章节题目 第一节常数项级数的概念 级数的概念、基本性质 收敛的必要条件 内容提要 常数项级数的基本概念 基本审敛法 重点分析 如果级数的一般项不趋于零,则级数发散 级数收敛→lmln=0 难点分析 习题布置 3(单)、4(单) 备注
1 章 节 题 目 第一节 常数项级数的概念 内 容 提 要 级数的概念、基本性质 收敛的必要条件 重 点 分 析 常数项级数的基本概念 基本审敛法 难 点 分 析 如果级数的一般项不趋于零,则级数发散 级数收敛 lim = 0. → n n u 习 题 布 置 P236 3（单）、4（单） 备 注
教学内容 问题的提出 1.计算圆的面积 正六边形的面积a1 正十二边形的面积a1+a2 正3×2”形的面积a1+a2+…+an 即A≈a1+a +a 3101001000 …— 级数的概念 1.级数的定义 ln=1+l2+l3+…+un+…(一般项) (常数项)无穷级数 级数的部分和n=1+l2+…+n=∑1 部分和数列S=,S2=1+2,S3=l+2+n43,…Sn=+2+…+ln2 2.级数的收敛与发散:当n无限增大时如果级数∑un的部分和数列Sn有极限 即msn=s则称无穷级数∑un收敛这时极限s叫做级数∑un的和并写成 s=4+l2+…+l2+…,如果sn没有极限则称无穷级数∑un发散 即常数项级数收敛(发散)今lmsn存在(不存在) 2
2 教 学 内 容 一、问题的提出 1. 计算圆的面积 正六边形的面积 1 a 正十二边形的面积 a1 + a2 正 n 3 2 形的面积 a1 + a2 ++ an 即 A a1 + a2 ++ an = + + ++ n + 10 3 1000 3 100 3 10 3 3 1 2. 二、级数的概念 1. 级数的定义: = + + ++ + = n n un u1 u2 u3 u 1 (一般项) (常数项)无穷级数 级数的部分和 = = + + + = n i n u u un ui s 1 1 2 部分和数列 , 1 u1 s = , 2 u1 u2 s = + , , s3 = u1 +u2 +u3 sn = u1 +u2 ++un , 2. 级数的收敛与发散:当 n 无限增大时,如果级数 n=1 n u 的部分和数列 n s 有极限 s , 即 s s n n = → lim 则称无穷级数 n=1 n u 收敛,这时极限 s 叫做级数 n=1 n u 的和.并写成 s = u1 + u2 ++ u3 +，如果 n s 没有极限,则称无穷级数 n=1 n u 发散. 即 常数项级数收敛(发散) n n s → lim 存在(不存在) R
余项r=s-Sn=ln1+un,+ 即S,≈S误差为(mn=0) 无穷级数收敛性举例:Koch雪花 做法:先给定一个正三角形,然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小 正三角形.如此类推在每条凸边上都做类似的操作,我们就得到了面积有限而周 长无限的图形Koch雪花 设三角形周长为P=3面积为A=4 第一次分叉:周长为P2=P,面积为A2=A1+3·A 依次类推 第n次分叉 周长为P=()Pn=12,… 面积为 A=A1+34=()y-4} A+3·A1+34()24+…+342·()14 =A11+[+()+(=)2+…+()”2]}n=2,3, 39 于是有mP=m4=4(+-34)=40+ 3、2√3 雪花的面积存在极限(收敛) 结论:雪花的周长是无界的,而面积有界. 例1讨论等比级数(几何级数∑q"=a+qg+a2+…+aq+…(a≠0)的收 敛性 解如果q≠时sn=a+ag+aq2+…+aq a-a 当q时,mq"=∞:msn=∞发散 n→∞ 如果q=时
3 余项 n n r = s − s = un+1 +un+2 + = = + i 1 un i 即 s s n 误差为 n r (lim = 0) → n n r 无穷级数收敛性举例：Koch 雪花. 做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的 1/3 的小 正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周 长无限的图形——“Koch 雪花”． ; 4 3 3, 设三角形周长为 P1 = 面积为 A1 = 第一次分叉： ; 9 1 , 3 3 4 P2 P1 A2 A1 A1 周长为 = 面积为 = + 依次类推 第 n 次分叉： 周长为 ) 1,2, 3 4 ( 1 1 = = − P P n n n 面积为 ) ]} 9 1 3{4 [( 1 2 1 A A 1 A n n n n − − = − + 1 2 1 1 2 1 1 ) 9 1 ) 3 4 ( 9 1 3 4 ( 9 1 A 3 A A A n− n− = + + ++ ) ]} 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 3 1 {1 [ 2 2 1 − = + + + + + n A n = 2,3, 于是有 = → n n lim P ) 9 4 1 3 1 lim (11 − = + → An A n . 5 2 3 ) 5 3 = A1 (1+ = 雪花的面积存在极限（收敛）． 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界． 例 1 讨论等比级数(几何级数) = + + ++ + = n n n aq a aq aq aq 2 0 (a 0) 的收 敛性. 解 如果q 1时 2 −1 = + + + + n sn a aq aq aq q a aq n − − = 1 , 1 1 q aq q a n − − − = 当q 1时, lim = 0 → n n q q a sn n − = → 1 lim 收敛 当q 1时, = → n n lim q = → n n lim s 发散 如果q =1时
