《高等数学》课程电子教案：第十章（10.3）格林公式及其应用（1/2）

章节题目 第三节格林公式及其应用 连通区域的概念 重积分与曲线积分的联系 内/格林公式的应用 容 提 要 格林公式应用 重点分析 利用格林公式计算积分时,函数P(x,y)及Q(x,y)在区域D内某点 不具有连续偏导数时,如何构造新的闭区域 难|利用格林公式简化二重积分、曲线积分、求平面图形面积 点分析 1842(3)、3 题布置 备注

1 章 节 题 目 第三节 格林公式及其应用 内 容 提 要 连通区域的概念 二重积分与曲线积分的联系 格林公式的应用 重 点 分 析 格林公式应用 难 点 分 析 利用格林公式计算积分时，函数 P(x, y)及Q(x, y) 在区域 D 内某点 不具有连续偏导数时，如何构造新的闭区域 利用格林公式简化二重积分、曲线积分、求平面图形面积 习 题 布 置 P184 2（3）、3 备 注

教学内容 、区域连通性的分类 设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平 面单连通区域,否则称为复连通区域 单连通区域 复连通区域 设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G是空间 维单连通域如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面,则称G为空间 维单连通区域 一维单连通二维单连通维单连通二维不连通 维不连通二维单连通 、格林公式 定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有 2

2 教 学 内 容 一、区域连通性的分类 设 D 为平面区域, 如果 D 内任一闭曲线所围成的部分都属于 D, 则称 D 为平 面单连通区域, 否则称为复连通区域. 单连通区域 复连通区域 设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二 维单连通域;如果 G 内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间 一维单连通区域. 一维单连通二维单连通 一维单连通二维不连通 一维不连通二维单连通 二、格林公式 定理 1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成,函数 P(x, y)及Q(x, y) 在 D 上具有 D D G G G

阶连续偏导数则有(8b=+Qh() 其中L是D的取正向的边界曲线,公式(1)叫做格林公式 L由L与L2连成 L由L与L2组成 L 证明(1) y=2(x) y=91(x) h

3 一阶连续偏导数, 则有   = +   −   L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) (1) 其中 L 是 D 的取正向的边界曲线, 公式(1)叫做格林公式. L由L1与L2连成 L由L1与L2组成 证明(1) L2 D L1 L2 L1 D y x o a b D c d ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x A B

x=v2(y) 若区域D既是X-型又是Y-型,即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点 D={(xy)(x)≤y≤q(x)a≤x≤b D={(x,y)W(y)≤x≤v2(y)c≤y≤d r se drdy= d [on ald O(),y)dy- O(v(),y)dy LR OCx, D)dy-LrO(x,y)dy O(x,y)dy+.e(x,y)dy @(x, y)dy 同理可证 dy=. P(x,y)dx 两式相加得 dxdy=k Pdx+ody 证明(2) 若区域D由按段光滑的闭曲线围成如图, 将D分成三个既是X-型又是Y-型的区域D,D2,D3

4 若区域 D 既是 X − 型又是 Y − 型,即平行于坐标轴的直线和 L 至多交于两点. {( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 x  y 2 x a  x  b {( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 y  x  2 y c  y  d dx x Q dxdy dy x Q y y d c D      =   ( ) ( ) 2 1     = − d c d c Q( (y), y)dy Q( (y), y)dy  2 1   = − CBE CAE Q(x, y)dy Q(x, y)dy   = + CBE EAC Q(x, y)dy Q(x, y)dy  = L Q(x, y)dy 同理可证   =   − L D dxdy P x y dx y P ( , ) 两式相加得   = +   −   L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) 证明(2) 若区域 D 由按段光滑的闭曲线围成.如图, 将 D 分成三个既是 X − 型又是 Y − 型的区域 D1 , D2 , D3 . y x o d ( ) 2 x = y D c C E ( ) 1 x = y L L1 L2 L3 D D1 D2 D3

a0OP、 aP Dad D+D)+D. ax ay Ddxdy+ ax ay cdy+jo f, Pax+@dy+f, Pax+Ody+f, Pdx+@dy Pdx+ Ody (L1L2,L3对D来说为正方向) 证明(3) 若区域不止由一条闭曲线所围成添加直线段AB,CE则D的边界曲线由 AB,L2,BA AFC, CE,L3,EC及CGA构成 a0 aP 由(2)知 dxdy 志+a(P+b) =(2+5,+5,P+b) =5Pk+by(L2,L对D来说为正方向) 格林公式的实质:沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系 便于记忆形式 ax addy=t Pdx+ody P O

5   + +   −   =   −   1 2 3 ( ) ( ) D D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q      −   +   −   +   −   1 2 3 ( ) ( ) ( ) D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q dxdy y P x Q    = + + + + + L1 L2 L3 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy  = + L Pdx Qdy ( , ) L1, L2 L3对D来说为正方向 证明(3) 若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段 AB,CE.则 D 的边界曲线由 AB, L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成. 由(2)知    −   D dxdy y P x Q ( )      = + + + + AB L2 BA AFC CE {    + + +  + L EC CGA } (Pdx Qdy) 3    = + + + 2 3 1 ( )( ) L L L Pdx Qdy  = + L Pdx Qdy ( , ) L1, L2 L3对D来说为正方向 格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系. 便于记忆形式:    = +    L D dxdy Pdx Qdy P Q x y . G D L3 L2 F C E L1 A B

