《高等数学》课程电子教案：第十章（10.2）对坐标的曲线积分

章节题目 第二节对坐标的曲线积分 对坐标的曲线积分的概念与性质 对坐标的曲线积分的计算 内|两类曲线积分之间的联系 容提要 对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 P(x,y)dx+O(x,y)dy=-L P(x, y)dx+O(,y)dy 重对坐标的曲线积分计算中,积分上下限的确定 占 分析 对坐标的曲线积分计算中,积分上下限与起点和终点有关 两类曲线积分之间的联系 难点分析 习\Pn3(单)、4(单)、7(3)、8 题 布 备注

1 章 节 题 目 第二节 对坐标的曲线积分 内 容 提 要 对坐标的曲线积分的概念与性质 对坐标的曲线积分的计算 两类曲线积分之间的联系 重 点 分 析 对坐标的曲线积分与曲线的方向有关   + = − + −L L P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy 对坐标的曲线积分计算中，积分上下限的确定 难 点 分 析 对坐标的曲线积分计算中，积分上下限与起点和终点有关 两类曲线积分之间的联系 习 题 布 置 P170 3（单）、4（单）、7（3）、8 备 注

教学内容 问题的提出 实例:变力沿曲线所作的功 L: A>B, F(x,y)=P(x, y)i+o(,y) 常力所作的功W=F 分割A=M0,M1(x,y M-M1=(△x)+(△y) M 取F(51,)=P(5,n)+Q(,n) △W≈F(1)·M1 即△W≈P(,n)Ax1+Q(5,n)Ay 求和W=∑AH≈∑[P(5,mn)Ax+Q(5,),4近似值 取极限W=m∑[P(5,m)Ax+Q(5,n)Ay]精确值 M M 、对坐标的曲线积分的概念 2

2 教 学 内 容 一、问题的提出 实例: 变力沿曲线所作的功 L : A → B, F x y P x y i Q x y j   ( , ) = ( , ) + ( , ) 常力所作的功 分割 , ( , ), , ( , ), . A = M0 M1 x1 y1  Mn−1 xn−1 yn−1 Mn = B ( ) ( ) . 1 M M x i y j i i i i   − =  +  F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i   取   =   +   ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi      ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即W  P   x +Q   y 求和 = =  n i W Wi 1 [ ( , ) ( , ) ]. 1 =   +  n i i i i i i i P   x Q   y 近似值 取极限 lim [ ( , ) ( , ) ]. 1 0= → =  +  n i i i i i i i W P   x Q   y  精确值 二、对坐标的曲线积分的概念 W = F  AB. o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 i x i y o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) F i i i x i y

定义:设L为xo面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧 函数P(x,y),Q(x,y)在L上有界用L上的点M(x1,y1) M2(x2,y2),…Mn1(xn1,yn)把L分成n个有向小弧段 M1M1(i=1,2,…,n,M0=A,Mn=B)设Ax1=x1-x1 Ay2=y2-y21,点(51,n)为M1M1上任意取定的点如果当 各小弧段长度的最大值λ→0时, ∑P(51,n)x的极限存在,则称此极限为函数P(xy)在有向 曲线弧L上对坐标x的曲线积分(或称第二类曲线积分),记作 「Pxy)=m∑P5,nx 类似地定义∫Q(xy=m∑Q(5,m)Ay 其中P(x,y),Q(x,y)叫做被积函数,L叫积分弧段 2存在条件 当P(x,y),(x,y)在光滑曲线弧L上连续时,第二类曲线积分存在 3组合形式 「Pxy)+」oxy=JPxy)d+xy)h=JFd 其中F=P+g,d=di+dh 4推广 空间有向曲线弧r「P+Qb+R 「Pxy.=m∑P(,n,)A o(xy,=)=m∑Q(,n,,)Ay Rxy=m∑R(5,n,)A 5性质 ()如果把L分成L和L,则∫Pa+h=Pa+gh+JPa+ah (2)设L是有向曲线弧-L是与L方向相反的有向曲线弧则

3 0 , , ( , ) . ( 1,2, , ; , ). , ( , ), , ( , ) ( , ), ( , ) . ( , ), , 1 1 1 0 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 各小弧段长度的最大值 时 点 为 上任意取定的点 如果当 设 把 分成 个有向小弧段 函数 在 上有界 用 上的点 定义：设 为 面内从点 到点 的一条有向光滑曲线弧 →  = − = = =  = − − − − − − − −  i i i  i i i i i i n i i i n n n y y y M M M M i n M A M B x x x M x y M x y L n P x y Q x y L L M x y L xoy A B   ( , ) lim ( , ) . ( , ( , ) , ( , ) 1 0 1 i i n i i L n i i i i P x y dx P x L x P x P x y =      = → =      曲线弧 上对坐标 的曲线积分 或称第二类曲线积分） 记作 的极限存在 则称此极限为函数 在有向 类似地定义 ( , ) lim ( , ) . 1 0 i i n i i L Q x y dy = Q y  = →    其中P(x, y), Q(x, y)叫做被积函数, L叫积分弧段. 2.存在条件： 当P(x, y), Q(x, y)在光滑曲线弧L上连续时, 第二类曲线积分存在. 3.组合形式    + = + L L L P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy .  =  L F ds  F Pi Qj, ds dxi dyj.      其中 = + = + 4.推广 空间有向曲线弧  .  Pdx +Qdy + Rdz ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i P x y z dx = P x  =  →     ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i Q x y z dy = Q y  =  →     ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i R x y z dz = R z  =  →     5.性质 (1) , . 1 2 1 2    + = + + + L L L 如果把L分成L 和L 则 Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy (2) 设L是有向曲线弧,−L是与L方向相反的有向曲线弧, 则

