《高等数学》课程电子教案：第十二章（12.2）可分离变量的微分方程

章节题目 第二节可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程:g(y)hy=f(x)d 内|分离变量的微分方程解法 容提要 可分离变量的微分方程通解的求法 重点分析 通解的求法中的不定积分 难点分析 趣|P31(单)、2(单)、6、7 布 备注

1 章 节 题 目 第二节 可分离变量的微分方程 内 容 提 要 可分离变量的微分方程： g( y)dy = f (x)dx 可分离变量的微分方程解法 重 点 分 析 可分离变量的微分方程通解的求法 难 点 分 析 通解的求法中的不定积分 习 题 布 置 P333 1（单）、2（单）、6、7 备 注

教学内容 可分离变量的微分方程 g(y)d=f(x)x可分离变量的微分方程 例如=2xy3=y=2xa 解法设函数g(y)和f(x)是连续的g(y)=丁(x)分离变量法 设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原函数 G(y)=F(x)+C为微分方程的解 典型例题 例1求解微分方程=2xy的通解 dx 解分离变量 dy 两端积分=|2xdx,hy=x2+C1 y=ce为所求通解 例2求方程f(xy)yzt+g(xy)xdh=0通解 解令u=xy,则d=xdy+yahx, d u f(u)ydx+g(u)x /(x)-g(u)4ax+g(n)d=0 g(u) x ulf(u)-g(u) 通解为h|x|+8()= ulf(u)-g(ul 例3衰变问题衰变速度与未衰变原子含量M成正比已知M=0=M,求衰变过 程中铀含量M()随时间t变化的规律 解衰变速度二,由题设条件 dM aM(A>0衰变系数) 2

2 教 学 内 容 一、可分离变量的微分方程 g( y)dy = f (x)dx 可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如 = 2 , 5 2 4  y dy = x dx − 解法 设函数 g( y) 和 f (x) 是连续的,   g( y)dy = f (x)dx 分离变量法 设函数 G( y) 和 F(x) 是依次为 g( y) 和 f (x) 的原函数, G( y) = F(x) +C 为微分方程的解. 二、典型例题 例 1 求解微分方程 2xy的通解. dx dy = 解 分离变量 2xdx, y dy = 两端积分 2 ,   = xdx y dy 1 2 ln y = x +C . 2 y = ce x 为所求通解 例2 求方程 f (xy)ydx + g(xy)xdy = 0通解. 解 令u = xy, 则du = xdy+ ydx, ( ) ( ) = 0, − +  x du ydx f u ydx g u x [ ( ) − ( )] dx + g(u)du = 0, x u f u g u 0, [ ( ) ( )] ( ) = − + du u f u g u g u x dx 通解为 . [ ( ) ( )] ( ) ln | | du C u f u g u g u x = − + 例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量 M 成正比,已知 M t=0 = M0 ,求衰变过 程中铀含量 M (t) 随时间 t 变化的规律. 解 , dt dM 衰变速度 由题设条件 = −M (  0衰变系数) dt dM

dM dM 「-Mm,hM=-x+hc,即M=ce 代入M=0=M。得M=ce0=C =M0e衰变规律 例4有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘 米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度 h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律 h h+dh 解由力学知识得水从孔口流出的流量为Q 062.S√2gh dt 062流量系数 S孔口截面面积 g重力加速度 dV=062√2ghdt,( 设在微小的时间间隔[t,t+M 水面的高度由h降至h+Mh,则d=-m2h r=√1002-(100-h)2=√200h-h2, d=-m(200h-h2)h,(2) 比较(1)和(2)得 T(200h-h)dh =0.62 2gh dt 即为未知函数的微分方程 dt (200√h-Vh3)dh, 062√2g

3 dt M dM = − ,   = − dt M dM  ln M = −t + ln c, , t M ce − 即 = 代入M t=0 = M0 0 0 得 M = ce = C, t M M e −  = 0 衰变规律 例 4 有高为1 米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为 1 平方厘 米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度 h(水面与孔口中心间的距离)随时间 t 的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流出的流量为 0.62 S 2gh , dt dV Q = =  0.62 流量系数 S 孔口截面面积 g 重力加速度 S =1 , 2 cm dV = 0.62 2gh dt, (1) 设在微小的时间间隔 [t, t + t], 水面的高度由 h 降至 h+h, , 2 则dV = −r dh 100 (100 ) 200 , 2 2 2 r = − − h = h − h (200 ) , (2) 2 dV = − h − h dh 比较(1)和(2)得: (200h h )dh 2 − − = 0.62 2gh dt, 即为未知函数的微分方程. (200 ) , 0.62 2 3 h h dh g dt = − −  100 cm h o r h h+ dh

400 h 2)+ 0.62√2g h 100.∴C x×105 062√2g15 所求规律为1=x=(7×10-10Vh+3Vh) 4652 例5、某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有0.1%的CO2,为了降低车 间内空气中CO的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含003% 的CO2的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6 分钟后,车间内CO2的百分比降低到多少? 解设鼓风机开动后t时刻CO2的含量为x(19% 在[t,t+d]内 CO2的通入量=2000d0.03, CO2的排出量=2000·d·x( CO2的改变量=CO2的通入量一CO2的排出量 12000dx=2000.d.0.03-2000·dtx() dt (x-0.03),→x=003+Ce x=0=0.1,∴C=007,→x=003+0.07e6, x|=0.03+0.07e-≈0.056 6分钟后,车间内CO2的百分比降低到0.056%

4 ) , 5 2 3 400 ( 0.62 2 3 5 h h C g t = − − +  | 100, h t=0= 10 , 15 14 0.62 2 5  =   g C  所求规律为 (7 10 10 3 ). 4.65 2 5 3 3 5 h h g t =  − +  例 5、某车间体积为 12000 立方米, 开始时空气中含有 0.1% 的 CO2 , 为了降低车 间内空气中 CO2 的含量, 用一台风量为每秒 2000 立方米的鼓风机通入含 0.03% 的 CO2 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动 6 分钟后, 车间内 CO2 的百分比降低到多少? 解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2 的含量为 x(t)% 在 [t, t + dt] 内, CO2 的通入量 = 2000dt 0.03, CO2 的排出量 = 2000dt  x(t), CO2 的改变量=CO2 的通入量 CO2 的排出量 12000dx = 2000dt 0.03 − 2000dt  x(t), ( 0.03), 6 1 = − x − dt dx 0.03 , 6 1 t x Ce −  = + | 0.1, x t=0= C = 0.07, 0.03 0.07 , 6 1 t x e −  = + | 0.03 0.07 0.056, 1 6= +  − = x e t 6 分钟后, 车间内 CO2 的百分比降低到 0.056%

三、小结 分离变量法步骤: 1分离变量; 2两端积分 式通解. 思考题 求解微分方程+c05x-y=c0sx+y 思考题解答 x-y x+y -+ cOS cOs 0. 2sin -sin==0 dy ncsc2-coty=2cosx+C,为所求解

5 三、小结 分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分-------隐式通解. 思考题 求解微分方程 . 2 cos 2 cos x y x y dx dy + = − + 思考题解答 0, 2 cos 2 cos = + − − + x y x y dx dy 0, 2 sin 2 + 2sin = x y dx dy , 2 sin 2 2sin   = − dx x y dy 2 cot 2 ln csc y y − , 2 2cos C x = + 为所求解