章节题目 第二节、定积分的性质、中值定理 定积分的性质 典型问题:估计积分值,不计算定积分比较积分大小 内容提要 估值性质 积分中值定理的几何意义及应用 重点分析 利用估值性质估计积分的值 难点分析 习P:2(2)(3)、3(1)、4(1)(3)(5) 题布置 备注
章 节 题 目 第二节、定积分的性质、中值定理 内 容 提 要 定积分的性质 典型问题：估计积分值，不计算定积分比较积分大小 重 点 分 析 估值性质 积分中值定理的几何意义及应用 难 点 分 析 利用估值性质估计积分的值 习 题 布 置 P286：2（2）（3）、3（1）、4（1）（3）（5） 备 注
教学内容 基本内容 对定积分的补充规定 (1)当a=b时,[f(x)dx=0; (2)当a>b时,[f(x)dr=-f(x)d 说明:在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小 性质1[U(gx)b=/()士g(x 证明:C(x)g(x)=加U/(5)士8(5)Ax =im∑f(5)x±m∑8(5)Ax1=f(x)d±g(xtx (此性质可以推广到有限多个函数作和的情况) 性质2[6f(x)tx=k[f(x)x(k为常数 证明:J6(x)=m∑(5)Ax=m∑/(5)A =kmn∑f(5)x=kf(x)t 性质3假设a<c<b,[f(x)hx=f(x)tx+[f(x)d 补充:不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立 例若a<b<c(x女=/(x)+(xM gu f(x)dx= f(x)dx-f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx (定积分对于积分区间具有可加性 性质41·ax=ax=b-a 性质5如果在区间ab]上f(x)20,则f(x)20.(a<b) 证:∵∫(x)≥0,∴f(5;)≥0,(=1,2,…,n) Ax20,…∑f(5)x20,=mx{Ax1,Ax2…xn}
教 学 内 容 一、基本内容 对定积分的补充规定: （1）当 a = b 时， ( ) = 0 b a f x dx ； （2）当 a b 时， = − a b b a f (x)dx f (x)dx . 说明： 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小． 性质 1 b a [ f (x) g(x)]dx = b a f (x)dx b a g(x)dx . 证明：： b a [ f (x) g(x)]dx i i i n i = f g x = → lim [ ( ) ( )] 1 0 i i n i = f x = → lim ( ) 1 0 i i n i g x = → lim ( ) 1 0 = b a f (x)dx ( ) . b a g x dx （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质 2 = b a b a kf(x)dx k f (x)dx ( k 为常数). 证明： b a kf(x)dx i i n i = kf x = → lim ( ) 1 0 i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 i i n i = k f x = → lim ( ) 1 0 ( ) . = b a k f x dx 性质 3 假设 a c b， b a f (x)dx = + b c c a f (x)dx f (x)dx . 补充：不论 a,b, c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a b c, c a f (x)dx = + c b b a f (x)dx f (x)dx 则 b a f (x)dx = − c b c a f (x)dx f (x)dx ( ) ( ) . = + b c c a f x dx f x dx （定积分对于积分区间具有可加性） 性质 4 dx b a 1 dx b a = = b −a . 性质 5 如果在区间 [a,b] 上 f (x) 0 ，则 ( ) 0 f x dx b a . (a b) 证： f (x) 0, ( ) 0, i f (i =1,2, ,n) 0, i x ( ) 0, 1 = i i n i f x max{ , , , } 1 2 n = x x x
m∑f(5Ax=f(x)t20 例1比较积分值[ex和[xx的大小 解:令∫(x)=e2-x,x∈[-2,0] f(x)>0,∴(e2-x)dtx>0 于是c<w 性质5的推论 (1)如果在区间[ab]上f(x)≤g(x),则f(x)xtsg(x)t.(a<b) 证明:∵∫(x)≤g(x),∴g(x)-f(x)≥0, g(x)-f(x)tx≥0, gx)-/()k≥0于是f(xhsg(x 性质5的推论 (2)[/(x2C(,g<b 证明:∵-|f(x)≤f(x)≤f(x) Ca.h/(=(即(x广(a 说明:|f(x)在区间[a,6]上的可积性是显然的 性质6设M及m分别是函数∫(x)在区间[ab]上的最大值及最小值,则 m(b-a)sf(x)x≤M(b-a) 证明:∵m≤f(x)≤M,|msf(x)x≤M, n(b-a)≤f(xx≤M(b-a)(此性质可用于估计积分值的大致范围) 例2估计积分 dx的值 3+sin x 解:f(x)= yx∈Dzl0 <sin x<1,1≤1≤ 3+sinx 43+Sn tx< dx≤a2x,4 3dx≤ 3+sinx 3+sinx 例3估计积分Sx的值
