经济数学基础 第7章定积分的应用 第一单元积分的几何应用 、学习目标 通过本节课的学习,了解定积分的几何意义,学会计算曲边梯形的面积,进而 计算平面图形的面积 内容讲解 积分的几何应用能使我们从直观上理解定积分的含义,也能通过几何图形直观 地理解定积分的性质 先讲平面图形的面积计算.怎样测定一块不规则土地的面积,我们知道怎样计 算矩形的面积,但要把这块土地当作矩形来计算,那么误差就太大了.由于面积具 有可加性,可以将这块土地划分成一些小条形状,将每个小条近似地当作一个矩形 (这样误差很小),那么,这些矩形面积之和就是这块土地面积的近似值 将这块土地抽象成坐标系中的这个图形,图形上端曲线方程为y=f(x),将图 形划分为一些小条,其中小条面积用矩形面积近似,即 f(x)Ax y=f(r) 图形的面积近似为∑/(x)x 小条分得越细,近似程度越高,令所有小条的宽度趋于0,就得到图形面积的 精确值.这种分割、近似、求和、取极限的方法也可以解决其它应用问题
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——191—— 第一单元 积分的几何应用 一、学习目标 通过本节课的学习，了解定积分的几何意义，学会计算曲边梯形的面积，进而 计算平面图形的面积 二、内容讲解 积分的几何应用能使我们从直观上理解定积分的含义，也能通过几何图形直观 地理解定积分的性质． 先讲平面图形的面积计算．怎样测定一块不规则土地的面积，我们知道怎样计 算矩形的面积，但要把这块土地当作矩形来计算，那么误差就太大了．由于面积具 有可加性，可以将这块土地划分成一些小条形状，将每个小条近似地当作一个矩形 （这样误差很小），那么，这些矩形面积之和就是这块土地面积的近似值． 将这块土地抽象成坐标系中的这个图形，图形上端曲线方程为 y = f (x) ，将图 形划分为一些小条，其中小条面积用矩形面积近似，即 f (x)x 图形的面积近似为 f (x)x 小条分得越细，近似程度越高，令所有小条的宽度趋于 0，就得到图形面积的 精确值．这种分割、近似、求和、取极限的方法也可以解决其它应用问题． y O a x x+Δx b x
经济数学基础 第7章定积分的应用 如果用S表示图形的面积,由定积分的定义可知 S= f(x)dx 从这个问题的解决可以看出,当/(20时,/( 的几何意义就是由曲 线y=f(x)与x轴及直线X=a,x=b所围的平面图形的面积.通过例子说明:当 f(x)≥0时, f∫(x)d 的几何意义就是表示由曲线y=f(x)与x轴及直线 x=a,x=b所围的曲边梯形的面积 再来看一般的情况,计算如下图形的面积 y=f(x) 图形上面的曲线为y=f(x),下面的曲线为y=g(x),由定积分的几何意义可 知图形的面积为(xs(xx=JU(x)-g(x)dx S -y下]dx 或表示为 个积分是在对称区间{-a,a上的积分,如果遇到这样的积分,就可以考察被 积函数的奇偶性,结论是 当f(x)是奇函数时 ∫。f(xkx= f(x)dx,当f(x)是偶函数时 192
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——192—— 如果用 S 表示图形的面积，由定积分的定义可知 = b a S f (x)dx 从这个问题的解决可以看出，当 f (x) 0 时， b a f (x)d x 的几何意义就是由曲 线 y = f (x) 与 x 轴及直线 x = a, x = b 所围的平面图形的面积．通过例子说明：当 f (x) 0 时， b a f (x)d x 的几何意义就是表示由曲线 y = f (x) 与 x 轴及直线 x = a, x = b 所围的曲边梯形的面积． 再来看一般的情况，计算如下图形的面积 图形上面的曲线为 y = f (x) ，下面的曲线为 y = g(x) ，由定积分的几何意义可 知图形的面积为 = − = − b a b a b a S f (x)dx g(x)dx [ f (x) g(x)]d x 或表示为 = − b a S [ y上 y下 ]dx 一个积分是在对称区间 [−a, a] 上的积分，如果遇到这样的积分，就可以考察被 积函数的奇偶性，结论是 = − 当 是偶函数时 当 是奇函数时 2 ( )d , ( ) 0 , ( ) ( )d 0 f x x f x f x f x x a a a y O a b x
经济数学基础 第7章定积分的应用 这个结论可以由几何直观加以证 f(x)dx=Lf(x)dx f(x)dx=f(x)dx 从上图可以看出, 当f(x)是奇函数时有 f(x)dx=L(x)dx 当f(x)是偶函数时有 f(x)dx=f(x)dx 问题思考1:直线y=0与x轴是什么关系? 答案直线y=0就是x轴 问题思考2:圆心在原点的单位圆的方程是什么? 答案圆心在原点的单位圆的方程是x+y=1 2 三、例题讲解 例1三角形底为1,高为2,求三角形的面积 193
