经济数学基础 第7章定积分的应用 第五单元一阶线性微分方程 、学习目标 通过本节课的学习,掌握一阶线性微分方程的解法 、内容讲解 方程y+P(x)y=Q(x)称为一阶线性微分方程 下面导出求解公式 我们希望将y+Px)y=(x)的左端变为某个函数的导数,这样只需对右端求 积分就可简单求解,但一般做不到,需要在方程两端乘一个函数8(x),得 g(xly+P(xy]=o(x)g(x) 适当选择8(x)使8(xy+P(x)y成为某个函数的导数 g(xly+P(x)y]=g(x)y+g(x)P(x)y=g(x)y] 根据乘积的导数公式,应该有8(x)=8(x)P(x) 由上式解出8(x)=eP 称e为积分因子,将其乘到方程两端,等式左端 e/P(xkd ly' 等于右端(ye3y=gx) P(x)dr 两端积分得 ∫ox)eo)d+c 整理得 订jo(x))xl 207
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——207—— 第五单元 一阶线性微分方程 一、学习目标 通过本节课的学习，掌握一阶线性微分方程的解法． 二、内容讲解 方程 y + P(x) y = Q(x) 称为一阶线性微分方程． 下面导出求解公式． 我们希望将 y + P(x) y = Q(x) 的左端变为某个函数的导数，这样只需对右端求 积分就可简单求解，但一般做不到，需要在方程两端乘一个函数 g(x) ，得 g(x)[ y + P(x) y] = Q(x)g(x) 适当选择 g(x) 使 g(x)[ y + P(x) y] 成为某个函数的导数 g(x)[ y + P(x) y] = g(x) y + g(x)P(x) y = [g(x) y] 根据乘积的导数公式，应该有 g (x) = g(x)P(x) 由上式解出 = P x x g x ( )d ( ) e 称 P( x)dx e 为积分因子，将其乘到方程两端，等式左端 + = + P x x P x x P x x y P x y y P x y ( )d ( )d ( )d e [ ( ) ] e ( ) e e (e ) ( )d ( )d = + P x x P x x y y ( e ) ( )d = P x x y 等于右端 = P x x P x x y Q x ( )d ( )d ( e ) ( )e 两端积分得 y Q x x c P x x P x x = + e ( )e d ( )d ( )d 整理得 e [ ( )e d ] ( )d ( )d y Q x x c P x x P x x = + −
经济数学基础 第7章定积分的应用 得到一阶线性微分方程y+P(x)y=Q(x)的通解公式 y=e-lP(dr [l o(x)el P(rd dx+c] 其中C是任意常数 注意:必须将一阶线性微分方程写成标准形式 三、例题讲解 +2x=0 例1求解(yO)=1 解:先求通解,将方程化为y+2xy=-2x 得到f(x)=2x,Q(x)=-2x,由求解公式得 y=e-P(dt[ o(x)e P(xddx+c [-2xe2ndadx+c] 将y(0)=1代入上式得 即C=2,求解得 y=-1+2e 例2求习-2y=x的通解 208
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——208—— 得到一阶线性微分方程 y + P(x) y = Q(x) 的通解公式 e [ ( )e d ] ( )d ( )d y Q x x c P x x P x x = + − 其中 c 是任意常数． 注意：必须将一阶线性微分方程写成标准形式. 三、例题讲解 例 1 求解 = + + = (0) 1 2 2 0 y y xy x ． 解：先求通解，将方程化为 y + 2xy = −2x 得到 P(x) = 2x , Q(x) = −2x ，由求解公式得 e [ ( )e d ] ( )d ( )d y Q x x c P x x P x x = + − e [ 2 e d ] 2 d 2 d x x c x x x x = − + − e [ 2 e d ] 2 2 x x c x x = − + − e [ e ] 2 2 c x x = − + − 2 1 e x c − = − + 将 y(0) = 1 代入上式得 0 1 = −1+ ce 即 c = 2 ，求解得 2 1 2e x y − = − + 例 2 求 5 xy − 2y = x 的通解．
经济数学基础 第7章定积分的应用 2 解:将方程化为x 得到)2 O(x) ,由求解公式得 y=e)ox)em)ax+l=e"xe"dx+l 四、课堂练习 求初值问题 1-x2)y+xy=1,yO)=l的解 此方程为一阶线性微分方程y+P(x)y=(x) 可由公式求解,也可用积分因子法求解.由初始条件确定积分常数. 原方程化为标准形式 P(r)=-x O(x) P(x)dx d -hn1 In x2(积分常数可省略) 五、课后作业 1.求微分方程y+y=e的通解 2.求初值问题y-y=2xe 的解. y=(x+c)e =3e+2(x-1)e 209
经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——209—— 解：将方程化为 2 4 y x x y − = 得到 4 , ( ) 2 ( ) Q x x x P x = − = ，由求解公式得 e [ ( )e d ] ( )d ( )d y Q x x c P x x P x x = + − e [ e d ] d 2 4 d 2 x x c x x x x = + − [ d ] 2 4 2 = x x x x + c − ] 3 [ 3 2 c x = x + 四、课堂练习 求初值问题 (1 ) 1 2 − x y + xy = ， y(0) = 1 的解． 此方程为一阶线性微分方程 y + P(x) y = Q(x) 可由公式求解，也可用积分因子法求解．由初始条件确定积分常数． 原方程化为标准形式 2 2 1 1 1 x y x x y − = − + 得 2 2 1 1 , ( ) 1 ( ) x Q x x x P x − = − = − − = − − = d(1 ) 1 1 2 1 d 1 ( )d 2 2 2 x x x x x P x x 2 2 1 1 ln 1 ln 2 1 x x − = − − = （积分常数可省略） 五、课后作业 1.求微分方程 x y y − + = e 的通解. 2.求初值问题 x y y x 2 − = 2 e ， y(0) = 1 的解． 1． x y x c − = ( + )e 2． x x y x 2 = 3e + 2( −1)e