当q=时,Sn=m→∞发散 当q=-时,级数变为a-a+a-a+…∴lmSn不存在发散 「当<时收敛 综上21当2时发散 例2判别无穷级数11 22.3 n;(+D…的收敛性 (2n-1)(2n+1)22n-1n,) 1·33.5 (2n-1)·(2n+1) 2n-12n+ (1 lim s,=lm-(1 级数收敛,和为 、基本性质 性质1如果级数∑n收敛则∑k亦收敛 结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变 性质2设两收敛级数s=∑,=∑n则级数∑(un±v,)收敛其和为s±a 结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减 性质3若级数∑un收敛则∑un也收敛(k≥1)且其逆亦真 n=k+1 证明41+1+lk+2+…+lk+n+ G.=l21+l4+…+l JI lim o,=lim sntk-lim Sk =S-SK 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性 性质4收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和
4 当q =1时, sn = na → 发散 当q = −1时, 级数变为a − a + a − a + n不存在 n s → lim 发散 综上 = 当 时 发散 当 时 收敛 1 , 1 , 0 q q aq n n 例 2 判别无穷级数 + + + + + ( 1) 1 2 3 1 1 2 1 n n 的收敛性. 解 (2 1)(2 1) 1 − + = n n un ), 2 1 1 2 1 1 ( 2 1 + − − = n n (2 1) (2 1) 1 3 5 1 1 3 1 − + + + + = n n sn ) 2 1 1 2 1 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 (1 2 1 + − − = − + − + + n n ), 2 1 1 (1 2 1 + = − n ) 2 1 1 (1 2 1 lim lim + = − → → n s n n n , 2 1 = . 2 1 级数收敛, 和为 三、基本性质 性质 1 如果级数 n=1 n u 收敛,则 n=1 n ku 亦收敛. 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变. 性质 2 设两收敛级数 = = n 1 un s , = = n 1 n v ,则级数 = 1 ( ) n n n u v 收敛,其和为 s . 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质 3 若级数 n=1 n u 收敛,则 n=k+1 n u 也收敛 (k 1) .且其逆亦真. 证明 uk+1 +uk+2 ++uk+n + n = uk+1 +uk+2 ++uk+n , n k k = s − s + k n n k n n n s s → + → → 则 lim = lim − lim . k = s − s 类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和
证明(1+a2)+(l2+l4+l5)+ 则 lim g=imsn=s 注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 例如(1-1)+(1-1)+ 收敛 1-1+1-1+ 发散 推论如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散 四、收敛的必要条件 级数收敛的必要条件:当n无限增大时,它的一般项u趋于零,即 级数收敛→ lim u=0 证明:s=∑u,则vn=S Im u,=lm s,-lim s,_I =S-S =0 注意 1如果级数的一般项不趋于零,则级数发散 例如1-2+3-+-1y-n 发散 234 2必要条件不充分 例如调和级数1 23+…++…有lmun=0,但级数是否收敛? 1 讨论 假设调和级数收敛其和为s.于是ln(Sn-sn)=s-s=0, 便有0≥(n→∞)这是不可能的 级数发散 34567891016′ 每项均大于
5 证明 (u1 +u2 ) + (u3 +u4 +u5 ) + , 1 2 = s , 2 5 = s , 3 9 = s lim lim s s. n n m m = = → → 则 注意：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 例如 (1−1) +(1−1)+ 收敛 1−1+1−1+ 发散 推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散. 四、收敛的必要条件 级数收敛的必要条件: 当n无限增大时,它的一般项un趋于零,即 级数收敛 lim = 0. → n n u 证明 = = n 1 un s , n = n − n−1 则 u s s 1 lim lim lim − → → → = − n n n n n n u s s = s−s = 0. 注意 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散; + + − + − + − − 1 ( 1) 4 3 3 2 2 1 1 n n n 例如 发散 2.必要条件不充分. + + ++ + n 1 3 1 2 1 例如调和级数 1 有lim = 0, 但级数是否收敛? → n n u 讨论 n n n s s n n 2 1 2 1 1 1 2 + + + + + − = , 2 1 2 = n n 假设调和级数收敛, 其和为s. lim( ) 2n n n s − s → 于是 = s−s = 0, ( ) 2 1 便有 0 n → 这是不可能的. 级数发散. + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ) 2 1 2 2 1 2 1 1 ( ) 16 1 10 1 9 1 ) ( 8 1 7 1 6 1 5 1 ) ( 4 1 3 1 ) ( 2 1 (1 m m m 1 2 1 每项均大于
即前m+1项大于(m+1)∴.级数发散 由性质4推论调和级数发散 五、小结 常数项级数的基本概念 基本审敛法 1.由定义,若Sn→>s,则级数收敛; 2当 lim u≠0,则级数发散 3按基本性质 思考题 设∑b与∑Cn都收敛,且bn≤an≤Cn(n=1.2),能否推出∑an收敛? 思考题解答 能.由柯西审敛原理即知
6 2 1 即前m +1项大于(m +1) 级数发散. 由性质 4 推论,调和级数发散. 五、小结 常数项级数的基本概念 基本审敛法 1.由定义,若 s s n → ,则级数收敛; 2.当 lim 0 → n n u ,则级数发散; 3.按基本性质. 思考题 设 n=1 n b 与 n=1 n c 都收敛，且 n n n b a c (n =1,2, ) ，能否推出 n=1 n a 收敛？ 思考题解答 能．由柯西审敛原理即知．
