章节题目 第四节函数的极限 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向有限值时函数的极限 内容提要 自变量趋向无穷大时函数的极限的定义与几何解释 自变量趋向有限值时函数的极限的定义与几何解释 重点分析 函数极限的定义描述 极限的局部保号性 难点分析 习题布置 1(1)(3)、3、6、9 备注
1 章 节 题 目 第四节 函数的极限 内 容 提 要 自变量趋向无穷大时函数的极限 自变量趋向有限值时函数的极限 重 点 分 析 自变量趋向无穷大时函数的极限的定义与几何解释 自变量趋向有限值时函数的极限的定义与几何解释 难 点 分 析 函数极限的定义描述 极限的局部保号性 习 题 布 置 P50 ：1（1）（3）、3、6、9 备 注
教学内容 自变量趋向无穷大时函数的极限 观察函数亞x当x→>∞时的变化趋势 问题函数y=f(x)在x→>∞的过程中对应函数值∫(x)无限趋近于确定值A 通过上面演示实验的观察 当x无限增大时,f(x)=Sx无限接近于0 问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近 Jf(x)-4X表示x→∞的过程 定义 定义1如果对于任意给定的正数E(不论它多么小),总存在着正数X,使得对于适 合不等式>X的一切x所对应的函数值f(x)都满足不等式(x)-A∞时的极限,记作 imf(x)=A或f(x)→>A(当x→∞) "E-X"定义 imf(x)=AVE>03x>0使当>时恒有fx)-40,丑X>0,使当x>时,恒有f(x)-4-∞情形:limf(x)=A →一∞
2 教 学 内 容 一、自变量趋向无穷大时函数的极限 . sin 观察函数 当 x → 时的变化趋势 x x 问题:函数 y = f (x) 在 x → 的过程中, 对应函数值 f (x) 无限趋近于确定值 A. 通过上面演示实验的观察: 0. sin 当 无限增大时, ( ) 无限接近于 x x x f x = 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. f (x) − A 表示 f (x) − A任意小; x X 表示x →的过程. 1.定义: 定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在着正数 X ,使得对于适 合不等式 x X 的一切 x ,所对应的函数值 f (x) 都满足不等式 f (x) − A ,那 末常数 A 就 叫 函 数 f (x) 当 x → 时的极限 , 记 作 lim ( ) = ( ) → ( → ) → f x A f x A x x 或 当 " − X"定义： = → f x A x lim ( ) 0,X 0,使当x X时,恒有 f (x) − A . 2.另两种情形: 1 . : 0 x → + 情形 f x A x = →+ lim ( ) 0, X 0,使当x X时, 恒有 f (x) − A . 2 . : 0 x → − 情形 f x A x = →− lim ( )
vE>0,3X>0,使当xX时,函数y=f(x)图形完全落在以 直线y=A为中心线,宽为2e的带形区域内 例1证明lm VE>0,取X=1 则当对>时恒有 0x的过程中对应函数值∫(x)无限趋近于确定值A. f(x)-A<E表f(x)-1任意小0<x-x<E表示x→x的过程
3 0,X 0,使当x −X时,恒有 f (x) − A . = → f x A x 定理: lim ( ) lim f (x) A lim f (x) A. x x = = →+ →− 且 3.几何解释: , 2 . , ( ) 直线 为中心线 宽为 的带形区域内 当 或 时 函数 图形完全落在以 y A x X x X y f x = − = 例 1 0. sin lim = → x x x 证明 证： x x x x sin 0 sin − = x 1 X 1 = , 0, , 1 取 X = 则当 x X时恒有 0 , sin − x x 0. sin lim = → x x x 故 . : lim ( ) , ( ) 图形的水平渐近线 定义 如果 f x c 则直线 y c是函数y f x 的 x = = = → 二、自变量趋向有限值时函数的极限 问题:函数 y = f (x) 在 0 x → x 的过程中,对应函数值 f (x) 无限趋近于确定值 A. f (x) − A 表示 f (x) − A任意小; 0 . x − x0 表示x → x0的过程 x x y sin = − − X X A x x y sin =
点x的去心δ域,δ体现x接近x程度 1.定义 定义2如果对于任意给定的正数E(不论它多么小),总存在正数δ使得对于适合 不等式0x) "E-δ"定义 VE>036>0,使当x-x0,任取δ>0,当0<x-x<c时, (x)-A=C-C=0<成立,∴lmC=C
4 , 点x0的去心邻域 . 体现x接近x0程度 1.定义: 定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正数 ,使得对于适合 不等式 0 x − x0 的一切 x ,对应的函数值 f (x) 都满足不等式 f (x) − A , 那 末 常 数 A 就 叫 函 数 f (x) 当 0 x → x 时 的 极 限 , 记 作 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 当 " −"定义： 0, 0, 0 , ( ) . 0 使当 x − x 时 恒有 f x − A 注意： 1. ( ) ; 函数极限与f x 在点x0是否有定义无关 2.与任意给定的正数有关. 2.几何解释: , 2 . , ( ) 0 线 为中心线 宽为 的带形区域内 当 在 的去心 邻域时 函数 图形完全落在以直 y A x x y f x = = 显然,找到一个后,越小越好. 例 2 lim , ( ). 0 证明 C C C为常数 x x = → 证： 任给 0, 任取 0, 0 , 当 x − x0 时 f (x) − A = C −C =0 成立, lim . 0 C C x x = → 0 x − x 0 x x0 + y = f (x) A− A+ A x0 − x0 x0 + x y o
