相交, 所以交点为 B(0,−3, 0), 取 s = BA = {2, 0, 4}, 所求直线方程 . 4 4 0 3 2 2 − = + = x − y z 三、两直线的夹角 定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角） 直线 : L1 , 1 1 1 1 1 1 p z z n y y m x x − = − = − 直线 : L2 , 2 2 2 2 2 2 p z z n y y m x x − = − = −
cos(LA,)= I m,m,+n,n2+pipal 两直线的夹角公式 两直线的位置关系 (1)L1⊥L2<→mm2+n12+P1P2=0, (2)L∥L2 n p2 例如,直线L1:={1-40} 直线L2:2={00,1 S·s2=0,∴S1⊥52,即L⊥L2 例3求过点(-3,2,5)且与两平面x-4=3和2x-y-5z=1的交线平行的直线 方程 解设所求直线的方向向量为={m,n,p} 根据题意知§⊥n1,S⊥n2 取S=nXn2={-4-3-1}, 所求直线的方程 x+3y-2z-5 例4求过点M(21,3)且与直线x+1y-1 =二垂直相交的直线方程 2 解先作一过点M且与已知直线垂直的平面∏I 3(x-2)+2(y-1)-(二-3)=0 再求已知直线与该平面的交点N x=3t-1 x+1 2t+1 代入平面方程得t= 7,交点M133 取所求直线的方向向量为MN 12624 MN={=-2,-1,-=-3}={ 777
4 两直线的夹角公式 两直线的位置关系： 1 2 (1) L ⊥ L 0, m1m2 +n1n2 + p1 p2 = 1 2 (2) L // L , 2 1 2 1 2 1 p p n n m m = = 例如，直线 : L1 {1, 4, 0}, s1 = − 直线 : L2 {0,0,1}, s2 = 0, s1 s2 = , 1 2 s s ⊥ . 即 L1 ⊥ L2 例 3 求过点 (−3,2,5) 且与两平面 x − 4z = 3 和 2x − y − 5z =1 的交线平行的直线 方程. 解 设所求直线的方向向量为 s = {m, n, p}, 根据题意知 , n1 s ⊥ , n2 s ⊥ 取 n1 n2 s = = {−4,−3,−1}, 所求直线的方程 . 1 5 3 2 4 3 − = − = x + y z 例 4 求过点 M (2,1,3) 且与直线 2 1 1 3 1 − = − = x + y z 垂直相交的直线方程. 解 先作一过点 M 且与已知直线垂直的平面 3(x − 2) + 2( y −1) − (z −3) = 0 再求已知直线与该平面的交点 N, 令 t x y z = − = − = + 2 1 1 3 1 2 1. 3 1 = − = + = − z t y t x t 代入平面方程得 7 3 t = , 交点 ) 7 3 , 7 13 , 7 2 N( − 取所求直线的方向向量为 MN MN 3} 7 3 1, 7 13 2, 7 2 ={ − − − − }, 7 24 , 7 6 , 7 12 = {− − 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 | | cos( , ) m n p m n p m m n n p p L L + + + + + + ^ =
所求直线方程为~2y-1z-3 四、直线与平面的夹角 定义直线和它在平面上的投影直线的夹角q称为直线与平面的夹角 0≤o< L:x-0=y-0=--o, 5=(m, n, p) P II: Ax+ By+C=+D=0, n=(A,B,C), (S,)=+ sIn cos I Am+Bn +CpI sin 直线与平面的夹角公式 A2+B2+C2·Vm2+n2+p2 直线与平面的位置关系 AB C (1)L⊥∏←→ (2)LI Am+ Bn +Cp=0 例5设直线L x-1 y 平面∏:x-y+2==3,求直线与平面的夹 角 解n={1-1,2},3={2,-1,2} sin p= I Am+ Bn+CpI A2+B2+C2·√m2+n2+p2 1×2+(-1)×(-1)+2×2
5 所求直线方程为 . 4 3 1 1 2 2 − = − − = x − y z 四、直线与平面的夹角 定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角． 0 . 2 : , 0 0 0 p z z n y y m x x L − = − = − s = {m, n, p}, : Ax + By +Cz + D = 0, n = {A, B,C}, = − 2 sin cos . 2 cos = + 2 2 2 2 2 2 | | sin A B C m n p Am Bn Cp + + + + + + = 直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系： (1) L ⊥ . p C n B m A = = (2) L// Am + Bn +Cp = 0. 例 5 设直线 L : 2 1 2 1 1 + = − = x − y z ，平面 : x − y + 2z = 3 ，求直线与平面的夹 角. 解 n ={1,−1,2}, s = {2,−1,2}, 2 2 2 2 2 2 | | sin A B C m n p Am Bn Cp + + + + + + = 6 9 |1 2 ( 1) ( 1) 2 2 | + − − + = = − 2 (s, n) ^ = + 2 (s, n) ^
3√6 q= arcsin=为所求夹角 6 五、小结 空间直线的一般方程 空间直线的对称式方程与参数方程 两直线的夹角.(注意两直线的位置关系) 直线与平面的夹角 (注意直线与平面的位置关系) 思考题 在直线方程 x-4y-2 中,m、n、p各怎样取值时,直线与坐标面x 2m n 6+p y0都平行 思考题解答 §={2m,n,6+p},且有§≠0 s·k=0.s·i=0 6+Pp=0 2m=0 .p=-6,m=0 ≠0,∴,n≠0, 故当m=0,n≠0,P=-6时结论成立
6 . 3 6 7 = 3 6 7 = arcsin 为所求夹角． 五、小结 空间直线的一般方程. 空间直线的对称式方程与参数方程. 两直线的夹角. （注意两直线的位置关系） 直线与平面的夹角. （注意直线与平面的位置关系） 思考题 在直线方程 p z n y m x + − = = − 6 2 2 4 中， m 、n 、p 各怎样取值时，直线与坐标面 xoy、 yoz 都平行. 思考题解答 s ={2m,n,6 + p}, 且有 0. s s k = 0, s i = 0, = + = 2 0 6 0 m p p = −6, m = 0, 0, s n 0, 故当 m = 0, n 0, p = −6 时结论成立．