章节题目 第五节函数的幂级数展开式的应用 近似计算 求数项级数的和 内|欧拉公式 容提要 近似计算 重点分析 求数项级数的和 难点分析 习题布置 P 28!1(单)、3 备注
1 章 节 题 目 第五节 函数的幂级数展开式的应用 内 容 提 要 近似计算 求数项级数的和 欧拉公式 重 点 分 析 近似计算 难 点 分 析 求数项级数的和 习 题 布 置 P281 1（单）、3 备 注
教学内容 近似计算 A=a1+a2+…+an+ A≈a1+a2+…+an 误差rn=an1+an+2 两类问题 1给定项数求近似值并估计精度; 2给出精度,确定项数 关键:通过估计余项确定精度或项数. 常用方法 1若余项是交错级数则可用余和的首项来解决; 2若不是交错级数,则放大余和中的各项使之成为等比级数或其它易求和的级数, 从而求出其和 例1计算e的近似值,使其误差不超过103 解 令x=1,得e≈1 余和:rn≈ (n+1)!(n+2)! 2 欲使≤105,只要_1≤10 即nn≥103,而88=322560>10, e≈l+1+-+-+…+ 82.71828 例2利用snx≈x-计算sn9的近似值,并估计误差 解Sn9= sin i_1/x 2020620 5!20 1(0.2)3000010-3, n9°≈0.157079-00006460156433其误差不超过10- 、计算定积分 2
2 教 学 内 容 一、近似计算 , A = a1 + a2 ++ an + , A a1 + a2 ++ an . 误差 rn = an+1 + an+2 + 两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关键: 通过估计余项,确定精度或项数. 常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等比级数或其它易求和的级数, 从而求出其和. 例 1 , 10 . 计算 的近似值 使其误差不超过 −5 e 解 , ! 1 2! 1 1 x = + + 2 ++ x n + n e x x 令 x =1, , ! 1 2! 1 1 1 n 得 e + + ++ 余和: + + + + ( 2)! 1 ( 1)! 1 n n rn ) 2 1 (1 ( 1)! 1 + + + + = n n ) ( 1) 1 1 1 (1 ( 1)! 1 2 + + + + + + n n n ! 1 n n = 10 , −5 欲使 rn 10 , ! 1 −5 n n 只要 ! 10 , 5 即nn 8 8! 322560 10 , 5 而 = 8! 1 3! 1 2! 1 e 1+1+ + ++ 2.71828 例 2 sin 9 , . 3! sin 0 3 利用 计算 的近似值 并估计误差 x x x − 解 20 sin 9 sin 0 = ) , 20 ( 6 1 20 3 − 5 2 ) 20 ( 5! 1 r 5 (0.2) 120 1 300000 1 10 , −5 sin 9 0.157079 0.000646 0 − 0.156433 其误差不超过 5 10− . 二、计算定积分
例如函数ex sin x 1 原函数不能用初等函数表示,难以计算其 定积分 解法 被积函数 定积分的近似值 展开成幂级数 逐项积分 例3计算d的近似值精确到0 解 sin x x+…x∈(-∞,+∞) Sin x +…收敛的交错级数 3·3!5.57.7 第四项 7·7!3000 取前三项作为积分的近似值得 sin x 3355÷0.9461 求数项级数的和 1利用级数和的定义求和 (1)直接法 (2)拆项法 (3)递推法 例4求∑ arctan的和 解1= arctan s, =arctan -+arctan -= arctan arctan s, =s.+arctan = arctan -+arctan 假设s1= arctan- s,=arctan arctan - arctan arctan → arctan 1=(n→>∞)
3 . , , ln 1 , sin , 2 定积分 例如函数 原函数不能用初等函数表示 难以计算其 x x x e −x 解法 例 3 , 10 . sin 4 1 0 − 计算 dx的近似值 精确到 x x 解 = − 2 + 4 − 6 + 7! 1 5! 1 3! 1 1 sin x x x x x x(−,+) + − + = − 7 7! 1 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0 dx x x 收敛的交错级数 第四项 3000 1 7 7! 1 10 , −4 取前三项作为积分的近似值,得 5 5! 1 3 3! 1 1 1 sin 0 + − dx x x 0.9461 三、求数项级数的和 1.利用级数和的定义求和: (1)直接法; (2)拆项法; (3)递推法. 例 4 . 2 1 arctan 1 求 2 的和 n= n 解 , 2 1 s1 = arctan 8 1 arctan 2 1 s2 = arctan + 8 1 2 1 1 8 1 2 1 arctan − + = , 3 2 = arctan 18 1 s3 = s2 + arctan 18 1 arctan 3 2 = arctan + , 4 3 = arctan , 1 1 arctan k k sk − 假设 − = 2 2 1 arctan 1 arctan k k k sk + − = , 1 arctan + = k k arctan1 1 arctan → + = n n sn ( ) 4 = n → 展开成幂级数 逐项积分 被积函数 定积分的近似值
故 1丌 arctan 阿贝尔法(构造幂级数法) ∑an=m∑anx",求得(x)=∑anx", ∑an=lms(x)(逐项积分、逐项求导) 例4求∑2-1的和 解令5()=∑2n-2m2,(-2,) s(x)=( 2n-1、2n-2dx ②xy=(∑(xy= lim s(x)=lim 故∑ 例5求Sn2 的和 解令(x)=∑nx,(-+) nn=(n-1) s(x)=>nm(n-D)+n n=i (n x2∑+x∑ x2(e2-1)"+xe=e'(x+1)x 四、欧拉公式