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——193—— 这个结论可以由几何直观加以证 从上图可以看出， 当 f (x) 是奇函数时有 − = − a a f x x f x x 0 0 ( )d ( )d ； 当 f (x) 是偶函数时有 = − a a f x x f x x 0 0 ( )d ( )d ． 问题思考 1： 直线 y = 0 与 x 轴是什么关系？ 答案直线 y = 0 就是 x 轴． 问题思考 2： 圆心在原点的单位圆的方程是什么？ 答案圆心在原点的单位圆的方程是 1 2 2 x + y = 三、例题讲解 例 1 三角形底为 1，高为 2，求三角形的面积． y x －a O a y －a O a x y O 1 x 2
经济数学基础 第7章定积分的应用 底×高==×1×2=1 解:按三角形面积公式有2 S=2xd 用定积分计算(如图) 例2梯形上底为1,下底为2,高为1,求梯形的面积 解:按梯形面积公式有 (上底+下底)高=×(1+2)×1= 用定积分计算(如图) S 例3求半径为2的圆的面积 解:按圆的面积公式有S=r2=4x 用定积分计算(如图) S=4|√4-x2dx 令x=2snt,则dx=2 cos tdt 2 S=402V4-4sin2t 2 cos tdt=16(2V1-sin2tcostdr 16 cos tdr=16(21+cos 21 dt=8(t+sin 21) 例4求由y=x+1,x=2及x轴和y轴围成的平面图形的面积
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——194—— 解：按三角形面积公式有 1 2 1 2 1 2 1 S = 底高 = = 用定积分计算（如图） = 1 0 S 2xdx 1 1 0 2 = x = 例 2 梯形上底为 1，下底为 2，高为 1，求梯形的面积． 解：按梯形面积公式有 2 3 1 2 1 2 1 2 1 S = （上底+ 下底）高 = （ + ） = 用定积分计算（如图） = 2 1 S xdx 2 3 2 2 1 2 = = x 例 3 求半径为 2 的圆的面积． 解：按圆的面积公式有 2 4 2 S = = 用定积分计算（如图） = − 2 0 2 S 4 4 x dx 令 x = 2sin t ，则 dx = 2costdt ， x = 0 时 t = 0 ； x = 2 时 2 t = ． = − 2 0 2 4 4 4sin 2cos d S t t t = − 2 0 2 16 1 sin cos d t t t = 2 0 2 16 cos d t t + = 2 0 d 2 1 cos 2 16 t t 2 0 sin 2 ) 2 1 8( = t + t = 4 例 4 求由 1 2 y = x + ， x = 2 及 x 轴和 y 轴围成的平面图形的面积． y O 1 x 2 2 y O 2 x
经济数学基础 第7章定积分的应用 解:平面图形如图所示 x2+1 例5求由y=Smx,x轴在区间2上围成的平面图形的面积 解:平面图形如图所示 y=sin x s=2 sin xdx =一co th2 x 例6求由y=x,y=x所围成的平面图形的面积 解:平面图形如图示,在区间(-1.0)上x>x 在区间0,1)上x>x x-x)dx+[(x-x )dx 由此得 195
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——195—— 解：平面图形如图所示 = + 2 0 2 S (x 1)dx 2 0 3 ) 3 ( x x = + 3 14 = 例 5 求由 y = sin x， x 轴在区间 ] 2 [0, 上围成的平面图形的面积． 解：平面图形如图所示 = 2 0 sin d S x x 2 0 cos = − x = 1 例 6 求由 y = x ， 3 y = x 所围成的平面图形的面积． 解：平面图形如图示，在区间 (−1, 0) 上 x x 3 在区间 (0, 1) 上 3 x x 由此得 = − + − − 1 0 3 0 1 3 S (x x)dx (x x )dx 2 1 ) 2 4 ) ( 4 2 ( 1 0 2 4 0 1 4 2 = − + − = − x x x x y O 1 x 1 2 y O x 1 π/2 y O 1 x 1
