《高等数学》课程电子教案：第十二章（12.5）全微分方程

章节题目 第五节全微分方程 全微分方程及其解法 积分因子法 内容提要 全微分方程的判定及其解法 用凑微分法求解微分方程 重点分析 积分因子的构造 难点分析 题|321(单、2(单)、4 布 备注

1 章 节 题 目 第五节 全微分方程 内 容 提 要 全微分方程及其解法 积分因子法 重 点 分 析 全微分方程的判定及其解法 用凑微分法求解微分方程 难 点 分 析 积分因子的构造 习 题 布 置 P352 1（单）、2（单）、4 备 注

教学内容 全微分方程及其求法 1定义:若有全微分形式d(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)d 则P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0全微分方程或恰当方程 例如xdx+ydy=0, dhn(x,y)=xax+yay,所以是全微分方程 全微分方程a oP aO 2解法:P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0全微分方程 N应用曲线积分与路径无关:2=2 通解为以(x,y)=」P(x,y)dx+gxa,y)dy O(x, y)dy+ P(x, yo )dx, u(x,y)=C N用直接凑全微分的方法 例1求方程(x3-3xy2)ax+(y3-3x2y)d=0的通解 aP 解 -bxy 是全微分方程, u(x, y)=(x'-3xy2)dx+J y'dys 22y'ttr 原方程的通解为 例2求方程t+y2-3x2 ya=0的通解 aP 6x 00 解 是全微分方程, 将左端重新组合 2

2 教 学 内 容 一、全微分方程及其求法 1.定义: 若有全微分形式 du(x, y) = P(x, y)dx +Q(x, y)dy 则 P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 全微分方程或恰当方程 例如 xdx+ ydy = 0, ( ), 2 1 ( , ) 2 2 u x y = x + y du(x, y) = xdx+ ydy, 所以是全微分方程. . x Q y P   =   全微分方程  2.解法: P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 全微分方程  应用曲线积分与路径无关. x Q y P   =    通解为   = + y y x x u x y P x y dx Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , 0 0 0 Q x y dy P x y dx x x y y  = + u(x, y) = C ;  用直接凑全微分的方法. 例 1 ( 3 ) ( 3 ) 0 . 求方程 x 3 − x y 2 dx + y 3 − x 2 y dy = 的通解 解 6 , x Q xy y P   = − =   是全微分方程,   = − + x y u x y x xy dx y dy 0 3 0 3 2 ( , ) ( 3 ) , 2 4 3 4 4 2 2 4 y x y x = − + 原方程的通解为 . 2 4 3 4 4 2 2 4 C y x y x − + = 例 2 0 . 2 3 4 2 2 求方程 3 = 的通解 − + dy y y x dx y x 解 , 6 4 x Q y x y P   = − =   是全微分方程, 将左端重新组合

d y+(dx 原方程的通解为-1+x=C 、积分因子法 定义:(x,y)≠0连续可微函数,使方程 u(x,y)P(x, y)ax+u(x, yo(x, y)dy=0 成为全微分方程则称(x,y)为方程的积分因子 问题:如何求方程的积分因子? 12公式法:P=) 2+P=2+Q两边同除山, ar-P op do 求解不容易 特殊地: a当只与x有关时,2=0.9=如 dIn u 1 aP =f(x) dx o oy u(r)=e/)dr b当以贝与有关时=0.= dIn u 1 aa g(y) g(y)dy ∴(y)=e 2观察法:凭观察凑微分得到(x,y)

3 ) 2 3 ( 1 4 2 2 3 dy y x dx y x dy y + − ) ( ) 1 ( 3 2 y x d y = d − + ), 1 ( 3 2 y x y = d − + 原方程的通解为 . 1 3 2 C y x y − + = 二、积分因子法 定义: (x, y)  0 连续可微函数，使方程 (x, y)P(x, y)dx + (x, y)Q(x, y)dy = 0 成为全微分方程.则称 (x, y) 为方程的积分因子. 问题: 如何求方程的积分因子? 1.公式法: , ( ) ( ) x Q y P   =      x Q x Q y P y P   +   =   +       两边同除， x Q y P y P x Q   −   =   −   ln  ln  求解不容易 特殊地: a.当只与x有关时; = 0,   y  , dx d x   =   ( ) ln 1 x Q y P dx Q d   −    =  = f (x) ( ) . ( )   = f x dx  x e b.当只与y有关时; = 0,   x  , dy d y   =   ( ) ln 1 y P x Q dy P d   −    =  = g( y) ( ) . ( )   = g y dy  y e 2.观察法: 凭观察凑微分得到 (x, y)

常见的全微分表达式 xdy-ydx=d y xdy-vdx arctan xdy+ ycx=d (In xy) xx+ydy, h(x2+y2) dly-ydx 2 x-3 可选用的积分因子有 xty x xy2 例3、求微分方程(3xy+y2)dx+(x2+xy)d=0的通解 解 则原方程为 (3xy+xy )dx+(x'+x y)dy=0 3x2yax+xy+x(ya+xd)可积组合法 (xy))=0 原方程的通解为 (xy)2=C.(公式法) 例4求微分方程2x(+√x2-y)dx-√x2-yahy=0的通解 解2xdx+2x√x2-yd-√x2-ydy=0 d(x2)+\x2-yd(x2)-x2-ydy=0 将方程左端重新组合有d(x2)+√x2-yd(x2-y)=0, 原方程的通解为x2+(x2-y)2=C 例5求微分方程2 yiN ydx+(x2+y2y1+y2)d=0的通解 解将方程左端重新组合有

