《高等数学》课程电子教案：第十章（10.5）对坐标的曲面积分

章节题目 第五节对坐标的曲面积分 对坐标的曲面积分的概念及性质 对坐标的曲面积分的计算法 内|两类曲面积分之间的联系 容提要 对坐标的曲面积分的计算 重点分析 曲面的侧的确定 难点分析 Pn23(单) 题布置 备注

1 章 节 题 目 第五节 对坐标的曲面积分 内 容 提 要 对坐标的曲面积分的概念及性质 对坐标的曲面积分的计算法 两类曲面积分之间的联系 重 点 分 析 对坐标的曲面积分的计算 难 点 分 析 曲面的侧的确定 习 题 布 置 P203 3（单）、4 备 注

教学内容 基本概念 观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面的分类:1.双侧曲面;2单侧曲面 典型双侧曲面 典型单侧曲面:莫比乌斯带 曲面法向量的指向决定曲面的侧 决定了侧的曲面称为有向曲面 曲面的投影问题:在有向曲面Σ上取一小块曲面AS,AS在xoy面上的 投影(△S)为 2

2 教 学 内 容 一、基本概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典型双侧曲面 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 曲面法向量的指向决定曲面的侧. 决定了侧的曲面称为有向曲面. 曲面的投影问题:在有向曲面Σ上取一小块曲面 S , S在xoy 面上的 投影 (S) xy为 n 

(△a)当cosy>0时 (△S)n={-(△a)当cosy<0时 0当cosy=0时 其中(△a),表示投影区域的面积 概念的引入 实例:流向曲面一侧的流量 (1)流速场为常向量ν,有向平面区域A求单位时间流过A的流体的质量Φ(假定 密度1) 流量=cosb=,n=,A (2)设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的速度场由 v(x, y, a)=P(x,y, z)i+o(x, y,=j+R(x, y, z)k 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面函数P(x,y,=),Q(x,y,z),R(x,y,z) 都在Σ上连续,求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量Φ 1.分割 把曲面Σ分成n小块△s,(△s同时也代表第i小块曲面的面积),在△s,上任取 点(5,n2,5),则该点流速为v,法向量为n2

3 . 0 cos 0 ( ) cos 0 ( ) cos 0 ( )      = −      = 当 时 当 时 当 时      xy xy S xy 其中( ) 表示投影区域的面积.  xy 二、概念的引入 实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v  ,有向平面区域 A,求单位时间流过 A 的流体的质量  (假定 密度 1). Av Av n v A       = =  =  0 流量 cos （2）设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)的速度场由 v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k     ( , , ) = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数 P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z) 都在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量  . 1. 分割 把曲面Σ分成 n 小块 i s ( i s 同时也代表第 i 小块曲面的面积),在 i s 上任取一 点 ( , , ) i i  i ,则该点流速为 i v  ，法向量为 i n  A v  0 n   A x y z o 

v=v(2n25) P(5,n,=)+Q1,7,5)+R(,1,5 该点处曲面Σ的单位法向量n=cosa+ cos,j+ cosy k, 通过△s流向指定侧的流量的近似值为v;n△AS,(i=1,2,…,n) 2.求和 通过Σ流向指定侧的流量 =IP(:, n, 5: )cosa, +O(;, n, 51 )cos B+R(5:, ", 5:)cosy JAS ∑[P(5,n,5X△S)=+Q(5,n,5X△S)+R(51,n2,5S) 3取极限λ→0取极限得到流量Φ的精确值 、概念及性质 定义设Σ为光滑的有向曲面函数在Σ上有界把Σ分成n块小曲面AS,(AS同 时又表示第i块小曲面的面积,AS在xoy面上的投影为(△S)y,(51,2,5)是△S 上任意取定的一点,如果当各小块曲面的直径的最大值A→>0时 im∑R(5,m,5X△S)n存在,则称此极限为函数R(x,y,)在有向曲面Σ上对 坐标xy的曲面积分(也称第二类曲面积分记作R(xy,=)d,即 Rxy2d=ln∑R5,n,5XAS 类似可定义 P(x,y)=mn∑P(5,m,5△S) Qxy:)tx=m∑Q5,n2X△) 存在条件: 当P(x,y,=).Q(x,y,=)R(x,y,=)在有向光滑曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分