三、简单应用 1.简化曲线积分 例1计算J。xd其中曲线AB是半径为厂的圆在第一象限部分 解引入辅助曲线L,L=OA+AB+BO 应用格林公式,P=0,Q=x有 rdrdy= xdy =L, xdy+lardy+broxdy 由于[xd dxdy 2.简化二重积分 例2计算∫edtd其中D是以0(0)4(1,B(O1)为顶点的三角形闭区域 B 解令P=0.Q=xC,则22-m=c2, 应用格林公式有

6 三、简单应用 1. 简化曲线积分 例 1 计算 AB xdy ,其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在第一象限部分. 解 引入辅助曲线 L , L = OA+ AB+ BO 应用格林公式, P = 0, Q = x 有   − = L D dxdy xdy ,    = + + OA AB BO xdy xdy xdy = 0, = 0, OA BO 由于 xdy xdy . 4 1 2 xdy dxdy r D AB  = − = −    2. 简化二重积分 例 2 计算  − D y e dxdy 2 ,其中 D 是以 O(0,0), A(1,1), B(0,1) 为顶点的三角形闭区域. 解 令 2 0, y P Q xe − = = ,则 2 y e y P x Q − =   −   , 应用格林公式,有 x y o L A B D x y o B A 1 1 D

e> dxdy OA+AB+BO 例3计算4 xdy- vd. 其中L为一条无重点分段光滑且不经过原点的连续闭曲 线,L的方向为逆时针方向 解记L所围成的闭区域为D 令P=x+y2,Q=x2+y 则当x2+y2≠0时,有2=x2-x=P (x2+y2) dy- ydx (1)当(0,0)D时,由格林公式知 (2)当(0,0)∈D时,作位于D内圆周1:x2+y2=r2,记D1由L和l所围成 应用格林公式得 xdy-ydx r xdy-ydx 0 y x ty

7   + + − − = OA AB BO y D y e dxdy xe dy 2 2   − − = = 1 0 2 2 xe dy xe dx x OA y (1 ). 2 1 −1 = − e 例 3 计算  + − L x y xdy ydx 2 2 ,其中 L 为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲 线, L 的方向为逆时针方向. 解 记 L 所围成的闭区域为 D , 令 2 2 2 2 , x y x Q x y y P + = + − = , 则当 0 2 2 x + y  时, 有 y P x y y x x Q   = + − =   2 2 2 2 2 ( ) . (1) 当 (0, 0) D 时, 由格林公式知  = + − L x y xdy ydx 0 2 2 (2) 当 (0,0) D 时, 作位于 D 内圆周 2 2 2 l : x + y = r ,记 D1 由 L 和 l 所围成, 应用格林公式,得 0 2 2 2 2 = + − − + − L l x y xdy ydx x y xdy ydx x y o L D L D1 r l y x o

r+cos+r-sin-e (其中l的方向取逆时针方向) (注意格林公式的条件) 3.计算平面面积 格林公式:( )drdy=f, Pdx+@dy 取P=-y,Q=x,得2dy=4xdy-yt 闭区域D的面积A=xdy-yd 取P=0,Q=x,得A=xd 取P=-y,Q=0,得A=9-yzh 例4计算抛物线(x+y)2=ax(a>0)与x轴所围成的面积 A(a,0) 解ONA为直线y=0曲线AMO由函数y=√ax-x,x∈[0,a]表示 A=5 xdy- vdx LM xdy-ydr+LMxdy-ydx SaMo xdy-ydr=roiaw-1dr-(ar √xdx 四、小结 1连通区域的概念; 2.二重积分与曲线积分的关系 ∫(②2B)d=+0—格林公式 3.格林公式的应用

8   + − = + − L l x y xdy ydx x y xdy ydx 2 2 2 2  = 2 0    d r r r 2 2 2 2 2 cos + sin = 2. (其中 l 的方向取逆时针方向) (注意格林公式的条件) 3. 计算平面面积 格林公式:   = +   −   L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) 取 P = −y, Q = x, 得   = − L D 2 dxdy xdy ydx 闭区域 D 的面积  = − L A xdy ydx 2 1 . 取 P = 0, Q = x, 得  = L A xdy 取 P = −y, Q = 0, 得  = − L A ydx 例 4 计算抛物线 ( ) ( 0) 2 x + y = ax a  与 x 轴所围成的面积. 解 ONA 为直线 y = 0 .曲线 AMO 由函数 y = ax − x, x[0,a] 表示,   = − L A xdy ydx 2 1   = − + − ONA AMO xdy ydx xdy ydx 2 1 2 1  = − AMO xdy ydx 2 1 dx ax x dx ax a x a 1) ( ) 2 ( 2 1 0 = − − −  . 6 1 4 2 0 xdx a a a = =  四、小结 1.连通区域的概念; 2.二重积分与曲线积分的关系   = +   −   L D dxdy Pdx Qdy y P x Q ( ) ——格林公式; 3. 格林公式的应用. A(a,0) N M

思考题 若区域φ如图为复连通域,试描述格林公式中曲线积分中L的方向 ao a kady=Pax+Ody 思考题解答 L由两部分组成 外边界: BCDAB 内边界:EG

9 思考题 若区域  如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中 L 的方向。   = +           −   D L dxdy Pdx Qdy y P x Q 思考题解答 L 由两部分组成 外边界： BCDAB 内边界： EGFE o x y A B D C E F  G