4 . 2 4 1 arctan 1 2 = n= n 故 2.阿贝尔法(构造幂级数法): lim , 0 1 0 n n n x n n a a x = → = − = ( ) , 0 n n n s x a x = 求得 = lim ( ). 1 0 a s x x n n → − = = (逐项积分、逐项求导) 例 4 . 2 2 1 1 求 的和 = − n n n 解 , 2 2 1 ( ) 2 2 1 − = − = n n n x n 令 s x (− 2, 2) = − − = 1 0 2 2 ) 2 2 1 ( ) ( n x n n x dx n s x = − = 1 2 1 ) 2 ( n n n x ) ) 2 ( 1 ( 1 2 = n= x n x ) 2 1 ( 2 2 − = x x x ) 2 ( 2 − = x x , (2 ) 2 2 2 2 x x − + = lim ( ) 1 s x x→ − 2 2 2 1 (2 ) 2 lim x x x − + = → − = 3, 3. 2 2 1 1 = − n= n n 故 例 5 . 1 !2 2 求 的和 n= n n n 解 , ! ( ) 1 2 n n x n n s x = 令 = (−,+) n n x n n n n s x = − + = 1 ! ( 1) ( ) n n n n x n x n n n = = − + − = 1 1 ( 1)! 1 ! ( 1) = = = + 1 0 2 ! ) ! ( n n n n n x x n x x x x = x (e −1)+ xe 2 e (x 1)x, x = + = 1 2 n !2 n n n ) 2 1 = s( 2 1 1) 2 1 ( 2 1 = e + . 4 3 = e 四、欧拉公式
复数项级数:(+m)+(l2+n2)+…+(ln+ivn)+ 其中un,vn(n=1,2,3,…)为实常数或实函数 u 则称级数∑(un+mn)收敛且其和为u+ 复数项级数绝对收敛的概念:若团++√回吃+n+…+V+2+…收敛 则∑un,∑绝对收敛称复数项级数绝对收敛 三个基本展开式 e=1+x+ (-∞<x<+∞) SInx=x 35-+(-1y~+3 +…,(-∞<x<+∞) 2n-1) cosx=1 +…,(-∞<x<+∞) 由e的幂级数展开式 e"=1+jx+(jx)2+…+-(jx)"+ (2n+1) cOSx+ sin x e=cosx+ sn x 又:e=cosx-jsnx oSx= 欧拉公式 2 ef/=e(cos y+jsin y) 揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系
5 复数项级数: (u1 + jv1 ) + (u2 + jv2 ) ++ (un + jvn ) + 其中u ,v (n =1,2,3, )为实常数或实函数. n n 若 = = n 1 u un , = = n 1 n v v ,则称级数 = + 1 ( ) n n n u iv 收敛, 且其和为 u + iv . 复数项级数绝对收敛的概念: 若 u1 2 + v1 2 + u2 2 + v2 2 ++ un 2 + vn 2 +收敛, 则 n=1 n u , n=1 n v 绝对收敛,称复数项级数绝对收敛. 三个基本展开式 , 2! ! 1 2 = + + ++ + n x x e x n x (− x +) , (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 2 1 1 3 5 + − = − + − + − − − n x x x x x n n (− x +) , (2 )! ( 1) 2! 4! cos 1 2 4 2 = − + −+ − + n x x x x n n (− x +) 由e x的幂级数展开式 j x = + + ++ jx n + n e jx jx ( ) ! 1 ( ) 2! 1 1 2 ) (2 1)! ( 1) 3! 1 ) ( (2 )! ( 1) 2! 1 (1 2 1 3 2 2 + + = − + + − + + − + + − + n x j x x n x x n n n n = cos x + jsin x e x j x jx = cos + sin e x j x jx = cos − sin − 又 − = + = − − j e e x e e x jx jx jx jx 2 sin 2 cos 欧拉公式 e e (cos y jsin y) x jy x = + + 揭示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系
五、小结 1、近似计算求不可积类函数的定积分,求数项级数的和,欧拉公式的证明 2、微分方程的幂级数的解法.(第十二章介绍) 思考题 利用幂级数展开式,求极限mx- arcsin x SIn x 思考题解答 arcs x=x+.x 1. 3 x5 (x≤1) sIn= < 4|3 x-arcsin x 将上两式代入lm sin x 1.3x5 232.45 x3+o(x2) 原式=lim mx2+0x)-=
6 五、小结 １、近似计算,求不可积类函数的定积分，求数项级数的和，欧拉公式的证明； ２、微分方程的幂级数的解法．(第十二章介绍) 思考题 利用幂级数展开式, 求极限 . sin arcsin lim 3 0 x x x x − → 思考题解答 , 2 4 5 1 3 2 3 1 arcsin 3 5 + = + + x x x x ( x 1) , 5! 3 3 3! 3 3 4 1 sin 5 5 3 3 3 + − − − x = x x ( x ) 将上两式代入 , sin arcsin lim 3 0 x x x x − → 原式= + − − − + − + + → 5 5 3 3 3 5 0 5! 3 3 3! 3 3 4 1 2 4 5 1 3 2 3 1 lim x x x x x x x ( ) ( ) 6 1 lim 3 3 3 3 0 x o x x o x x + − + = → . 6 1 = −