例3证明lnx=x 证:∵|f(x)-4={x-x任给E>0,取δ=6,当00,要使f(x)-A0时,lm√x=√x0 证::|(x)-4 任给E>0,要使(x)-4<,只要x=x<√x且不取负值 取6=m(xx2,当04xx<谢时,就有-√< lin√x=y 3单侧极限: 1-x.x<0 例如,设f(x)= 证明mf(x)=1 x2+1,x≥03 y x2+1
5 例 3 lim . 0 0 x x x x = → 证明 证： ( ) , 0 f x − A = x − x 任给 0, 取 = , 0 , 当 x − x0 = 时 0 f (x) − A = x − x 成立, lim . 0 0 x x x x = → 例 4 2. 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 证明 证：函数在点 x=1 处没有定义. 2 1 1 ( ) 2 − − − − = x x f x A = x −1 ， 任给 0, 要使 f (x) − A , 只要取 = , 0 , 当 x − x0 时 2 , 1 1 2 − − − x x 就有 2. 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 例 5 : 0 , lim . 0 0 0 x x x x x = → 证明 当 时 证： 0 f (x) − A = x − x 0 0 x x x x + − = , 0 0 x x − x 任给 0, 要使 f (x) − A , . 只要 x − x0 x0 且不取负值 min{ , }, 0 0 取 = x x 0 , 当 x − x0 时 , 0 就有 x − x lim . 0 0 x x x x = → 3.单侧极限: 例如, , lim ( ) 1. 1, 0 1 , 0 ( ) 0 2 = + − = → f x x x x x f x x 设 证明 y o x 1 y =1− x 1 2 y = x +
分x>0和x036>0,使当x0-060,36>0,使当x<x<x+谢时恒有f(x)-A<E 记作lmf(x)=A或f(x0+0)=A 注意:{x0<x-x<}=0<x-x<6}(x6<x-x<0 定理:mf()=4分f(x-0)=f(x1+0)=A 例6验证m不存在 证:li it rlim x= lim 1=1 左右极限存在但不相等,∴lmf(x)不存在 、函数极限的性质 1有界性 定理若在某个过程下,f(x)有极限则存在过程的一个时刻在此时刻以后f(x) 有界 2唯一性 定理若lmf(x)存在则极限唯一 3不等式性质 定理(保序性) 6
6 分x 0和x 0两种情况分别讨论 ： , 0 x从左侧无限趋近x 0; 记作x → x0 − , 0 x从右侧无限趋近x 0; 记作x → x0 + 左极限 0, 0, , ( ) . 0 0 使当x − x x 时 恒有 f x − A lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = − = → − → − 记作 或 右极限 0, 0, , ( ) . 0 0 使当x x x +时 恒有 f x − A lim ( ) ( 0) . 0 ( ) 0 0 0 f x A f x A x x x x = + = → + → + 记作 或 :{ 0 } { 0 } { 0} 注意 x x − x0 = x x − x0 x − x − x0 : lim ( ) ( 0) ( 0) . 0 0 0 f x A f x f x A x x = − = + = → 定理 例 6 lim . 0 验证 不存在 x x x→ 证： x x x x x x − = →−0 →−0 lim lim lim ( 1) 1 0 = − = − x→− x x x x x 0 x 0 lim lim →+ + = lim 1 1 0 = = x→+ 左右极限存在但不相等, lim ( ) . 0 f x 不存在 x→ 三、函数极限的性质 1.有界性 定理 若在某个过程下, f (x) 有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后 f (x) 有界. 2.唯一性 定理 若 lim f (x) 存在,则极限唯一. 3.不等式性质 定理(保序性)：
设lf(x)=A,img(x)=B若6>0,x∈U(x0,6) 有f(x)≤g(x),则A≤B 推论: 设lmf(x)=A,lmg(x)=B,且A0,x∈U(x0,6), 有f(x)0或A0,当x∈U°(x0,)时, 推论 f(x)>0(或f(x)0,当x∈U(x0,6)时,f(x)≥0或f(x)≤0) 则A≥0(或A≤0) 4子列收敛性(函数极限与数列极限的关系) 定义 设在过程x→a(a可以是x0,x,或x)中有数列xn(≠a),使 得n→∞时xn→a则称数列{(xn)即f(x),f(x2) f(xn)…为函数f(x)当x→>时的子列 定理 若lmf(x)=A数列f(xn)是f(x)当x→时的一个子列 则有mf(xn)=A 证∵lmf(x)=A VE>0,36>0.使当00,N>0使当n>M时恒有0<xn-x< 从而有(x)-4<E,故mf(x)=A 例如,lim sin x =1, lim nsin=1, lim nsin-=l n+1 函数极限与数列极限的关系:函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都 存在,且相等 例7证明 lim sin-不存在 x-0