P(,y)dx+O(x,y)dy=- P(x,y)dx+O(x,y)dy 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 对坐标的曲线积分的计算 设P(x,yQ(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数 方程 =q(D) 当参数单调地由a变到时,点M(x,y)从L的 y=v(1) 起点4沿L运动到终点B,o(t),v(1)在以a及B为端点的闭区间 上具有一阶连续导数,且g2()+y2(1)≠0,则曲线积分 P(xy)k+(xy存在 且Pxy)k+xy)=[{Powo)()+ooy(o)ht 特殊情形 (1):y=y(x)x起点为a,终点为b 则∫P+②b=∫Px(x)+Cx(x)y(x) (2)L:x=x(y)y点为c,终点为d 则∫Ph+b=xy)y()+Cxy)yb x=o(t) (3)推广 y=v(D),t起点 终点B [Pdk+ab+R={P0)(.o()p( +Q(),v(1),o()y(t)+[o(t),v(,o()jo')}dt (4)两类曲线积分之间的联系: 「x=o() 设有向平面曲线弧为1y=v(0 L上点(x,y)处的切线向量的方向角为a,B, 则P+Qb-(Pcsa+os)d 其中cosa= B √q2(m)+v"(t) 2()+y2(t) (可以推广到空间曲线上 r上点(x,y,=)处的切线向量的方向角为a,B,y

4   + = − + −L L P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 三、对坐标的曲线积分的计算 ( , ) ( , ) , , ( ) ( ) 0, , ( ), ( ) , ( , ) ( ), ( ), ( , ), ( , ) , 2 2 存在 上具有一阶连续导数 且 则曲线积分 起点 沿 运动到终点 在以 及 为端点的闭区间 方程为 当参数 单调地由 变到 时 点 从 的 设 在曲线弧 上有定义且连续 的参数  +  +      = = L P x y dx Q x y dy t t A L B t t t M x y L y t x t P x y Q x y L L           P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt L ( , ) ( , ) { [( ),( )] ( ) [( ),( )] ( )}   + =  +  且  特殊情形 (1) L: y = y(x) x起点为a，终点为b. Pdx Qdy {P[x, y(x)] Q[x, y(x)]y (x)}dx. b L a 则 + = +  (2) L: x = x(y) y起点为c，终点为d. Pdx Qdy {P[x(y), y]x (y) Q[x(y), y]}dy. d L c 则 + =  + , , . ( ) ( ) ( ) (3) :      推广 t起点 终点 z t y t x t      = = =  Q t t t t R t t t t dt Pdx Qdy Rdz P t t t t [ ( ), ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( )} { [ ( ), ( ), ( )] ( )               +  +  + + =    (4) 两类曲线积分之间的联系： , ( ) ( )    = = y t x t L   设有向平面曲线弧为 ： L上点(x, y)处的切线向量的方向角为, ,   + = + L L 则 Pdx Qdy (Pcos Qcos )ds 其中 , ( ) ( ) ( ) cos 2 2 t t t      +   = , ( ) ( ) ( ) cos 2 2 t t t      +   = （可以推广到空间曲线上 ） 上点(x, y, z)处的切线向量的方向角为, , 

则Pa+h+R[(Pa+gsB+Rsy 可用向量表示=47d=4亦=4 其中A={P,Q,R},t={cosa,cosB,cosy}, r上点(x,y,2)处的单位切向量 d=tds={dx,d,da}有向曲线元; A为向量A在向量7上的投影 例1计算xt其中L为抛物线y2=x上从1-1)到B1)的一段弧 B(1,1) A(1,-1) (1)化为对x的定积分,y=±√x xvax+ xl x(-√x)ax+xxdx=2/,24 (2)化为对y的定积分,x=y2,y从-1到 d x y形p)如=4P、4 例 计算[y2dx,其中L为 (1)半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周 (2)从点A(a0)沿x轴到点B(_a,0)的直线段 解

