章节题目 第二节初等函数 讲授基本初等函数及其性质 讲授复合函数和初等函数的概念 内|介绍双曲与反双曲函数 容提要 基本初等函数及其性质 复合函数和初等函数的概念 重点分析 复合函数和初等函数的概念 难点分析 1:2、4、6(1)(3)、10、1l14、17 题布置 备注
- 1 - 章 节 题 目 第二节 初等函数 内 容 提 要 讲授基本初等函数及其性质 讲授复合函数和初等函数的概念 介绍双曲与反双曲函数 重 点 分 析 基本初等函数及其性质 复合函数和初等函数的概念 难 点 分 析 复合函数和初等函数的概念 习 题 布 置 P31：2、4、6（1）（3）、10、11、14、17 备 注
教学内容 基本初等函数 1幂函数y=x“(4是常数) 2指数函数y=a2(a>0,a≠1) y y=( y 3对数函数y=lgax(a>0,a≠1) In y=Inx 4三角函数
- 2 - 教 学 内 容 一、基本初等函数 1.幂函数 (是常数) y = x 2.指数函数 y = a (a 0,a 1) x x y = e 3.对数函数 y = log x (a 0,a 1) a y = ln x 4.三角函数 o x y (1,1) 1 1 2 y = x y = x x y 1 = y = x x y = a x a y ) 1 = ( (a 1) y x a = log y x a 1 = log (a 1) (1,0) •
正弦函数y=snx y=sIn x 余弦函数y=cosx y=cos x 正切函数y=tanx an x 2 余切函数y=cotx y=cotx 正割函数y=secx
- 3 - 正弦函数 y = sin x 余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x 余切函数 y = cot x 正割函数 y = sec x y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x
y=secx 余割函数y=cscx y=csce 5反三角函数 反正弦函数y= arcsin x y =arcsin x 0,5 反余弦函数y= arccos x arccos x 反正切函数y= arctan x
- 4 - 余割函数 y = csc x 5.反三角函数 反正弦函数 y = arcsin x 反余弦函数 y = arccos x 反正切函数 y = arctan x y = sec x y = csc x y = arcsin x y = arccos x
y=arctan 一 反余切函数y= arc cot x y= arc cot x 幂函数指数函数对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数 、复合函数初等函数 1复合函数 设 定义:设函数y=f(u)的定义域D,而函数u=(x)的值域为Z。,若 D,∩2≠②,则称函数y=「[(x)为x的复合函数 x←-自变量,u←中间变量,y←因变量, 注意 1不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的; 例如y= arcsin 2,u=2+x2;y≠ arcsin(2+x2) 2复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成 例如 2 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可 用一个式子表示的函数称为初等函数
- 5 - 反余切函数 y = arccot x 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. 二、复合函数 初等函数 1.复合函数 设 y = u, 1 , 2 u = − x 2 y = 1− x 定 义 : 设函数 y = f (u) 的 定 义域 Df , 而 函数 u = (x) 的值域为 Z , 若 Df Z , 则称函数 y = f [(x)] 为 x 的复合函数. x 自变量, u 中间变量, y 因变量, 注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的; 例如 y = arcsin u, 2 ; 2 u = + x arcsin( 2 ) 2 y + x 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. , 2 cot x 例如 y = y = u , u = cot v, . 2 x v = 2.初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可 用一个式子表示的函数,称为初等函数. y = arctan x y = arc cot x