4 ( , , ) ( , , ) ( , , ) , ( , , ) P i Q j R k v v i i i i i i i i i i i i i                 = + + = 该点处曲面Σ的单位法向量 n i j k i i i i     cos cos cos 0 = + + , 通过 i s 流向指定侧的流量的近似值为 v n S (i 1,2, ,n). i  i i =  2. 求和 通过Σ流向指定侧的流量 =     n i i ni Si v 1 i i i i i i i i n i =  P i i i i + Q + R S = [ ( , , ) cos ( , , ) cos ( , , ) cos ] 1             yz i i i i i i i i xy n i [P( i , i , i )( Si ) Q( , , )( S ) R( , , )( S ) 1 =   +  +  =          3.取极限  →0 取极限得到流量的精确值. 三、概念及性质 定义 设Σ为光滑的有向曲面,函数在Σ上有界,把Σ分成 n 块小曲面 i S ( i S 同 时又表示第 i 块小曲面的面积), i S 在 xoy 面上的投影为 Si xy ( ) ,( , , ) i i  i 是 i S 上任意取定的一点 , 如 果 当 各 小 块 曲 面 的 直 径 的 最 大 值  →0 时 , = →  n i R i i i Si xy 1 0 lim ( , , )( )  存在, 则称此极限为函数 R(x, y,z) 在有向曲面Σ上对 坐标 x, y 的曲面积分(也称第二类曲面积分)记作   R(x, y,z)dxdy ,即  = →  =  n i dxdy R i i i Si xy R x y z 1 0 ( , , ) lim ( , , )( )  类似可定义  = →  =  n i dydz P i i i Si yz P x y z 1 0 ( , , ) lim ( , , )( )   = →  =  n i dzdx Q i i i Si zx Q x y z 1 0 ( , , ) lim ( , , )( )  存在条件: 当 P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z) 在有向光滑曲面Σ上连续时,对坐标的曲面积分

存在 组合形式: P(,y, =dyd=+O(x, y, =)cdx+r(x,y, =)dxd 物理意义 a=P(x, ,=)dyd=+@(x,y,=)dex+R(x,y,=)drdy 性质 Pdyd- oded+ rdxdy []Payd+@dzdx+ Rdrdy +[]pdyd:+@dzdx+Rdrdy 2. P(x,y, =)dyd==-IP(x,y, =)dyd= ∫g(x,y.)tdk=-(x,y)h ∫R(xy)=-R(xy)d 四、计算法 设积分曲面Σ是由方程z=(x,y)所给出的曲面上侧,Σ在xoy面上的投影区域 为Dx,函数=(x,y)在Dx上具有一阶连续偏导数,被积函数R(x,y,z)在Σ上 连续 Rxy:b=m∑R5,n,≤X△S)

5 存在. 组合形式: P(x, y,z)dydz +Q(x, y,z)dzdx + R(x, y,z)dxdy   物理意义:  = P(x, y,z)dydz +Q(x, y,z)dzdx + R(x, y,z)dxdy   性质:       + = + + + + + + + 1 2 1 2 1. Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy       −  −  −  = − = − = − R x y z dxdy R x y z dxdy Q x y z dzdx Q x y z dzdx P x y z dydz P x y z dydz ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2. ( , , ) ( , , ) 四、计算法 设积分曲面Σ是由方程 z = z(x, y) 所给出的曲面上侧,Σ在 xoy 面上的投影区域 为 Dxy ,函数 z = z(x, y) 在 Dxy 上具有一阶连续偏导数,被积函数 R(x, y,z) 在Σ上 连续.  = →  =  n i dxdy R i i i Si xy R x y z 1 0 ( , , ) lim ( , , )( )   z = f (x, y) Dxy x y z o xy (s)

∑取上侧,cosy>0,∴(△S)=(△a) 又∵5=(51,n) im∑R(5,m,5AS)=m∑R(51,mn,=(5,)△) Ep R(x,y, =dxdy=R[x,y, =(x, y)dxdy 若Σ取下侧,cosy<0,:(△S)=-(△a)y R(x,),=)dxdy=-[R[x,y,(x,y)]drdy 如果Σ由x=x(y,=)给出则有 P(xy=)=∫1xy.2)y1h 如果Σ由y=y(=,x)给出则有 Ocx, y, =)dex=+[olx,y(=x)=]d=dx 注意对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧 例1计算xy=ad其中∑是球面x2+y2+2=1外侧在x≥20,y≥0的部分 解把Σ分成Σ和Σ两部分X:z1=-h-x2 xyzdxd yzdxdy+ xyzdxdy xy/1-x2-ydxdy-[xy-V1-x2-y2)drdy

6 ( , ) , cos 0, ( ) ( ) , i i i i xy xy z S      =     =    又 取上侧 = → = →   =  n i i i i i i xy n i i i i i xy R S R z 1 0 1 0 lim ( , , )( ) lim ( , , ( , ))(  )     =  Dxy 即 R(x, y,z)dxdy R[x, y,z(x, y)]dxdy , cos 0, ( ) ( ) , Si xy  xy 若取下侧     = −    = −  Dxy R(x, y,z)dxdy R[x, y,z(x, y)]dxdy 如果由x = x(y,z)给出, 则有   =   Dyz P(x, y,z)dydz P[x(y,z), y,z]dydz 如果由y = y(z, x)给出, 则有   =   Dz x Q(x, y,z)dzdx Q[x, y(z, x),z]dzdx 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 例 1 计算   xyzdxdy 其中Σ是球面 1 2 2 2 x + y + z = 外侧在 x  0, y  0 的部分. 解 把分成1和2两部分 : 1 ; 2 2 1 1  z = − − x − y : 1 , 2 2 2 2  z = − x − y       = + 2 1 xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy   = − − − − − − Dxy Dxy x y 1 x y dxdy x y( 1 x y )dxdy 2 2 2 2 x y z 2 + 1 −