5   则 Pdx+Qdy + Rdz = (Pcos +Qcos  + Rcos )ds 可用向量表示  = At ds    = Adr   ,  = Ads t  其中 A ={P, Q, R}，  t ={cos, cos, cos},  上点(x, y,z)处的单位切向量 dr = t ds ={dx, dy, dz}   有向曲线元； A为向量A在向量t上的投影. t   例 1 , (1, 1) (1,1) . 计算 xydx 其中L为抛物线 y 2 x上从A 到B 的一段弧 L = −  解 (1)化为对x的定积分，y =  x.    = + L AO OB xydx xydx xydx   = − + 1 0 0 1 x( x)dx x xdx  = 1 0 2 3 2 x dx . 5 4 = (2) 化为对y的定积分， , 2 x = y y从−1到1.   = L AB xydx xydx − =  1 1 2 2 y y(y ) dy − = 1 1 4 2 y dy . 5 4 = 例 2 (2) ( ,0) ( ,0) . (1) ; , 2 从点 沿 轴到点 的直线段 半径为 、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周 计算 其中 为 A a x B a a y dx L L −  解 y = x 2 A(1,−1) B(1,1)

B(-a0) L:x=acosO 6从0变到丌, y=asn 6 原式 e)de (1-cos 0)d(cos 0) L:y=0,x从a变到 原式=Odx=0 问题:被积函数相同,起点和终点也相同,但路径不同积分结果不同 例3 计算 dy,其中L为 (1)抛物线y=x2上从O(00)到B(,1)的一段弧 2)抛物线x=y2上从O(0,0)到B(,1)的一段弧; (3)有向折线OAB,这里O,A,B依次是点(0.0),0)(1,1) B(1,1) 0.20.40.609(1,O2 (1)化为对x的积分L:y=x2,x从0变到

6 , sin cos (1) :    = =   y a x a  L  从0变到，  =  0 原式 a sin ( asin )d 2 2 −  =  0 3 a (1 cos ) (cos ) 2 −  d  . 3 4 3 = − a (2)  L : y = 0, x从a 变到−a，  − = a a 原式 0dx = 0. 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同. 例 3 (3) , , (0,0)(1,0),(1,1). (2) (0,0) (1,1) ; (1) (0,0) (1,1) ; 2 , 2 2 2 有向折线 ，这里 依次是点 抛物线 上从 到 的一段弧 抛物线 上从 到 的一段弧 计算 其中 为 OAB O A B x y O B y x O B xydx x dy L L = = +  解 (1) 化为对 x的积分. : , 0 1, L y = x 2 x从 变到 B(−a,0) A(a,0) 2 y = x A(1,0) B(1,1)

原式=(2xx2+x22x)d=4|xax=1 B(,) 4610 (2)化为对y的积分L:x=y2,y从0变到1, 原式=(2y2y2y+y)=5y=1 B(1,1) (3) 原式=[,2x+x2b+J2+xh 在O4上,y=0,x从0变到1, 2+xh=[(2x0+x20k=0 在AB上,x=1,y从0变到1 LR2xydx+x dy=h(2y.0+1)dy=l 原式=0+1=1 问题:被积函数相同,起点和终点也相同,但路径不同而积分结果相同

7  =  +  1 0 2 2 原式 (2x x x 2x)dx  = 1 0 3 4 x dx =1. (2) 化为对 y的积分. : , 0 1, L x = y 2 y从 变到  =   + 1 0 2 4 原式 (2y y 2y y )dy  = 1 0 4 5 y dx =1. （3）   = + + + OA AB xydx x dy xydx x dy 2 2 原式 2 2 在OA 上, y = 0, x从0变到1,   + =  +  1 0 2 2 2xydx x dy (2x 0 x 0)dx OA = 0. 在 AB上, x =1, y 从0变到1,   + =  + 1 0 2 2xydx x dy (2y 0 1)dy AB =1. 原式= 0+1 =1. 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同. 2 x = y A(1,0) B(1,1) A(1,0) B(1,1)

四、小结 对坐标曲线积分的概念 2、对坐标曲线积分的计算 3、两类曲线积分之间的联系 思考题 当曲线L的参数方程与参数的变化范围给定之后(例如L:x= a cos t, y=asnt,t∈[0,2x],a是正常数),试问如何表示L的方向(如L表示为顺时 针方向、逆时针方向)? 思考题解答 曲线方向由参数的变化方向而定 例如L:x= acos t,y=asnt,t∈[0,2r]中 当1从0变到2丌时,L取逆时针方向 反之当t从2丌变到0时,L取顺时针方向

8 四、小结 1、对坐标曲线积分的概念 2、对坐标曲线积分的计算 3、两类曲线积分之间的联系 思考题 当曲线 L 的参数方程与参数的变化范围给定之后（例如 L ： x = acost ， y = asin t ，t [0,2 ]，a 是正常数），试问如何表示 L 的方向（如 L 表示为顺时 针方向、逆时针方向）？ 思考题解答 曲线方向由参数的变化方向而定. 例如 L ： x = acost ， y = asin t ，t [0,2 ] 中 当 t 从 0 变到 2 时， L 取逆时针方向; 反之当 t 从 2 变到 0 时， L 取顺时针方向