例1设f(x) 人J例以/x+2,x 解f[(x) ,q(x)<1 qp(x),(x)≥1 19当o(x)<l时,或x<0,q(x)=x+2<1,→x<-1 或x≥0,(x)=x2-1<1,→0≤x<√2; 2当(x)≥时,或x<0,9(x)=x+221,→-1≤x<0 或x≥0,∞(x)=x2-1≥1,→x≥√2; x<-1 x+2.-1≤x<0 综上所述[(x)]= 0≤x<√2 三、双曲函数与反双曲函数 1双曲函数 双曲正弦sihx= D:(-∞,+∞),奇函数 双曲余弦 cosh x=-2 e+eD:(-∞,+∞),偶函数 cosH x 双曲正切 tanh x D:(-∞+∞)奇函数,有界函数 coshx e+e-r
- 6 - 例 1 , [ ( )]. 1, 0 2, 0 , ( ) , 1 , 1 ( ) 2 f x x x x x x x x e x f x x 设 求 − + = = 解 = ( ), ( ) 1 , ( ) 1 [ ( )] ( ) x x e x f x x 1 ( ) 1 , 0 当 x 时 或 x 0, (x) = x + 2 1, x −1; 或 x 0, ( ) 1 1, 2 x = x − 0 x 2; 2 ( ) 1 , 0 当 x 时 或 x 0, (x) = x + 2 1, −1 x 0; 或 x 0, ( ) 1 1, 2 x = x − x 2; 综上所述 − − − + = − + 1, 2 0 2 1 0 1 , 2, , [ ( )] 2 1 2 2 x x x x x e x e f x x x 三、双曲函数与反双曲函数 1.双曲函数 2 sinh x x e e x − − 双曲正弦 = D :(−,+), 奇函数. 2 cosh x x e e x − + 双曲余弦 = D :(−,+), 偶函数. x x x x e e e e x x x − − + − = = cosh sinh 双曲正切 tanh D :(−,+) 奇函数, 有界函数, y = cosh x y = sinh x x y e 2 1 = x y e − = 2 1
双曲函数常用公式 nh(x±y)= sinh x cosy± cosh x sinh j; cosh(x±y)= cosh x cosy± sinh xsinh y cosh x=1: sinh 2x=2sinh x cosh x cosh 2x=cosh-x+sinh-x 2反双曲函数 反双曲正弦y= arsin hx=hn(x+√x2+1).D:(-0,+∞)奇函数,单增 y=arsinh x 反双曲余弦y= arcosh x=ln(x+√x2-1)D:[+∞),单增 y= arcosh x 反双曲正切y=mtmx=n+x,D:(-1)奇函数,单增
- 7 - 双曲函数常用公式 sinh( x y) = sinh x cosh y cosh x sinh y ; cosh( x y) = cosh x cosh y sinh xsinh y; cosh sinh 1; 2 2 x − x = sinh 2x = 2sinh x cosh x; cosh 2 cosh sinh . 2 2 x = x + x 2.反双曲函数 反双曲正弦 y = arsin hx ln( 1). 2 = x + x + D :(−,+) 奇函数, 单增. 反双曲余弦 y = ar cosh x ln( 1). 2 = x + x − D :[1,+) , 单增. 反双曲正切 y = artanh x . 1 1 ln 2 1 x x − + = D :(−1,1) 奇函数, 单增. y = arsinh x y = ar cosh x
y= ar tanh x 四、小结 函数的分类 有理整函数(多项式函数) 代」数(有理分函数(分式函 数 等函数 无理函数 函 数 超越函数 非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数 思考题 下列函数能否复合为函数y=∫[g(x),若能,写出其解析式、定义域、值域 o )y=f(u=vu, u=g(x)=x-x (2)y=f(u)=Inu, u=g(x)=sin x-1 思考题解谷 ()y=fg(x)=√x-x2x∈D={x10≤x≤l},f(D)=[0 (2)不能.∵g(x)=snx-1≤0g(x)的值域与∫(u)的定义域之交集是空集
- 8 - 四、小结 函数的分类: 思考题 下列函数能否复合为函数 y = f [g(x)] ，若能，写出其解析式、定义域、值域． (1) y = f (u) = u, 2 u = g(x) = x − x (2) y = f (u) = ln u, u = g(x) = sin x −1 思考题解答 2 (1) y = f[g(x)] = x − x x D ={x | 0 x 1}, ] 2 1 f (D) = [0, (2) 不能． g(x) = sin x −1 0 g(x) 的值域与 f (u) 的定义域之交集是空集. y = artanh x 函 数 初 等 函 数 非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数) 代 数 函 数 超越函数 有 理 函 数 无理函数 有理整函数(多项式函数) 有理分函数(分式函数)