4 常见的全微分表达式 可选用的积分因子有 , , . 1 , 1 , 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 等 x y y x x + y x x y x + y 3 (3 ) ( ) 0 . 例 、求微分方程 x y + y 2 dx + x 2 + x y dy = 的通解 解 , 1 ( ) 1 x x Q y P Q =   −      = dx x x e 1 ( ) = x. 则原方程为 (3 ) ( ) 0, 2 2 3 2 x y + xy dx + x + x y dy = 3 ( ) 2 3 x ydx + x dy + xy ydx + xdy 可积组合法 ( ) ) 2 1 ( 3 2 = d yx + xy = 0, 原方程的通解为 ( ) . 2 3 1 2 yx + xy = C (公式法) 例 4 求微分方程 2 (1 ) 0 . x + x 2 − y dx − x 2 − ydy = 的通解 解 2 2 0, 2 2 xdx+ x x − ydx − x − ydy = ( ) ( ) 0, 2 2 2 2 d x + x − yd x − x − ydy = 将方程左端重新组合,有 ( ) ( ) 0, 2 2 2 d x + x − yd x − y = 原方程的通解为 ( ) . 3 2 2 3 2 2 x + x − y = C 例 5 求微分方程 2 ln ( 1 ) 0 . x y ydx + x 2 + y 2 + y 2 dy = 的通解 解 将方程左端重新组合,有       = − x y d x xdy ydx 2       = − x y d x xdy ydx 2       = + − x y d x y xdy ydx arctan 2 2 d( xy) xy xdy ydx = ln +       = + + + ln( ) 2 1 2 2 2 2 d x y x y xdx ydy         − + = − − x y x y d x y xdy ydx ln 2 1 2 2

(2xyIn ydx+xdy)+y2 1y dy=0 易知p(x,y)= 则(2xhy+-dy)+y1+y2d=0,可积组合法 即d(x2hy)+d(1+y2)2=0 原方程的通解为x2hy+(+y2)2=C 例6求微分方程 dy x+x+y 的通解 解1整理得中+1-y=-x 1+x A常数变易法:对应齐方通解y1+x 设 C(x) B公式法y=c订-x+C 通解为y+xy+-+=C 解2整理得(x2+x3+y)x+(1+x)dh=0 aO 是全微分方程 A用曲线积分法 (xy)=(x2+x)+(1+x), B凑微分法 dy+(xdy+ ydx)+xdx+x'dx=0, dy+d(xy)+d+d=0, 3

5 2 ln ) 1 0, 2 2 2 （ x y ydx + x dy + y + y dy = , 1 ( , ) y 易知  x y = (2 ln ) 1 0, 2 2 + dy + y + y dy = y x 则 x ydx 可积组合法 (1 ) 0. 3 1 ( ln ) 2 3 2 2 即d x y + d + y = 原方程的通解为 (1 ) . 3 1 ln 2 3 2 2 x y + + y = C 例 6 . 1 2 3 求微分方程 的通解 x x x y dx dy + + + = − 解 1 整理得 , 1 1 2 y x dx x dy = − + + A 常数变易法: . 1 x C y + 对应齐方通解 = . 1 ( ) x C x y + 设 = . 3 4 ( ) 3 4 C x x C x = − − + B 公式法: [ ], 1 1 1 2 1 y e x e dx C dx x dx x +  −  =  + + − . 3 4 3 4 C x x 通解为 y + xy+ + = 解 2 整理得 ( ) (1 ) 0, 2 3 x + x + y dx + + x dy = 1 , x Q y P   = =    是全微分方程. A 用曲线积分法: ( , ) ( ) (1 ) , 0 0 2 3   = + + + x y u x y x x dx x dy B 凑微分法: ( ) 0, 2 3 dy + xdy+ ydx + x dx + x dx = 0， 3 4 ( ) 3 4 + + + = x d x dy d xy d

d(y+xy+-+-)=0 C不定积分法 =x-+x+ (x+x'+ydr= r x4 +-+xy+C() =x+C()又au=1+x, x+C(y)=1+x,C(y)=1,C(y)=y, 原方程的通解为y+xy+ 、一阶微分方程小结 阶微分方程 分离变量法常数变易法全微分方程 思考题 方程=dx+ dy=0是否为全微分方程 思考题解答 =a2 原方程是全微分方程

6 ) 0. 3 4 ( 3 4 + + + = x x d y xy C 不定积分法: , 2 3 x x y x u = + +      (x + x + y)dx 2 3 ( ), 3 4 3 4 xy C y x x = + + + x C ( y), y u = +     1 x, y u = +   又 x +C( y) =1+ x, C( y) =1, C( y) = y, 原方程的通解为 . 3 4 3 4 C x x y + xy+ + = 三、一阶微分方程小结 思考题 方程 0 2 3 4 2 2 3 = − + dy y y x dx y x 是否为全微分方程？ 思考题解答           =   3 2 y x y y P  , 6 4 y x = −         −   =   4 2 2 3 y y x x x Q , 6 4 y x = − x Q y P   =    原方程是全微分方程. 一阶微分方程 分离变量法 常数变易法 全微分方程