x'-y dx ersin 8 五、两类曲面积分之间的联系 f(x, y) D 设有向曲面Σ是由方程z=x(x,y)给出,Σ在xoy面上的投影区域为Dx,函 数〓=〓(x,y)在Dx上具有一阶连续偏导数,R(x,y,=)在Σ上连续.对坐标的 曲面积分为Rxyb=士1x,y:(x,y)d,曲面x的法向量的方向 干二 余弦为cosa CoS coSy 2+二 1+z2+ 对面积的曲面积分为 Rx,y,) cosys=土刚x,y,-(x,y)xd 所以R(xy,d=( ax, y,=)cos yds(注意取曲面的两侧均成立) 两类曲面积分之间的联系 fPdyd+ Oded+Rdrdy=[(Pcosa+gcos B+Rcos y)dS 向量形式44=4,n或』= 其中A={P,Q,R},n={cosa,cosB,cosy}为有向曲面Σ上点(x,y,=)处的单位 法向量,dS=成dS={dh,dhx,d的称为有向曲面元,A为向量A在方上的投

7  = − − Dxy xy x y dxdy 2 2 2 1 . 15 2 2 sin cos 1 2 2  = − = Dxy r   r rdrd 五、两类曲面积分之间的联系 设有向曲面Σ是由方程 z = z(x, y) 给出,Σ在 xoy 面上的投影区域为 Dxy , 函 数 z = z(x, y) 在 Dxy 上具有一阶连续偏导数, R(x, y,z) 在Σ上连续. 对坐标的 曲面积分为   =   Dxy R(x, y,z)dxdy R[x, y,z(x, y)]dxdy，曲面Σ的法向量的方向 余弦为 . 1 1 ,cos 1 ,cos 1 cos 2 2 2 2 2 2 x y x y y x y x z z z z z z z z + +  = + + = + +  =     对面积的曲面积分为   =   Dxy R(x, y,z)cosdS R[x, y,z(x, y)]dxdy 所以 R(x, y,z)dxdy R(x, y,z)cosdS     = (注意取曲面的两侧均成立) 两类曲面积分之间的联系 Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos  Rcos )dS     + + = + + 向量形式         AdS = AndS Ads = AndS        或 其中 A = {P,Q,R},n = {cos,cos ,cos }   为有向曲面Σ上点 (x, y,z) 处的单位 法向量, dS = ndS = {dydz,dzdx,dxdy}   称为有向曲面元, An 为向量 A  在 n  上的投 影. Dxy z = f (x, y)  x y z o ds n 

例2计算(x2+x)hk-dtdb,其中∑是旋转抛物面:=1,2+y2)介于平 面z=0及z=2之间的部分的下侧 解』(2+x)=( 在曲面Σ上,有cosa COSy= (二2+x)hz-zdy=‖ x)(x)-z]dxdy {(x2+y2)+x]( 1_2 (x"+yday x-+-(x-+ 六、小结 1、物理意义 2、计算时应注意以下两点 (1)曲面的侧 (2)“一投,二代,三定号 思考题 设Σ为球面x2+y2+z2=1,若以其球面的外侧为正侧,试问 y=√1-x2-2之左侧(即oy轴与其法线成钝角的一侧)是正侧吗?那么 y=-1-x2-2的左侧是正侧吗?

8 例 2 计算 z + x dydz − zdxdy   ( ) 2 ,其中Σ是旋转抛物面 ( ) 2 1 2 2 z = x + y 介于平 面 z = 0 及 z = 2 之间的部分的下侧. 解   (z + x)dydz 2   = (z + x)cosds 2   = z + x dxdy   cos cos ( ) 2 在曲面上, 有 . 1 1 , cos 1 cos 2 2 2 2 x y x y x + + − = + +  =       (z + x)dydz − zdxdy = [(z + x)(−x) − z]dxdy 2 2  = − + +  − − + Dxy x y x x (x y )}dxdy 2 1 ( ) ] ( ) 4 1 {[ 2 2 2 2  = + + Dxy x (x y )]dxdy 2 1 [ 2 2 2   = + 2 0 2 2 2 2 0 ) 2 1 d (r cos  r rdr  =8. 六、小结 1、物理意义 2、计算时应注意以下两点 （1）曲面的侧 （2）“一投,二代,三定号” 思考题 设  为 球 面 1 2 2 2 x + y + z = ， 若 以 其 球 面 的 外 侧 为 正 侧 ， 试 问 2 2 y = 1− x − z 之左侧（即 oy 轴与其法线成钝角的一侧）是正侧吗？那么 2 2 y = − 1− x − z 的左侧是正侧吗？ 

思考题解答 此时y=√1-x2-2的左侧为负侧,而y=-1-x2-2的左侧为正侧

9 思考题解答 此时 2 2 y = 1− x − z 的左侧为负侧，而 2 2 y = − 1− x − z 的左侧为正侧