i i n i f x = → lim ( ) 1 0 ( ) 0. = b a f x dx 例 1 比较积分值 e dx x −2 0 和 xdx −2 0 的大小. 解：令 f (x) e x, x = − x[−2, 0] f (x) 0, ( ) 0, 0 2 − − e x dx x e dx x − 0 2 , 0 2 xdx − 于是 e dx x −2 0 . 2 0 xdx − 性质 5 的推论： （1）如果在区间 [a,b] 上 f (x) g(x) ，则 f x dx b a ( ) g x dx b a ( ) . (a b) 证明： f (x) g(x), g(x) − f (x) 0, [ ( ) − ( )] 0, g x f x dx b a ( ) − ( ) 0, b a b a g x dx f x dx 于是 f x dx b a ( ) g x dx b a ( ) . 性质 5 的推论： （2） f x dx b a ( ) f x dx b a ( ) .(a b) 证明： − f (x) f (x) f (x), f (x)dx f (x)dx f (x)dx, b a b a b a − 即 f x dx b a ( ) f x dx b a ( ) . 说明：| f (x) |在区间 [a,b] 上的可积性是显然的. 性质 6 设 M 及 m 分别是函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的最大值及最小值，则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a − − . 证明： m f (x) M , ( ) , b a b a b a mdx f x dx Mdx m(b a) f (x)dx M(b a). b a − − （此性质可用于估计积分值的大致范围） 例 2 估计积分 dx x + 0 3 3 sin 1 的值. 解： , 3 sin 1 ( ) 3 x f x + = x[0, ], 0 sin 1, 3 x , 3 1 3 sin 1 4 1 3 + x , 3 1 3 sin 1 4 1 0 0 3 0 dx dx x dx + . 3 sin 3 1 4 0 3 + dx x 例 3 估计积分 dx x x 2 4 sin 的值
解:f(x)= r·r∈,x ,f(x) xcosx-sin x cos x(x-tan x) f(x)在[,]上单调下降,故x=2为极大点,x=x为极小点 M=f()=-,m=f()=-, b-a= 丌丌.2 -dx 244 性质7(定积分中值定理) 如果函数∫(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点5, 使(x=(b=a).(a≤5b积分中值公式) 证明:∵mb-a)≤f(xt≤M(b-a) f(x)dx≤M 由闭区间上连续函数的介值定理知:在区间[a,b]上至少存在一个点5 使得∫(5) f(x)lb,即[f(x)dx=f((b-a)(a≤5≤b) b-a 积分中值公式的几何解释: 在区间[a,b上至少存在一个点5,使得以区间[a,b]为底边,以曲线y=f(x)为 曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f()的一个矩形的面积 ∫() 例4设f(x)可导,且mf(x)=1,求lm[tsn3f(t 解:由积分中值定理知有5∈[x+21使得[“1sm3(M
解： , sin ( ) x x f x = ] 2 , 4 [ x ， 2 cos sin ( ) x x x x f x − = 2 cos ( tan ) x x x − x = f (x) 在 ] 2 , 4 [ 上单调下降, 故 4 x = 为极大点， 2 x = 为极小点, , 2 2 ) 4 ( M = f = , 2 ) 2 ( m = f = , 2 4 4 b − a = − = , 4 sin 2 2 4 2 2 4 dx x x . 2 sin 2 2 1 2 4 dx x x 性质 7（定积分中值定理） 如果函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则在积分区间 [a,b] 上至少存在一个点 ， 使 f x dx b a ( ) = f ( )(b − a) . (a b) (积分中值公式) 证明： m(b a) f (x)dx M(b a) b a − − f x dx M b a m b a − ( ) 1 由闭区间上连续函数的介值定理知：在区间 [a,b] 上至少存在一个点 ， 使得 ( ) , 1 ( ) − = b a f x dx b a f 即 f x dx b a ( ) = f ( )(b − a).(a b) 积分中值公式的几何解释： 在区间 [a,b] 上至少存在一个点 ，使得以区间 [a,b] 为底边，以曲线 y = f (x) 为 曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为 f ( ) 的一个矩形的面积。 例 4 设 f (x) 可导，且 lim ( ) =1 →+ f x x ，求 f t dt t t x x x + →+ 2 ( ) 3 lim sin . 解：由积分中值定理知有 [x, x + 2], 使得 f t dt t t x x +2 ( ) 3 sin x y o a b f ( )
lsi=f(5)(x+2-x) lim tsin f(dt =2 lim ssin = f(5)=2 lim 3f(5)=6 小结 1.定积分的性质(注意估值性质、积分中值定理的应用) 2.典型问题(1)估计积分值:(2)不计算定积分比较积分大小 思考题 定积分性质中指出,若f(x),g(x)在[a,b]上都可积,则f(x)+g(x)或f(x)g(x) [a,b]上也可积。这一性质之逆成立吗?为什么? 思考题解答 由f(x)+g(x)或f(x)g(x)在[a,b]上可积,不能断言f(x),g(x)在[a,b]上都可 x为有理数 例∫(x) j0.x为有理数 10x为无理数8()={b,x为无理数 显然f(x)+g(x)和f(x)g(x)在[0,上可积,但f(x)g(x)在[0,1上都不可积
( )( 2 ), 3 = sin f x + − x f t dt t t x x x + →+ 2 ( ) 3 lim sin ( ) 3 2 lim sin f →+ = 2 lim 3 () f →+ = = 6. 二、小结 １．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用） ２．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小． 思考题 定积分性质中指出，若 f (x), g(x) 在 [a,b] 上都可积，则 f (x) + g(x) 或 f (x)g(x) 在 [a,b] 上也可积。这一性质之逆成立吗？为什么？ 思考题解答 由 f (x) + g(x) 或 f (x)g(x) 在 [a,b] 上可积，不能断言 f (x), g(x) 在 [a,b] 上都可积。 例 = ， 为无理数 为有理数 x x f x 0 1, ( ) = ， 为无理数 为有理数 x x g x 1 0, ( ) 显然 f (x) + g(x) 和 f (x)g(x) 在 [0,1] 上可积，但 f (x), g(x) 在 [0,1] 上都不可积