章节题目 第五节高阶导数 高阶导数的定义及物理意义 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式) 内/n阶导数的求法:直接法、间接法 容提要 高阶导数的求法 重点分析 利用莱布尼兹公式求高阶导数 利用定义求高阶导数 难点分析 题26:10单)、2.3.8(2)(4).9(1)(3) 布 备注
1 章 节 题 目 第五节 高阶导数 内 容 提 要 高阶导数的定义及物理意义 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式) n 阶导数的求法：直接法、间接法 重 点 分 析 高阶导数的求法 难 点 分 析 利用莱布尼兹公式求高阶导数 利用定义求高阶导数 习 题 布 置 P126：1（单）、2、3、8（2）（4）、9（1）（3） 备 注
教学内容 高阶导数的定义 问题变速直线运动的加速度 设s=∫(),则瞬时速度为v(t)=f(r) 加速度a是速度ν对时间t变化率 a(1)=v(t)=[f() 定义: 如果函数f(x)的导数f(x)在点x处可导,即 ('(x))'=lim /(+Ax)-f'(x) 存在,则称((x)为函数f(x)在点x处的二阶导数 dy或4/(x) 记作f(x,ya2a2 二阶导数的导数称为三阶导数,f"(x),y,dx3 阶导数的导数称为四阶导数f(x)ydy 一般地,函数f(x)的n-1阶导数的导数称为函数f(x) 的n n阶导数,记作 f(x),y f(x) 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 相应地,f(x)称为零阶导数f(x)称为一阶导数 高阶导数求法举例 1直接法:由高阶导数的定义还步求高阶导数 例1设y= arctan x,求f/(O),f"(O) 解
2 教 学 内 容 一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度. 设 s = f (t), 则瞬时速度为v(t) = f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率 a(t) = v (t) = [ f (t)] . 定义： , ( ( )) ( ) . ( ) ( ) ( ( )) lim ( ) ( ) , 0 存在 则称 为函数 在点 处的二阶导数 如果函数 的导数 在点 处可导 即 f x f x x x f x x f x f x f x f x x x + − = → 记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f x y 或 二阶导数的导数称为三阶导数, ( ), , . 3 3 dx d y f x y 三阶导数的导数称为四阶导数, ( ), , . 4 4 (4) (4) dx d y f x y 的 阶导数 记作 一般地 函数 的 阶导数的导数称为函数 , , ( ) 1 ( ) n f x n − f x . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数. 二、 高阶导数求法举例 1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例 1 设 y = arctan x,求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y + = ， ) 1 1 ( 2 + = x y 2 2 (1 ) 2 x x + − =
2(3x2-1) +x)y1-00,f70)=23x fO)=--2x 例2设 C∈ 解 )=a(a-1)(a-2)x a(a-1)…(a-n+1)x (n≥1) 若a为自然数n,则 y)=(x")")=n 注意:求n阶导数时求出1-3或4阶后不要急于合并分析结果的规律性写出n 阶导数(数学归纳法证明) 例3设y=h(1+x),求ym 解 +x (-1 (n-1) (n≥1,0=1) +x 例4设 解 y=cosx=sm(x+ y=cos(x+-)=sin( x++)=sin( x+2 )=sn(x+3) sin( x+n
3 ) (1 ) 2 ( 2 2 + − = x x y 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x + − = 2 2 0 (1 ) 2 (0) = + − = x x x f =0， 2 3 0 2 (1 ) 2(3 1) (0) = + − = x x x f = −2. 例 2 ( ), . (n) 设 y = x R 求y 解 −1 = y x ( ) 1 = − y x 2 ( 1) − = − x ( ( 1) ) 2 = − − y x 3 ( 1)( 2) − = − − x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) = − − + − y n x n n n 若 为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = + y n n =0 注意: 求 n 阶导数时,求出 1-3 或 4 阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出 n 阶导数.(数学归纳法证明) 例 3 ln(1 ), . (n) 设 y = + x 求y 解 x y + = 1 1 ， 2 (1 ) 1 x y + = − ， 3 (1 ) 2! x y + = ， 4 (4) (1 ) 3! x y + = − ( 1, 0! 1) (1 ) ( 1)! ( 1) ( ) 1 = + − = − − n x n y n n n 例 4 sin , . (n) 设 y = x 求y 解 y = cos x ) 2 sin( = x + ) 2 cos( y = x + ) 2 2 sin( = x + + ) 2 sin( 2 = x + ) 2 cos( 2 y = x + ) 2 sin( 3 = x + ) 2 sin( ( ) y = x + n n