经济数学基础 第7章定积分的应用 ∫kx x+sin x ) dx 例7计算2 解:因为x都是偶函数,Smx是奇函数 所以x是偶函数,smx是奇函数,由此得 +sin x dx x2dx+至 sin xdx 2521xlx2dx+0=2 2x'dx 四、课堂练习 练习1求由曲线y=x-1与x轴及直线x=0,x=2围成的曲边梯形的面积 条曲线y=f(x)与x轴在区间a,b]上所围成的面积表示为 S=If(xr)dx 要计算这 个积分,需要去掉被积函数的绝对值号,这就要弄清f(x)在区间园a,b上的符号,考虑x2-1 在区间(O,2)内是否与x轴有交点,有则变号,没有则不变号.x2-1与x轴的交点为(,0), 在区间(0,2)内.在区间(0,1)上x2-10 练习2求由曲线y=X与直线y=-x+2,x=0围成的平面图形的面积 求y=x与y=x+2的交点,确定积分限.两条曲线y=f(x)与y=g(x)所围成的面 S=1(x)-g 积表示为 其中积分上下限,b是两曲线相距最远的两个交点的横坐 标(如果有第3条曲线则情况例外).要计算这个积分,需要去掉被积函数的绝对值号,这就 要弄清∫(x)-g(x)在反间[a,b上的符号 196
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——196—— 例 7 计算 − + 2 2 2 ( sin )d x x x x 解：因为 2 x , x 都是偶函数， sin x 是奇函数． 所以 2 x x 是偶函数， x sin x 是奇函数．由此得 − − − + = + 2 2 2 2 2 2 2 2 ( sin )d d sin d x x x x x x x x x x = + = 2 0 3 2 0 2 2 d 0 2 d x x x x x 2 32 4 2 0 4 = = x 四、课堂练习 练习 1 求由曲线 1 2 y = x − 与 x 轴及直线 x = 0, x = 2 围成的曲边梯形的面积． 一条曲线 y = f (x) 与 x 轴在区间 [a , b] 上所围成的面积表示为 = b a S f (x) dx 要计算这 个积分，需要去掉被积函数的绝对值号，这就要弄清 f (x) 在区间 [a , b] 上的符号．考虑 1 2 x − 在区间 (0, 2) 内是否与 x 轴有交点，有则变号，没有则不变号． 1 2 x − 与 x 轴的交点为 (1, 0) ， 在区间 (0, 2) 内．在区间 (0, 1) 上 1 0 2 x − ，在区间 (1, 2) 上 1 0 2 x − 练习 2 求由曲线 3 y = x 与直线 y = −x + 2, x = 0 围成的平面图形的面积 求 3 y = x 与 y = −x + 2 的交点，确定积分限．两条曲线 y = f (x) 与 y = g(x) 所围成的面 积表示为 = − b a S f (x) g(x) dx 其中积分上下限 a , b 是两曲线相距最远的两个交点的横坐 标（如果有第 3 条曲线则情况例外）．要计算这个积分，需要去掉被积函数的绝对值号，这就 要弄清 f (x) − g(x) 在区间 [a , b] 上的符号．
经济数学基础 第7章定积分的应用 五、课后作业 利用定积分的几何意义计算下列定积分: (1) (2) Jo VR2-x2dx(R>0) 2.求由下列曲线所围平面图形的面积: (1)直线y=3x+2,x=0,y=3,y=6 (2)y=x与x+y (3)y=c0Sx与x轴,在区间0,n上 3.利用函数的奇偶性求下列定积分的值: 2 xsin xdx (1) (3)J.(4x2+6x R 1.(1 2.(1)2:(2)2:(3)2 3.(1)0;(2)8:(3)4
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——197—— 五、课后作业 1．利用定积分的几何意义计算下列定积分： （1） 1 0 xdx ；（2） d ( 0) 0 2 2 − R x x R R . 2．求由下列曲线所围平面图形的面积： （1）直线 y = 3x + 2, x = 0, y = 3, y = 6 ； （2） 2 y = x 与 x + y = 2 ； （3） y = cos x 与 x 轴，在区间 [0, ] 上. 3．利用函数的奇偶性求下列定积分的值： （1） − 2 2 4 sin d x x x ；（2） − 2 2 3 x dx ； （3） − + 1 1 3 2 (4x 6x )dx . 1．（1） 2 1 ；（2） 2 4 R 2．（1） 2 5 ；（2） 2 9 ；（3）2 3．（1）0；（2）8；（3）4