7 ( ) ( ), . lim ( ) , lim ( ) . 0, ( , ), 0 0 0 0 f x g x A B f x A g x B x U x x x x x = = → → 有 则 设 若 推论： ( ) ( ). lim ( ) , lim ( ) , 0, ( , ), 0 0 0 0 f x g x f x A g x B A B x U x x x x x = = → → 有 设 且 则 定理(保号性)： ( ) 0( ( ) 0). lim ( ) , 0( 0), 0, ( , ) , 0 0 0 = → f x f x f x A A A x U x x x 或 若 且 或 则 当 时 推论： 0( 0). lim ( ) , 0, ( , ) , ( ) 0( ( ) 0), 0 0 0 = → A A f x A x U x f x f x x x 则 或 若 且 当 时 或 4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系) 定义 ( ), ( ) . . ( ) , ( ), ( ), , ( , , ) ( ), 1 2 0 0 0 为函数 当 时的子列 得 时 则称数列 即 设在过程 可以是 或 中有数列 使 f x f x x a n x a f x f x f x x a a x x x x a n n n n → → → → + − 定理 lim ( ) . lim ( ) , ( ) ( ) , f x A f x A f x f x x a n n n x a = = → → → 则有 若 数列 是 当 时的一个子列 证 f x A x x = → lim ( ) 0 0, 0, 0 , ( ) . 0 使当 x − x 时 恒有 f x − A lim , 0 0 x x x x n n n = → 又 且 0, 0, , 0 . 对上述 N 使当n N时 恒有 xn − x0 f (x ) − A , 从而有 n lim f (x ) A. n x = → 故 例如, 1 sin lim 0 = → x x x ， 1, 1 lim sin = → n n n ， 1, 1 lim sin = → n n n 1 1 sin 1 lim 2 2 = + → + n n n n n 函数极限与数列极限的关系：函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都 存在,且相等. 例 7 . 1 lim sin 0 证明 不存在 x→ x
0,75 证:取{x}={-mx,=0,且x≠0 取{xn} ,linx=0,且x≠0, 而 lim sin Im sin nT x 4n+ 而 lim sin= lim sin 丌=liml=1 二者不相等,故 lim sin-不存在 四、小结 函数极限的统一定义 Im f(n)=A Im f(x)=A; Im f(x)=A; Im f(x)=A lim f(x)=A; lim f(x)=A; lim f(x)=A imf(x)=AVE>0,时刻从此时刻以后恒有f(x)-4<E
8 证： , 1 = n x 取 n lim = 0, → n n x 0; n 且 x , 2 4 1 1 + = n x 取 n lim = 0, → n n x 0; n 且 x n x n n n lim sin 1 lim sin → → 而 = = 0, 2 4 1 lim sin 1 lim sin + = → → n x n n n 而 lim 1 → = n =1 二者不相等, . 1 lim sin 0 故 不存在 x→ x 四、小结 函数极限的统一定义 lim f (n) A; n = → lim f (x) A; x = → lim f (x) A; x = →+ lim f (x) A; x = →− lim ( ) ; 0 f x A x x = → lim ( ) ; 0 f x A x x = → + lim ( ) . 0 f x A x x = → − lim f (x) = A 0,时刻,从此时刻以后,恒有 f (x) − A . x y 1 = sin
x→ 从此时刻以后 N x>N f(x)-40 试问函数f(x)={10 x=0在x=0处的左、右极限是否存在?当x→0 5+x2,x<0 时,f(x)的极限是否存在? 思考题解答 imf(x)=lm(5+x2)=5,左极限存在, x→0 imf(x)= lim xsin-=0,右极限存在, limf(x)≠limf(x)∴limf(x)不存在
9 思考题 试问函数 + = = 5 , 0 10, 0 , 0 1 sin ( ) 2 x x x x x x f x 在 x = 0 处的左、右极限是否存在？当 x →0 时， f (x) 的极限是否存在？ 思考题解答 = → − lim ( ) 0 f x x lim (5 ) 5, 2 0 + = → − x x 左极限存在, = → + lim ( ) 0 f x x 0, 1 lim sin 0 = → + x x x 右极限存在, → − lim ( ) 0 f x x lim ( ) 0 f x x→ + lim ( ) 0 f x x→ 不存在. 过 程 时 刻 从此时刻以后 n→ x → x → + x →− N n N x N x N x −N f (x) f (x) − A 0 x → x 0 x − x0 → + 0 x x → − 0 x x 0 x − x0 − x − x0 0 过 程 时 刻 从此时刻以后 f (x) f (x) − A