同理可得(cosx)=cos(x+n) 例5设y=e"snbx(a,b为常数),求y) A y=ae sin bx+be cos bx=e(asin bx+ bcos bx) e.va+b sin( bx+o)(=arctan y=va+b aesin( bx +o)+becos(bx+) b2.ear.Va2+basin(bx+2) y(m=(a+b2)2.easin( bx+no) 2.高阶导数的运算法则: 设函数u和具有m阶导数,则 (1)(u±v)")=l n)⊥,(m) (2)(Cl)")=Cl" (3)( n(n =u v+nu n(n-1)…(n-k+1) /m-y()+…+ly(m)莱布尼兹公式 k 例6设y=x2e2,求y20) 解设u=e2,v=x2,则由莱布尼兹公式知 +20 (x2) 20(0-1) =20e2x.x2+20.2e2x.2x+ 20·19 2! 2e2(x2+20x+95) 3间接法:利用已知的高阶导数公式,通过四则运算变量代换等方法,求出n阶 导数 常用高阶导数公式 (1)(a2)=ah"a(a>0)(e)"=e
4 同理可得 ) 2 (cos ) cos( ( ) x = x + n n 例 5 sin ( , ), . ax (n) 设 y = e bx a b为常数 求y 解 y ae bx be bx ax ax = sin + cos e (asin bx bcosbx) ax = + sin( ) ( arctan ) 2 2 a b e a b bx ax = + + = [ sin( ) cos( )] 2 2 y = a +b ae bx + +be bx + ax ax sin( 2 ) 2 2 2 2 = a +b e a +b bx + ax ( ) sin( ) y ( ) a 2 b 2 2 e bx n ax n n = + + 2. 高阶导数的运算法则: 设函数u和v具有n阶导数,则 ( ) ( ) ( ) (1) ( ) n n n u v = u v ( ) ( ) (2) ( ) n n Cu = Cu ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) (3) ( ) n k k n k k n n k k n n n n n C u v u v uv k n n n k u v n n u v u v nu v − = − − − = + + − − + + − = + + 莱布尼兹公式 例 6 , . 2 2 (20) y x e y 设 = x 求 解 设u = e 2x ,v = x 2 ,则由莱布尼兹公式知 ( ) ( ) 0 2! 20(20 1) ( ) 20( ) ( ) (2 0) 2 (2 0) 2 2 (1 9) 2 2 (1 8) 2 + − y = e x + e x + e x x x x 2 2 2! 20 19 2 20 2 2 20 2 2 19 2 18 2 = + + x x x e x e x e 2 ( 20 95) 20 2 2 = e x + x + x 3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代换等方法, 求出 n 阶 导数. 常用高阶导数公式 (1) ( ) ln ( 0) ( ) a = a a a x n x n x n x e = e ( ) ( )
k sin( kx+n (3)(cos kx)m=k"cos( (4)(x")=a(a-1)…(a-n+1) (n-1) ))=(-1) 例7设 求 解:∵y (x-1)(x+1)°(x+1)°(x-1) 例8设y=sin°x+cos°x,求y (sin'x+cos2x)2-3 x cos x +-cos 4x 三、小结 高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式), n阶导数的求法 1.直接法;2.间接法
5 ) 2 (2) (sin ) sin( ( ) k x = k k x+ n n n ) 2 (3) (cos ) cos( ( ) k x = k k x+ n n n n n x n x − = − − + (4) ( ) ( 1) ( 1) ( ) n n n x n x ( 1)! (5) (ln ) ( 1) ( ) 1 − = − − 1 ( ) ! ) ( 1) 1 ( + = − n n n x n x 例 7 , . 1 1 (5) 2 y x 设 y 求 − = 解： ) 1 1 1 1 ( 2 1 1 1 2 + − − = − = x x x y ] ( 1) 5! ( 1) 5! [ 2 1 6 6 (5) + − − − − = x x y ] ( 1) 1 ( 1) 1 60[ 6 6 − − + = x x 例 8 sin cos , . 6 6 (n) 设 y = x + x 求y 解： 2 3 2 3 y = (sin x) + (cos x) (sin cos )(sin sin cos cos ) 2 2 4 2 2 4 = x + x x − x x + x x x x x 2 2 2 2 2 = (sin + cos ) −3sin cos sin 2x 4 3 1 2 = − 2 1 cos 4 4 3 1 − x = − cos 4x 8 3 8 5 = + ). 2 4 cos(4 8 ( ) 3 y = x + n n n 三、小结 高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n 阶导数的求法; 1.直接法; 2.间接法
思考题 设g'(x)连续,且f(x)=(x-a)g(x),求f(a) 思考题解答 g(x)可导 f(x)=2(x-a)g(x)+(x-a)2g(x) g"(x)不一定存在,故用定义求f"(a) f(a)=lm f(x)-f'(a) (f(a)=0) lim /'(x) =lm[2g(x)+(x-a)g(x)=2g(a) x→ax-a 6
6 思考题 设 g (x) 连续，且 ( ) ( ) ( ) 2 f x = x − a g x ，求 f (a) 思考题解答 g(x) 可导 ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x = x − a g x + x − a g x g (x) 不一定存在，故用定义求 f (a) f (a) x a f x f a x a − − = → ( ) ( ) lim ， （ f (a) = 0 ） x a f x x a − = → ( ) lim lim[2g(x) (x a)g (x)] x a = + − → = 2g(a)